数实验教程实验(重积分的几何体的形象化)

1、实验 18二重积分的可视化实验目的利用数学软件Mathematica 的绘图功能帮助学生建立二重积分的积分区域的几何形状以及空间几何体的外观，加深对所求积分的理解。预备知识二重积分、 Mathematica 相关积分命令实验内容研究两个空间区域的体积问题。【项目1】计 算 函 数 f ( x, y) x 221 y2 之 下 ， x-y 平 面 中 介 于 抛 物 线yx24 x2 和直线 y2 x 2之间的区域 R上的立体的体积：f ( x, y)dxdy , R( x, y) | 0x 2,2 x 2 yx 24 x 2R【 Step1 】：首先来观察一些积分区域的形状和所求立体的形状 f

2、x_,y_:=x2+(1/2) y2;c1x_:=-x2+4 x+2; c2x_:=2 x+2;domain=Plotc1x,c2x,x,0,2.5,PlotRange-0,6.5,PlotStyleRGBColor1,0,06543210.511.522.5图 18-1 积分区域立体的形状如下：Plot3Dfx,y,x,0,3,y,0,7,AxesLabelx,y,z30z206100401y2x23图 18-2 上表面0但由于表面遮住了积分区域，因此无法看清具体的立体形状，我们改进一下， 定义一个特征函数以保留需要的去处不需要的：Kx_,y_:=If(2 x+2)y(-x2+4 x+2),

3、1,0;Plot3Dfx,yKx,y,x,0,3,y,0,7,AxesLabelx,y,z,PlotPoints50,MeshFalse,PlotRange0.01,20,ClipFillNone2015z10640y12x23 0图 18-3空间几何体形状【 Step2 】计算积分Integratefx,y,x,0,2,y,2 x+2,-x2+4 x+252835【项目 2】 三个正圆柱面彼此相互垂直相交所围成几何体的体积设想在空间有三个无限长的正圆柱面，底半径都等于 1，其中一个用 x轴作为它的轴 （称为 Cx），另外两个分别以 y轴和 z轴作为它的轴，称为 Cy 和 Cz ，这三个圆柱面

4、彼此相交于围绕着原点的一个立体区域，我们需要求出它的体积。【 Step1 】 首先想一想它在 x-y 平面以上的部分：底面： D( x, y) | x2y21，是一个圆盘；顶面：圆柱面Cx和 Cy被 Cz截出的部分。Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;ceilingx_,y_:=MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y21,1,0;pic1=Plot3Dceilingx,yKx,y,x,-1,1,y,-1,1,LightingTrue,PlotPoints50,BoxRatios1,1,1,ViewPoint2,2,2

5、,AxesLabelx,y,z,PlotRange0.01,1,ClipFillNone,MeshFalsex -1-0.500.5110.80.6z 0.40.2-1-0.50y0.51图 18-4上半部分Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;Dceilingx_,y_:=-MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y21,1,0;103/5pic2=Plot3DDceilingx,yKx,y,x,-1,1,y,-1,1,LightingTrue,PlotPoints50,BoxRatios1,1,1,ViewPoint-

6、2,-2,-2,AxesLabelx,y,z,PlotRange-1,-0.01,ClipFillNone,MeshFalse-0.2-0.4z-00.66-1-1-1-0.5-0.5000.50.5x1y图 18-5 下半部分【 Step2 】： 其次考虑其在第一卦限的立体部分，通过图像观察：Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;ceilingx_,y_:=MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y21,1,0;Plot3Dceilingx,yKx,y,x,0,1,y,0,1,LightingTrue,PlotPoint

7、s50,BoxRatios1,1,1,ViewPoint2.357,1.369,2.131,AxesLabelx,y,z,PlotRange0.01,1,ClipFillNone,MeshFalse0x 0.250.50.75110.80.6z 0.40.200.250.5y0.751图 18-6第一卦限内的形状【 Step3 】：计算体积首先，这个体积是可由极坐标计算的；其 次，由对称性，整个体积是第一卦限 内体积的8倍 ，而这 个体积又是 在区域R( r,) | 0r1,0/ 4 上面体积的 2倍；第三，在底板R部分上面的顶板由Cy给出，它的方程是：z1x2第四，体积为：V161r2 cos2dAR用 Mathematica 计算得到：16*IntegrateSqrt1-r2 Cosu2 r,r,0,1,u,0,Pi/416112实验练习一个四面体的四个顶点为： (0,0,0)， (1,0,0) ， (0,1,0) ， (0,0,1)。用 Mathemati