小学奥数计数问题之容斥原理知识点

1、小学奥数计数问题之容斥原理知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵， 它是培养学生良好思维品质的催化剂。以下是无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。【篇一】容斥原理概念：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容

2、斥原理1如果被计数的事物有A、 B 两类，那么，A 类 B 类元素个数总和 = 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数既是A 类又是 B 类的元素个数。(A B=A+B-A B)容斥原理2如果被计数的事物有A、 B、 C 三类，那么，A 类和 B 类和 C类元素个数总和=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素个数既是 A 类又是B 类的元素个数既是A 类又是 C 类的元素个数既是B 类又是 C 类的元素个数+ 既是 A 类又是 B 类而且是C 类的元素个数。(A B C=A+B+C-A B-BC-CA+A BC)经典例题：例 1 、 某班共有30 名男生， 其中 20 人参加足球队，

3、12 人参加蓝球队， 10 人参加排球队.已知没一个人同时参加3 个队，且每人至少参加一个队，有6 人既参加足球队又参加蓝球队，有2 人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有()人 .考点：重叠问题.分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30 ，解方程即可.解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有 20+12+10-6-2-x=30，解得 x=4.故答案为：4.点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力.例 2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25 名学生参加

4、竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中 ,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍 :(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1 人 ;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为 7 类：只答第1 题，只答第2 题，只答第3 题，只答第1 、 2 题，只答第 1 、 3 题，只答2、 3 题，答 1 、 2、 3 题。分别设各类的人数为a1 、 a2、 a3、 a12、 a13、 a23、 a123由(1)知：a1+a2+a3+a12+

5、a13+a23+a123=25由(2)知：a2+a23=(a3+a23) × 2由(3)知：a12+a13+a123=a1-1由(4)知：a1=a2+a3 再由得a23=a2-a3 × 2再由得a12+a13+a123=a2+a3-1然后将代入中，整理得到a2× 4+a3=26由于a2、 a3 均表示人数，可以求出它们的整数解：当 a2=6 、 5、 4、 3、 2、 1 时， a3=2 、 6、 10、 14、 18、 22又根据 a23=a2-a3 × 2 可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2=6 ， a3=2 。然后可以推出a1=8 ，

6、a12+a13+a123=7 ， a23=2 ，总人数=8+6+2+7+2=25故只解出第二题的学生人数a2=6 人。【篇二】1 、在 1 到 500 的全部自然数中，不是7 的倍数，也不是9 的倍数的数共有多少个?2 、六年级一班有45 名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25 人，篮球班报20 人，游泳班报30 人，足球、篮球都报者有 10 人，足球、篮球都报者有12 人。问三项都报的有多少人?3 、 某校六年级二班有49 人参加了数学、英语、 语文学习小组，其中数学有30 人参加，英语有20 人参加，语文小组有10 人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3 人， 既参

7、加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，求既参加英语又参加数学小组的人数。4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20 人，语文 20 人，英语20 人，数学、英语两科满分者8 人，数学、语文两科满分者7 人，语文、英语两科满分者9 人，三科都没有得满分者 3 人。问这个班最多多少人?最少多少人?5 、向 50 名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3 人， 其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13 多 1 人，同时去颐和园和去动物

8、园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?6、分母是1001 的最简真分数共有多少人?7 、 * 出了两道数学题，全班40 人中，第一有30 人做对，第二题有 12 人未做对，两题都做对的有20 人。(1)第 2 题对第 1 题不对有几个人?(2)两题都不对的有几人?8 、 每边长为10 厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽 1 厘米的方框，把五个这样的方框放在桌面上，成为如的图案。问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?9 、 一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，小亮答错5 题，两人都答错的题目的总数的16，已知小明，小亮都答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?10 、在 1 到 1998 的自然数中，能被2 整除，但不能被3 或 7整除的数有多少个?【篇三】奥数计数问题之容斥原理解析1 . 有三个面积各为50 平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、 10、 12 平方厘米，三个圆相交的面积是5 平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积?2 .某区有 100 名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20 人。只懂日语的有多少名?3 .某班数学测验时有10 人得优，英语得优有12 人，两门都得