1 函数在处可导,则可定义为( )

1、1 函数fx在x=x0处可导，则f'x0可定义为（ ）a. limxx0+fx-fx0x-x0 b. limx0fx+x-fxxc. limx0fx-f0x d. limx0fx0+x-fx0-x2x【答案】 d【解析】函数fx在x=x0处可导，则f'x0可定义为limx0fx0+mx-fx0-nx(m-n)x可见选项d正确;a选项为f+'x0的定义;b选项为f'x的定义2 limnk=1nkn2ln(1+kn)表示的定积分为（ ）a. 01lnxdx b. 01xln(1+x)dxc. 01ln(1+x)dx d. 01xlnxdx【答案】b 【解析】根据定积

2、分定义, limnk=1nkn2ln(1+kn)=limnk=1nknln(1+kn)1n=01xln(1+x)dx，可见选项b正确3. 微分方程4y''-20y'+25y=0的通解为（ ）a. y=c1+c2xe52x b. y=(c1+c2x)e52xc. y=c1+c2xe-52x d. y=(c1+c2x)e-52x【答案】. b【解析】由4y''-20y'+25y=0可得特征方程为4r2-20r+25=02r-52=0,故r1=r2=52，所以通解为y=(c1+c2x)e52x,故选项b正确得分阅卷人二、填空题（只须在横线上直接写出答案

3、，不必写出计算过程，每小题 4 分，共40 分）4. limx0sin（sinx）x= .【答案】1【解析】limx0sin（sinx）x=limx0sinxx=15.若fx在x =l 连续 ，且limx1fxx-12存在，f1= .【答案】0【解析】 limx1fxx-12存在，且 limx1x-12=0，故limx1fx=0=f16.设x=acosty=bsint，则d2ydx2= .【答案】ba2sin3t 【解析】参数方程求导dxdt=acost'=- asint，dydt=bsint'=- bcost，所以dydx=dydtdxdt=-bacott，d2ydx2=(-

4、bacott)'- asint=ba2sin3t7.设fx=0sinxarcsint2dt，当x0时fx与ln（1+xn）为同阶无穷小，则n= .【答案】3【解析】limx00sinxarcsint2dtln（1+xn）=limx0arcsin(sinx)2cosxnxn-1=limx0x2nxn-1，由题意，可知n-1=2，即n=38. -22(x+4-x2)dx= .【答案】2【解析】-22(x+4-x2)dx=-224-x2dx=124=29. 由方程 siny+xey=0 所确定的曲线y=yx在（0,0）点处的切线斜率为 .【答案】-1【解析】siny+xey=0两边对x求导，

5、得y'siny+ey+xeyy'=0，代入（0，0）得y'0=-110. y=ln（1+x2）的极值点为 .【答案】x=0【解析】y'=2x1+x2,令y=0,得x=0,当x>0,y>0;x<0,y<0,所以极值点为014. 求由曲线 y=12x, y=3x，y=2，y=1所围成的图形的面积a= .【答案】52【解析】 s=122y-13ydy=52 得分阅卷人三、计算题（本大题共8小题，其中1619小题每小题7分，2023小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给。）16. 极限limx0cossinx-13

6、x2 。（7分）【答案】解：limx0cossinx-13x2=limx0-12sin2x3x2 （4分） =limx0-12x23x2=-16（3分）17. y=3sinx+xsinx，求dy 。（7分）【答案】解： y'=3sinx'+xsinx'=3sinx'+esinxlnx'（2分） =3sinxln3sinx'+esinxlnxsinxlnx'（2分） =3sinxcosxln3+esinxlnxcosxlnx+sinxx（2分） 故dy=3sinxcosxln3+xsinxcosxlnx+sinxxdx（1分）18. 1xx

7、+2x-2dx（7分）【答案】解：令t=x+2x-2 则有x=2(t2+1)t2-1，dx=-8tt2-12dt（2分） 1xx+2x-2dx=4t21-t2t2+1dt=21-t2-21+t2dt（3分） ln1+t1-t-2arctant+c=ln1+(x+2)(x-2)1-(x+2)(x-2)-2arctanx+2x-2+c（2分）19. 设fx=3x2 0x<15-2x 1x2，f(x)=0xftdt，0x2，求f(x)。（7分）【答案】解：f(x )的定义域为0,2。当x0, 1)时,0,x0, 1),因此f(x)= 0xf(t)dt= 0x3t2dt=t30x=x3. (2分

8、)当x1,2时,0,x=0,1u1,x,因此,则f(x)= 013t2dt+0x5-2tdt =t301+5t-t21x=-3+5x-x2. (4分)0x<1故f(x)= x3 0x<1 -3+5x-x2 1x2(1分)21. 该函数fx=xmsin1x x00 x=0（m为正整数），试问：（1）m为何值时，f 在x = 0处连续；（2）m为何值时，f 在x = 0处可导 （8分）【答案】解：（1）limx0fx=limx0xmsin1x=0=f(0) 故对任意正整数m .f在x=0处连续.(4分) （2）f'0=limx0fx-f(0)x-0=limx0xmsin1x-0

9、xlimx0xm-1sin1x= 0 m>1不存在 m1故当m> 1时,f在x=0处可导.(4分)22. 求方过程点（-3，2，5）且与两平面x-4z=3和3x-y+z=1平行的直线方程。（8分）【答案】解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行,则直线的方向向量垂直于这两平面法向量所确定的平面。即直线的方向向量为 v=n1×n2=ijk10-43-11=-4i-13j-k (5分)将已知点代人直线的标准方程得x+34=y-213=z-51 (3分)四、综合题（每小题10分，共30分）得分阅卷人24.设位于第一象限的曲线y =fx过点（22，12），其上任一点p ( x

10、 , y )处的法线与y轴的交点为q , 且线段p q 被x 轴平分，求曲线 y =fx 的方程.（10分）【答案】解：曲线y=f(x)在点p(x,y)处的法线方程为y-y=-1y (x-x),其中(x,y )为法线上任意一点的坐标，令x=0，则y=y+xy'，故q点坐标为(0,y+xy')(4分)由题设知y+y+xy'=0,即2ydy+ xdy=0, (2分)积分得x2+ 2y2= c (c任意常数) (2分)由y|x=22=12, 知c= 1，故曲线y=f(x)的方程为x2+ 2y2=1(z0,y0) (2分) 26. 设fx在(0, 1)内有二阶导数，且f1=0,

11、 有fx=x2fx, 证明：在(0, 1)内至少存在一点，使得：f''=0。(10分）【答案】解：显然f(x)在0,1上连续，在(0, 1)内可导.又f(0)=f(1)=0. (3分)故由罗尔定理知:x0(0,1),使得f'x0=0. (2分)又f'(x)= 2xf(x)+x2f'(x)，故f'0=0，(2分)于是f'(x)在0,x0上満足罗尔定理条件,故存在(0,x0)使得f''=0,而(0,x0)(0,1),即证(3分).2020年浙江普通“专升本”高等数学冲刺模拟试卷（二）题号一二三四总分得分考试说明：1.考试时间为

12、150分钟2.满分为150分；3.答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效。得分阅卷人一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5 个小题，每小题 4 分，共20 分）2. f'x=0是可导函数fx在x0点处有极值的（ ）a. 充分条件 b. 必要条件c. 充要条件 d. 既非必要又非充分条件【答案】 b【解析】f'x0=0是可导函数fx在x0点处有极值的必要条件5. 微分方程y''-3y'+2y=2x-2ex的特解y*的形式是（ ）a. (ax+b)ex b. (ax+b)xexc. (ax+b)+cex d.

13、 (ax+b)+cxex【答案】 d【解析】特征方程r2-3r+2=0r1=1,r2=2, 対于方程y''-3y'+2y=2x,特解形式为y1*=ax+b,対于方程y''-3y'+2y=2ex,特解形式为y2*= cxex,因此原方程的特解形式为y*=(ax+b)+cxex,故d选项正确得分阅卷人二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题 4 分，共40 分）6. limx0x-sinx(1-cosx)ln(1+x)= .【答案】 13【解析】limx0x-sinx(1-cosx)ln(1+x)=limx016x312x3=1

14、3 8. 若limx1x2+ax+bx2+x-2=2，则a= ，b= .【答案】4,-5 【解析】由limx1x2+ax+bx2+x-2=2，可知limx1x2+ax+b=0即1+a+b=0;同时，limx1x2+ax+bx2+x-2=limx12x+a2x+1=2+a3=2，故a=4，b=-59. 设函数yx由参数方程x=t3+3t+1y=t3-3t+1确立，则函数yx单调增加的x的取值范围是 .【答案】 -,一3,(5, +)【解析】dydx=t3+3t+1't3-3t+1'=3t2-33t2+3>0 得t> 1或t<-1,故x得范围为-,一3,(5, +

15、)10. 设fx连续，gx=x0xftdt，g''(0)= .【答案】 2f0【解析】g'x=xfx+0xftdt（1），g'0=0 g''0=limx0g'x-g'0x=limx0xfx+0xftdtx =limx0fx+limx00xftdtx=f0+limx0fx1=2f0注:此题没有fx可的条件,故“(1) 式两边再对x求导得g'x=fx+xf'x+fx=2fx+xf'xg''0=2f0这种解法是错误的.11. 已知 x3+y3-3axy=0 则y'= .【答案】 ay-x2

16、y2-ax【解析】两边求导，得3x2+3y2y'-3ay-3axy'=0解得y'=ay-x2y2-ax 12. 函数y=earctanx的拐点为 .【答案】 12,earctan12 【解析】y'=1x2+1earctanx,y''=1-2x(x2+1)2earctanx令y''=0,得x=12当时x>12，y''<0，即曲线在 12 , + )内是凸的当时x<12，y''>0，即曲线在( - , 12 内是凹的故有唯一拐点12,earctan1214. 已知函数 y=x2与

17、 y=kxk>0的图像所围成的阴影部分面积为92 则k= .【答案】 3【解析】由y=kx y=x2消去y得x2-kx=0，所以x=0或x=k，则阴影部分面积为0k(kx-x2)dx=(12kx2-13x3)0k=92 即12x3-13x3=92解得k=3得分阅卷人三、计算题（本大题共8小题，其中1619小题每小题7分，2023小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给。）16. 极限limx0+ex3-11-cosx-sinx 。（7分）【答案】解：limx0+ex3-11-cosx-sinx=limx0+x3x-sinx2(4分) =2limx0+3x21

18、-cosx=12。（3分）17. 已知fx=x3x x>0x2ex+1 x0，求f'x。（7分）【答案】解：当x>0时 f'x=x3x'=e3xlnx'=x3x3lnx+3 (2分)当x<0时 f'x=x2ex+1'=2xex+x2ex (2分)当x=0时f+'0=limx0+fx-f0x=limx0+x3x-1x=limx0+e3xlnx-1x=limx0+3xlnxx=-，故f'0不存在 (2分)所以f'x=x3x3lnx+3 x>0 不存在 x=02xex+x2ex x<0（1分）18.

19、 若函数fx有连续导数，f'x=ln(1+x)x，求fx。（7分）【答案】解：令t=x,则有x=t2故f't=ln(1+t2)t2，即f'x=ln(1+x2)x2 (2分)所以fx=f'xdx=ln(1+x2)x2dx=-ln(1+x2)d1x (2分) =-1xln1+x2+1x2x1+x2dx=-1xln1+x2+2arctanx+c (3分)19.2x-1dx（7分）【答案】解：当x1时2x-1dx=2x-1dx=1ln22x-1+c1 (2分)当x<1时2x-1dx=21-xdx=-1ln221-x+c2 (2分)由于函数2x-1在x= 1处连续,

20、故2x-1dx在x= 1处连续,因此由连续得定义可知 limx1+1ln22x-1+c1=limx1-(-1ln221-x+c2)得c2=2ln2+c1故2x-1dx= 1ln22x-1+c1 x1-1ln221-x+c1+ 2ln2 x<1（3分）20.01ln(x+1+x2)dx（8分）【答案】解：01ln(x+1+x2)dx=xln(x+1+x2)01-01x1+x2dx (4分)=ln1+2-1+x201=ln1+2-2+1（4分）21. 要使limxx2+1x+1-ax-b=0，如何选择a，b（8分）【答案】解：由于limxx2+1x+1-ax-b=0 所以limxx2+1-x

21、+1ax-bx+1=0 (2分)就是limx1-ax2-a+bx+1-bx+1=0 3分所以必有1-a=0, a+b=0解得a=1，b=-1（3分）22. 求通过点p（1，0，-2），而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线x-14=y-3-2=z1相交的直线方程。（8分）【答案】解：设交点为b(4t+1,-2t+3,t),则pb=(4t,-2t+3,t+2) (2分)则pb可以作为所求直线的方向向量,由题意,已知平面与所求直线平行,平面的法向量n=(3, -1, 2),因此有pbn (2分) .所以有pbn=0,即12t+ 2t-3+ 2t+ 4=0,所以t=- 116 所以pb =(-

22、14 ,258,3116)=116(-4,50,31) (2分)所以所求直线为 x-14= y-50= z+2-31 (2分)四、综合题（每小题10分，共30分）得分阅卷人24.设函数yx是微分方程y'-xy=12xex22满足条件y1=e的特解。（1） 求yx的表达式；（2） 设平面区域d=（x,y）1x2, 0yyx，求d绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。（10分）【答案】解：（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程. y=exdx122ex22e-xdxdx+c=x+cex22 (3分)把初始条件y(1)=e代入,得c=0,从而得到y(x)=xex22. (2分)（2）旋转体的体积

23、为vx=12yx2dx=12xex2dx=2e4-e. (5分)2020年浙江普通“专升本”高等数学冲刺模拟试卷（三）题号一二三四总分得分考试说明：1.考试时间为150分钟2.满分为150分；3.答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效。得分阅卷人一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5 个小题，每小题 4 分，共20 分）1. 函数fx=ln(x+1)x-1 x>1tanx2x 0x<1x+sinx x<0 的全体连续点的集合是（ ）a. （-，+） b. （-，1）（1，+）c. （-，0）（0，+） d. （-，0）（0，1

24、）（1，+）【答案】b【解析】limx0- fx= limx0- x+sinx=0, limx0+ fx=limx0+ tanx2=0 fx=0，所以x=0是连续点, limx1+ fx=limx1+ln(x一1)x-1=，所以x= 1为不连续点，可见选项b正确.2. 函数fx=cos1x是无穷小量的条件为（ ）a. x b. x0 c. x2 d. x2【答案】d【解析】limx2cos1x=0, 可见选项d正确3. 设limxafx-fa(x-a)2=1，则在点x=a处（ ）a. fx的导数存在，f'a0 b. fx的导数不存在c. fx取得极大值 d. fx取得极小值【答案】d【

25、解析】已知limxafx-fa(x-a)2=1>0，由函数极限保号性可知,在x= a的去心邻域内有f(x)-f(a)>0,即对一切xu(a,)有f(x)>f(a),由极值定义可知,f(a)为f(x)的一个极小值,可见选项d正确. 4. 设fx在a，b上连续，则下列不等式成立的是（ ）a. abfxdxabf2xdxb. abfxdxabf2xdxc. a<c<b,abfxdxabfxdxd. |abfxdx|ab|fx|dx【答案】d【解析】由定积分的性质5的推论可知选项d正确.得分阅卷人二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题 4 分，共4

26、0 分）6. limx+xxsin1x1-x= .【答案】 -1【解析】limx+xxsin1x1-x=limx+xx 1x1-x=limx+x 1-x=-17. 若fx可导，并且limh0fx0+h+fx0-3hh=8，则f'x0= .【答案】2【解析】由导数定义的增量形式可知limh0fx0+h+fx0-3hh=4limh0fx0+h+fx0-3h4h=4f'x0=8，即 f'x0=2 8. 已知limx01+acos2xx2存在，则a= .【答案】-1【解析】 limx01+acos2xx2存在可知limx01+acos2x=0，得a=-19. 设参数方程x=t-

27、2arctant y=t33-t ，则dydx|t=2= .【答案】 5【解析】参数方程求导dxdt=t-2arctant'=1-2t2+1，dydt=t33-t'=t2-1,所以dydx=dydtdxdt=t2-11-2t2+1，dydx|t=2=510. 若函数y=y(x)是由方程x2+y2=1所确定的隐函数，则d2ydx2= .【答案】-1y3【解析】隐函数求导x2+y2=1两边对x求导得2x+2yy'=0,即y'=-xy，所以y''=y-y'xy2=-x2+y2y3=-1y311. 函数y=ln(1+2x2)的单调减区间 .【答案

28、】-,0【解析】解析：y'=4xx2+1 当x<0时，y'<0 即y=ln(1+2x2)的单调减区间为-,012. limn14n+1+14n+2+14n+2n= .【答案】 ln32【解析】有定积分定义可知limn14n+1+14n+2+14n+2n=limni=02n14n+i=limni=02n14+in1n=0214+xdx=ln4+x02=ln32 13. 广义积分1+12xe-xdx= .【答案】1e【解析】1+12xe-xdx=-1+e-xd-x=-e-x1+=1e 14. 由xy4,y1,x>0所夹图形绕y轴旋转所成旋转体体积v= .【答案】1

29、6【解析】v=1+4y2dy=1615. 微分方程y''+4y'+4y=ex的通解为 .【答案】y=c1+c2xe-2x+19ex【解析】特征方程r2+4r+4=0,(r+2)2=0,r1=r2=-2,所以y''+4y'+4y=0的通解为y=(c1+c2x)e-2x(c1,c2为任意常数)，y''+4y'+4y=ex的特解形式y*=aex，带入原方程得a=19 因此方程的通解为y=c1+c2xe-2x+19ex得分阅卷人三、计算题（本大题共8小题，其中1619小题每小题7分，2023小题每小题8分，共60分。计算题必须写出

30、必要的计算过程，只写答案的不给。）16. 极限limx0e2x-ex31-arcsinx-1 。（7分）【答案】原极限=limx0ex(ex-1)-13arcsinx=limx0ex(ex-1)-13x （4分） =limx0exx-13x=-3（3分）17. 设函数 y=(1x)x，求函数y=(1x)x在x=1处的微分 dy|x=1。（7分）【答案】函数 y=(1x)x两边同时取对数得lny=ln(1x)x=xln(1x)=-xlnx (2分)两边同时求导数得1yy'=-lnx-1 (3分)所以y'=-lnx- 1(1x)x , 所以y'(1)= -1所以dyx=1

31、=y'(1)dx=-dx (2分 )18. 03001-cos2xdx（7分）【答案】解：03001-cos2xdx=0300sin2xdx=0300sinxdx（3分） =3000sinxdx，其中sinx是以为周期 （2分） =3000sinxdx=600 （2分）19. 求不定积分cosxdx。（7分）【答案】解：t=x cosxdx =2tcostdt。（3分） =2tdsint=2tsint-2sintdt （2分） =2tsint+2cost+c=2xsinx+2cosx+c （2分）20. -11(xsin2x1+x2+x2+11-x2)dx（8分）【答案】解： -11(

32、xsin2x1+x2+x2+11-x2)dx=201x2+11-x2dx（2分） x=sint 202sin2t+1costcostdt=202sin2t+1dt（4分） =021-cos2tdt+=(t-12sin2t)02+=32 （2分）21. 设函数fx=gx-sinxx x0 a x=0，其中gx具有二阶连续导数，g0=0，g'0=1，g''0=2， （1）求a的值使f(x)连续； （2）求f'(x)。（8分）【答案】解：（1）a=limx0gx-sinxx00=limx0g'x-cosx=0 （3分）（2）f'0=limx0fx-f0

33、x=limx0gx-sinxx2=limx0g'x-cosx2x =limx0g''x-sinxx=g''x2=1 （3分） fx=xg'x-cosx-(gx-sinx)x2 x0 1 x=0 （2分）22. 直线l过点m（1，2，3）且与两平面x+2y-z=0，2x-3y+5z=6都平行，求直线l的方程。（8分）【答案】解：据题意,已知直线l过定点m(1,2, 3),已知平面的法向量分别为n1=1,2,-1,n2=(2,- 3,5) (2分)由题意,所求直线的方向向量sn1, sn2,所以取s=n1×n2= 7,-7,-7 (4分)故

34、由点向式可知所求直线方程为x一 11= y一2-1= z一3-1.(2分) 23. 设fx=sinx-cosx+x+1,0<x<2，求函数fx的单调区间与极值。（8分）【答案】 解：f'x=cosx+sinx+1=2+sin(x+4)+1,(0<x<2)令f'x=0，即sin(x+4)=-22,解之得x=或x=32 （3分） x，f'x以及 fx变化情况如下表：x(0, )(, 32)32(32, 2)f'x+0-0+fx递增+2递减32递增（3分） fx的单调增区间为 (0, )和(32, 2)，单调增区间为(, 32)。 f极大x=f

35、=+2,f极大x=f32=32 (2分)四、综合题（每小题10分，共30分）得分阅卷人25. 设函数fx可导，且满足方程fx=x+0x(x-t)f'tdt，求fx (10分）【答案】解：fx=x+0x(x-t)f'tdt=x+0xf'tdt-0xtf'tdt =x+xfx-0xtdft=x+xfx-tft0x+0xftdt=x+0xftdt所以fx=x+0xftdt（1） （4分） 在（1）式fx=x+0xftdt两边同时对x求导得f'x=1+fx （2分）下求dydx-y=1满足y0=0的特解由一阶线性微分方程的通解公式可知，其中px=-1,qx=1

36、y=e-pxdxqxepxdxdx+c=exe-xdx+c=ex-e-x+c=-1+cex （3分）又因y0=0，所以c=1，即所求函数fx=ex-1 （1分）26. 设函数fx在0, 1上可导，f0=f1=0, limx12fx-2002(x-12)2=1,试证：存在(12,1)，使得f=；(6分）存在(0,)，使得f'=1。(4分）【答案】解：:(1)令f(x)=f(x)-x,x0,1 因为f(x)在0,1上可导,且limx12f(x)- 2002x-122=1,f0=f1=0所以f(x)在0,1上可导,且limx12f(x)- 2002=0,即f(12)= 2002所以f(12)

37、=f(12)一12=2002 -12>0,f(1)=f(1)- 1=-1<0所以由零点定理可知,至少存在一点(12,1),使得f()=0,即f()=. (6分)(2)令f(x)=f(x)-x,x0,1则由(1)可知,f(x)在0,1上可导,且f()=0又因f(0)=f(1)=0,所以f(0)=0,所以由罗尔定理可知,至少存在一点(0,)使得f'()=0,即f'()=1. (4分) 2020年浙江普通“专升本”高等数学冲刺模拟试卷（四）题号一二三四总分得分考试说明：1.考试时间为150分钟2.满分为150分；3.答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，

38、否则无效。得分阅卷人一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5 个小题，每小题 4 分，共20 分）1函数fx=2arctan1x x<031x-12+31x x>0 ，则间断点x=0的类型为（ ）a. 可去间断点 b.连续点 c.跳跃间断点 d. 第二类间断点【答案】c【解析】 limx0-fx=limx0-2arctan1x=-1,limx0+ fx=limx0+31x-12+31x=1所以x=0是跳跃间断点，可见选项c正确.2. 若fx与gx可导，limxa fx=limxa gx=0，且limxa fxgx=a（a为有限数），则（ ）a. 必有limxa

39、 f'xg'x=ab. 必有limxaf'xg'x=b存在，且abc. 若limxaf'xg'x=b存在，未必a=bd. 若limxa f'xg'x=b存在，则a=b【答案】d【解析】根据洛必达法则的条件与结论.可见选项d正确.3. 以下结论正确的是（ ）a. 若x0为函数y=fx的驻点，则x0必为函数y=fx的极值点b. 函数y=fx导数不存在的点一定不是函数y=fx的极值点c. 函数y=fx的在x0处取得极值，且f'x0存在，则必有f'x0=0d. 若函数y=fx在x0处链接，则f'x0一定存在【答案】

40、c 【解析】驻点(f'(x0)=0)和不可导点(f'(x0)不存在)均可能取得极值,可见选项c正确.4. 余弦曲线y=cosx在区间0,2中与x轴所围图形的面积为（ ）a.2 b.4 c.0 d. 6【答案】b【解析】画图易知,平面图形的面积为s=02cosxdx=02cosxdx+232-cosxdx+322cosxdx=4,可见选项b正确.5. 设直线x-y+2z=0x-3y+z=2的方向角为，则cos=（ ）a. 530 b. 130 c. 230 d. -230【答案】b【解析】已知直线l的方向向量为s=n1×n2=ijk1-121-31=5i+j- 2k,即

41、s=(5,1, - 2),|s|=30 ,所以cos=130可见选项b正确.得分阅卷人二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题 4 分，共40 分）6. 函数y=arcsin(lnx)的连续区间为 .【答案】1e,e 【解析】本题连续区间即求定义域,由-1lnr1x>0 可得1exe,所以函数y=arcsin(lnx)的连续区间为1e,e7. limn(2n+3n5)1n= .【答案】3 【解析】limn(2n+3n5)1n=limnn2n+3nn5=limn3n23n+1n5=38. 已知函数fx=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f2= .【答案

42、】18 【解析】由题意f(1)= 10,f'(1)=0,可得3+ 2a+b=0,1+a+b+a2= 10,解得a=4,b=-11或a=-3,b= 3(此时在x=1处不取极值,故舍去),所以a=4,b=-11,所以f(2)= 18 9. 设y=lnx-1x+1，则dy= .【答案】2x2-1dx【解析】y=lnx-1x+1=lnx- 1- ln(x+1),y'=2x2-1,dy=y'dx=2x2-1dx10. 设由方程 ey-xy=1所确定的函数为y=yx，则dydx|x=0= .【答案】0【解析】用隐函数求导法 ,在方程ey- xy=1两边同时对x求导,得y'e

43、y-y-xy'=0,把x=0代入方程ey- xy=1得到y= 0,所以dydxx=0=0 11. 广义积分0+1ex+e-xdx= .【答案】4【解析】0+1ex+e-xdx=0+ex1+e2xdx=0+11+e2xdex=arctan(ex)0+=limx+arctanex-arctan1=2-4=412. 设x=ft y=t-arctant ，且dydx=t2,则d2ydx2= .【答案】t2+14t【解析】参数方程求导出dxdt=f'(t),dydt= t2t2+1.所以dydx=dydtdxdt=t2所以f'(t)=2tt2+1,所以d2ydx2=(t2)

44、9;f'(t)=t2+14t13. 定积分-11x2arcsinx+21+x2dx= .【答案】【解析】利用奇偶性计算定积分-11x2arcsinx+21+x2dx=-11x2arcsinx1+x2dx+=-1121+x2dx=40111+x2dx=4arctanx01=4arctan1=14. 垂直于x轴及向量（3,5,2）的单位向量为 .【答案】0,-229,529或0,229,-529【解析】据题意,设所求单位向量为a,i=1,0,0,b=3,5,2则i×b=ijk100352=-2j + 5k,所以a=i×bi×b=-229j+529k或者a=-i

45、×bi×b=229j-529k即a=0,-229,529或a=0,229,-529得分阅卷人三、计算题（本大题共8小题，其中1619小题每小题7分，2023小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给。）16. 设函数fx=ax+bx+1-2x+1 x04 x=0 在x=0处连续，求常数a，b。（7分）【答案】解：因为f(x)在x=0处连续 ,故limx0f(x)=f(0)=4而limx0(x+1-2x+1)=0,故必有limx0 (ax+b)=0,因此b=0 (3分)所以limx0fx=limx0ax+bx+1-2x+1=limx0(ax+b)(

46、x+1-2x+1)-x=-2a=4即a=-2. (4分)18. 已知函数fx=ln1+x x0x x<0，求f'x（7分）【答案】 解：当x> 0时,f'(x)=11+x,当x<0时,f'(x)=1 (2分)f'+0=limx0+fx-f0x=limx0+ln(1+x)x=1, f'-0=limx0-fx-f0x=limx0+xx=1所以f(x)在x=0处可导,且f'(0)=1 (4分)故f'x=11+x x01 x<0 (1分)19. 设k>0，讨论函数fx=lnx-xe+k在（0，+）内零点的个数。（7分

47、）【答案】 解：fx=lnx-xe+k,x0, +.f'x=1x-1e=e-xxe，令f'(x)=0,得x=e，(2分)又因当0<x<e时,f'(x)>0,f(x )在(0,e)上单调递增; 当x>e时,f'(x)< 0,所以函数f(x)在(e, +)上单调递减然而f(e)=k>0,limx0+ f(x)= limx0+ (lnx-xe+k)=- limx+ f(x)= limx+ (lnxexe+k)=-所以由零点定理结合单调性可知,该函数在(0,e)与(e, +)内至少各存在一个零点，(4分)故综上可知,函数在(0, +)

48、内有2个零点，(1分)20. 求不定积分ecosxsinxcosxdx（8分）【答案】解：ecosxsinxcosxdx=-ecosxcosxdcosx=-cosxdecosx (3分)=-(ecosxcosx-ecosxdcosx) (3分)=-ecosxcosx+ ecosx+c=ecosx(1- cosx)+c (2分)21. 求定积分25fx-2dx，其中fx=x2+1 0x1e2x 1<x3（8分）【答案】解析：设x-2=t,dx=dt (2分)25fx-2dx =03ftdt = 01ftdt+13ftdt (2分)=01t2+1dt+ 13e2tdt=(t33+t)01+e

49、2t213=43+12(e6-e2) (4分）22. 求由曲线y=ex,y=e,x=0所围成的平面图形得面积以及绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积（8分）【答案】解:s=01(e-ex)dx =(ex-ex)01=1 (4分) .v=01e2-ex2dx=12+(e2+1) (4分)四、综合题（每小题10分，共30分）得分阅卷人24. 设y=yx满足条件y''+4y'+4y=0,y0=2,y'0=-4,求0+yxdx。【答案】解：微分方程y'' + 4y' + 4y= 0的特征方程为r2+4r+4=0,r+22=0所以r1=r2=-2,所

50、以y'' + 4y' + 4y= 0的通解为y=c1+c2xe-2x (4分) .又因y(0)=2,所以c1=2且y'=c2e-2x-(c1+c2x)2e-2x再由y'(0)=-4可得c2-2c1=-4由和解得c1=2, c1=0,即所求函数为y=2e-2x (4分)所以0+yxdx=0+2e-2xdx=-0+e-2xd-2x=-e-2x0+=-limx+e-2x+1=1 (2分)25. 证明：当x>0时，1x>arctanx-2。 (10分）【答案】解：令fx=1x - arctanx +2,x(0, +) (2分)则f'(x)=-

51、1x2-11+x2<0所以函数f(x)在x(0, +)上单调递减(2分)所以当x>0时,fx>limx+fx,而limx+ fx= limx+1x arctanx +2=0 (4分)所以当x> 0时,f(x)> 0,即1x >arctanx-2 (2分)26. 设函数fx在1, +）上连续，若由曲线y=fx, 直线x=1，x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为vt=3t2ft-f1。（1）试求y=fx所满足的微分方程；(4分)（2）求该微分方程满足条件y|x=2=29 的解。(6分）【答案】解：(1)据题意,v(t)=1tf(x)2dx =3t2f(t)-f(1),即31tf(x)2dx =t2f(t)-f(1)上式两边同时对t求导得,3f2t=