曲线积分与曲面积分知识题目解析

1、.第十一章曲线积分与曲面积分第三节Green 公式及其应用1 利用 Green 公式，计算下列曲线积分：(1) xy 2 dyx 2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2y 29；L解：由 Green公式，得xy2 dy x2 ydx( x2y2 )dxdy 2 dr 3dr81，23LD002其中 D 为 x2y29 。(2)(e yy)dx( xey2 y) dy，其中L 为以O(0,0), A(1,2)及 B(1,0) 为顶点的三角形负向边界；L解：由 Green 公式，得(eyy)dx( xey2y)dy(eyey1)dxdydxdy 1。LDD*(3)x2 ydxxy2 dy ，其中

2、 L 为 x 2y 26x 的上半圆周从点A(6,0) 到点 O (0,0) 及 x 2y23x 的上半圆周L从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧 AOB ；解：连直线段AB ，使 L 与 BA 围成的区域为D ，由 Green公式，得x2 ydx xy 2dy( y2x2 )dxdyx2 ydx xy 2dy2 d6cosr3 dr03cosLDBA0152 34 cos4d1534322536404464*(4)ydxxdy，其中L为正向圆周 x 2( y1) 24 .Lx2y 2PQx2y2，( x, y)(0,0) 。作足够小的圆周l : x2y2r2,取逆时针方向，记L

3、与 l 围成的解：因为x( x2y2 ) 2y闭区域为 D ，由 Green 公式，得ydxxdy0，故x2y2LlydxxdyydxxdyydxxdyL x2y2lx2y2lr 22r 2 sin2r 2 cos2d20r2.2 计算下列对坐标的曲线积分：ex (12 cos y)dx2ex sin ydy ，其中 L 为曲线 ysin x 上由点 A(,0) 到点 O(0,0) 的一段弧；L解： Pex (12cos y), Q2ex sin y ，P2ex sin yQ ，yx故积分与路径无关，取A(,0) 经 x 轴到点 O (0,0) 的一条路径，从而原式 =ex (12cos y)

4、dx2ex sin ydy0e1 。ex dxAO*3 设函数 f (u) 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有f (xy)( ydxxdy)0 .LPQf ( xy) xyf (xy)， 记 L围成的闭区域为 D,由Green 公 式 ， 得证 明 ：xyf (xy)( ydxxdy)0dxdy 0 .LD第四节 对面积的曲面积分1 填空题：(1) 设为球面 x 2y 2z21 ，则dS4；(2) 面密度(x, y, z)3 的光滑曲面的质量 M3dS.2 计算下列对面积的曲面积分：(1)(2xy2z) dS，其中为平面 xyz1 在第一卦限的部分；解： D xy( x, y)

5、| xy1, x0, y0 ， z1xy ， dS3dxdy.原式 =(2 xy2(1xy) 3dxdy311 x(2y)dydx0Dxy0313x1x2)dx53(2602(2)zdS，其中为 z1 ( x2y 2 )( z1) 的部分；2解： Dxy( x, y) | x2y22( r ,) | 0r2,02 ，dS1x2y 2 dxdy原式1(x2y2)1x2y212231 r2drdxdydrD xy2200221)11r 2 dr 22(r033/22r 2 )1 r2 dr 2(6 31)2(1015dS*(3)y) 2，其中为 x y z 1, x 0, y0, z 0 围成四面

6、体的整个边界 .(1 x解：1234 ，其中1 : z1 x y, Dxy: x y1, dS3dxdy ，2: x0, Dyz : yz1, dSdzdy ，3 : y0, Dzx : xz1,dSdxdz，4: z0, Dxy : xy1, dSdxdy 。.原式dSy)2(1x12343dxdydydzdxdzdxdyD(1xy)2Dyz(1y)2D(1x) 2Dxy(1x y) 2xydyzxdydx(31dx1 x11y11 x1)(1xy)20 (1y)2dz0 (1 x) 2dz0000(31(11211ydy1)x)dx0 (1y)2012(31)ln 2323第七节Stoke

7、s 公式 * 环流量与旋度1 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)x 2 y3 dxdyzdz ，为 xOy 面内圆周 x 2y2a 2 逆时针方向；.解：取为平面z 0 的下侧被围成的部分， D 为在 xOy 面上的投影区域。由 Stokes 公式，得dydzdzdxdxdy原式 =xyz3x2 y2dxdy3x2 y2dxdya6D8x2 y31z(2)( y 2z2 )dx(z2x2 ) dy( x2y 2 ) dz ，为平面 xyz1在第一卦限部分三角形的边界，从x 轴正向看去是逆时针方向；解：取为平面 z0的上侧被围成的部分，的单位法向量 n( 1 ,1 ,1 ) 。 由 Sto

8、kes 公式，得333111coscoscos333原式 =xyzdSxydSzy2z2z2x2x2y2y2z2z2x2x2y244(x y z)dSdS 233.第十一章综合练习题1 填空题：(1)已知 L 为椭圆 x2y21 ，其周长为 a ，则 (2 xy3x24 y2 )ds43L12a；(2)已知 L 为直线 x1上从点(1,2) 到点 (1,3)的直线段，则5sin x tan ydx x3 dy1；L(3)设L是以点(0,0), (0,1) , (1,1)为顶点的三角形正向边界，则xy2 dx 2xydy0；L(4)曲线积分F ( x, y)( ydxxdy) 与路径无关，则可微

9、函数F (x, y) 应满足条件xFxyFy；L*(5) 设为平面 xyz1在第一卦限的部分，取上侧，则( y 2z2 ) dydz2( z2x2 ) dzdx 3( x2y 2 )dxdy0.2 求下列曲线积分：(1)x 2ds ，其中为球面 x 2y2z2a 2 被平面 xyz0 所截得的圆周；解：在的方程中，由于x, y, z 循环对称，故x2dSy2dSz2dS ，于是x2dS1( x2y2z2 )dS1a2 dSa22 a2a33333*(2)xdyydx，其中 L 是以 (1,0)为圆心， 2为半径的正向圆周；L 4x2y2.解：PQy24x2， (x, y)(0,0)。作足够小的

10、椭圆 l : 4x2y22yx(4x2y2 )2，取顺时针方向，由格林公式，得xdyydx0 。Ll4x2y22所以xdyydxxdy ydxxdyydx222 dL 4x2y2l4x2y2l20*3 在过点 O(0,0)和 A(,0) 的 曲 线 族 ya sin x(a0)中，求一条曲线 L ，使该曲线从O到 A积分(1y3 )dx(2xy)dy 的值最小 .L解：令 I (a)(1y3 )dx(2 xy)dy ，则LI (a)1a3 sin3 x(2xasin x)a cosxdx4a4 a3 。03所以 I(a)4( a21)0所以得驻点 a1。又 I(1)80 ，故 I (a)在 a

11、1取得最小值，从而 L 为 ysin x(0x) 。*4 设曲线积分xy2 dxy(x)dy 与 路 径 无 关 ,其 中具有连续的导数,且 (0) 0,计算L(1,1)(x)dy .xy2 dx y(0 ,0)解：P2xy ，Qy() ，由于积分2dxy (x)dy与路径无关，yxxxyL所以PQ ，即 2xyy( x) ，从而(x)x2c 。 由(0)0，知 c 0，所以 ( x)x2 。 于是yx(1,1)y ( x)dy11xy2dxydy。(0,0)025 计算下列曲面积分：(1)x 2dS ，其中为圆柱面 x 2y 21介于 z0 与 z2 之间的部分；解：在的方程中，由于x 与

12、y 循环对称，故x2dSy2dS ，于是x2dS1( x2y 2 )dS1dS 222*(2)xdydz( z1) 2 dxdy ，其中为下半球面 z1x2y 2 的上侧；x 2y2z2.解：设平面1:z0,( x, y)D( x, y) | x2y 21 ，取下侧。和1围成的下半球体为。由格林公式得：xdydz( z1)2 dxdyxdydz(z1)2 dxdyx2y2z2xdydz( z1)2 dxdyxdydz(z 1)2 dxdy11(32z)dydxdyD222d1rdr0zdz001 r22近三年考研真题（ 2013年） 1.设L1 : x2y21 ,L2 : x2y 22,L3

13、: x22 y22, L4 : 2 x2y22为四条逆时针方向的平面曲线，记 Ii( yy3)dx(2 xx3)dy(i1,2,3,4) ，则 max I1, I 2 , I 3 , I 4（）L i63（A） I1(B)I 2(C)I 3（D） I4（ 2012 年） 2. 设( x, y, z) | xyz1, x0, y0, z0 ，则y2 ds（ 2011 年） 3. 设 L 是柱面方程x2y21与平面 zxy 的交线， 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则2曲线积分xzdxxdyy dzL2（ 2011 年）4. 已知 L 是第一象限中从点（ 0，0 ）沿圆周 x2y22

14、x 到点（ 2，0 ），再沿圆周 x2y24 到点（ 0 ，2 ）的曲线段，计算曲线积分J3x2 ydx( x3x2 y)dy 。L.近三年考研真题解析（ 2013 年） 1. 解析：由格林公式：I i( yy3)dx(2 xx3)dy(1 x2y2)dxdyLi63Di2D1D4 ，在 D 4 内 1 x2y20 ，因此 I1I 4 。2I 2(1x2y2(12y2(1 x2y2)dxdyx)dxdy)dxdyD22D 42D2 D42而在在 D4外 1x2y20，因此 I 2I 4 。2.可得 I 3I 4 。（利用极坐标分别计算出I3 和 I 4 ）（ 2012 年） 2. 解析：由曲面积分的计算公式可知：y2 dsy2 1 ( 1)2( 1)2 dxdy3 y2 dxdy ，DD其中 D( x, y) | x0, y0, xy1 ，故原式 =11 yy 2dx312 (1 y) dy33dyy。00012（ 2011 年） 3. 解析：由斯托克斯公式