毕业设计建模new2

1、四旋翼飞行器的建模本章的主要内容是对四旋翼飞行器进行理论建模。阐述了四旋翼飞行器的基本原理，分析了其控制方式和特点。根据牛顿欧拉定律，分析了作用在四旋翼上的各个外力和外力矩，推导出四旋翼飞行器的动力学模型。对驱动四旋翼飞行器的直流无刷电机进行了模型推导。1.四旋翼飞行器原理分析四旋翼飞行器通常具有两种不同的飞行方式：X 型与十字型。X 型飞行方式的四旋翼飞行器的姿态改变方向与机身成 45 度，十字型飞行方式四旋翼飞行器姿态改变方向与飞行器机身相同。X 型飞行方式的飞行器有更好的控制灵敏度与稳定性，十字型飞行方式的飞行器的螺旋桨分布在机体坐标系的坐标轴上，因此方便理论分析与控制。故本文采用十字飞

2、行。如图 1 为十字型与 X 型四旋翼飞行器模式示意图。2.X型四旋翼飞行器的飞行控制方式飞行器的动力学模型如图2所示1。飞行器载体坐标系B，原点固连于飞行器的重心，以坐标轴xB，yB，zB表示，分别指向飞行器的前(横滚轴) 、右(俯仰轴) 和下(偏航轴) 方向。选取导航坐标系N为参考坐标系(地面坐标系)，以坐标轴xN，yN，zN表示，分别指向北，东和当地垂线向下方向。M和F 分别代表飞行器受到转矩和升力。图1：两种飞行器飞行模式示意图图2：四旋翼飞行器动力学模型四旋翼飞行器产生基本动作的原理为: 电机1和3逆时针旋转驱动两个正桨产生升力，电机2和4顺时针旋转驱动两个反桨产生升力。反向旋转的两

3、组电机和桨使其各自对机身产生的转矩相互抵消，保证4个电机转速一致时机身不发生转动- 通过对四个旋翼转速的控制可以实现飞行器的起飞、降落、悬停、俯仰、滚转以及偏航运动(1)起飞、降落和悬停的时，首先要保证四个旋翼的转速相同，使其俯仰、滚转和偏航力矩为零，同时改变四个旋翼的转速从而改变旋翼的拉力，当四个旋翼的合拉力大于飞行器自身重力时，飞行器将上升起飞；当四个旋翼的合拉力等于自身重力时，飞行器将保持悬停；而当四个旋翼的合拉力小于自身重力时，飞行器无法获得足够的升力将开始下落。 即4个电机转速同时增大(减小)-如图3所示（示意图中Left为电机1，Back为电机2，Right图3.四旋翼飞行器垂直运

4、动示意图图4.四旋翼飞行器俯仰运动示意图为电机3，Font为电机4）图5.四旋翼飞行器翻滚运动示意图图6.四旋翼飞行器偏航运动示意图(2) 要使四旋翼飞行器进行俯仰，需要在飞行器相应轴上施加力矩，可通过改变该轴两端旋翼的转速产生相应力矩，但是在进行旋翼调速时还需要保证飞行器偏航轴上的力矩为零，这就需要使加速的旋翼所增大的反扭矩与减速的旋翼所减小的反扭矩相等，从而保持整体扭矩不发生变化。即电机4转速减小(增大) ，同时电机2转速增大(减小)，如图4所示。滚转运动则是电机3转速减小(增大) ，同时电机1转速增大(减小) ，如图5所示。令俯仰角为，翻滚角为（3）要进行偏航运动，则需要在偏航轴上施加力

5、矩，但同时要保持飞行器俯仰和滚转轴上的力矩为零同时保持四个旋翼的合升力不变。由于四旋翼飞行器俯仰轴和滚转轴两端分别使用旋转方向相反的两对旋翼，因此同时增加某一个轴上两个旋翼的转速并减小另一个轴上两个旋翼的转速可以保持俯仰和滚转力矩为零同时在偏航轴上产生偏航力矩。对角线的电机1和3转速增大，另一组电机2和4转速减小产生自身旋转运动。如图6所示。令偏航角为。3.坐标系建立根据坐标系之间的转换推导可得地面坐标系E到机体坐标系B的转换矩阵为2：3-1机体坐标系B到地面坐标系E的转换矩阵为 3-24.外力平衡方程 根据牛顿第二定律可知，地面坐标系下四旋翼的质心运动方程为： 4-1式中，m为四旋翼的质量，

6、为四旋翼无人机质心相对于地面坐标系的速度矢量，为作用在四旋翼上的合外力的矢量。对于四旋翼无人机，作用在飞行器机体上的外力包括重力、旋翼升力和阻力。重力表示为： 4-2根据参考文献3，电机旋翼产生的力与其转速的平方成正比。因此，单个旋翼产生的力可以表示为： 4-3其中，b是电机拉力转换系数，其中为空气密度、为旋翼半径、为旋翼旋盘面积，Ct为升力系数。是第i个电机的转速。由此可得旋翼产生的总的升力为： 4-45.旋翼挥舞运动4旋翼挥舞运动对于飞行器的建模来说是非常重要的。如图所示飞行器在空中平移时，朝飞行方向转动的桨叶（前进桨叶）旋转的速度会比转动相反的旋翼（后退桨叶）更快。也就是说前进桨叶产生升

7、力将增大，后退桨叶产生的升力将减小，从侧面观察可知飞行器平移飞行的时候，旋翼并不是在与机身垂直的平面上旋转，而是与其有一个夹角，这个夹角称为“旋翼挥舞角”。图7.四旋翼平移飞行时的旋翼挥舞运动图8.旋翼挥舞角示意图如图所示，通过建立旋翼坐标系，x，y，z轴方向和飞行器机体坐标系方向一致。当旋翼旋转到x轴正上方时，与x轴的夹角为a1s称为纵向挥舞角， 旋翼旋转到y轴正上方时，与y轴的夹角为b1s称为横向挥舞角。每一个旋翼中心在地坐标系下的运动速度: 5-1其中V是质心的速度 ，di (i=N，S，E，W):表示在机体坐标系下旋翼的方位。 5-2其中可得平行于旋翼构造平面的速度系数，即前进比为:

8、5-4其中为旋翼转动角速度，r为旋翼半径。也可知垂直于旋翼构造平面的速度系数，即流入比为 5-5旋转方位角为 5-6令j=可得旋转矩阵 5-7u1s和v1s是旋翼坐标系下的纵向挥舞角和横向挥舞角，通过与旋转正交坐标系到静止正交坐标系的旋转矩阵J的乘积得到机身坐标系下的纵向挥舞角和横向挥舞角。 5-8又 5-9其中，是理想的旋翼扭转下的桨叶倾斜角，是桨叶的叶根角，是桨叶的扭转角，CT是升力因数，是空气密度，是旋翼升力曲线斜率。根据相关文献4，即得 5.10 对其进行近似化处理可得 5-11根据坐标系之间的转换矩阵可知，桨叶坐标系相对于机身坐标系是通过绕x轴旋转a1s，再绕y轴旋转b1s。其变换矩

9、阵为 5-12 5-13惯性坐标系下四旋翼所受外力的平衡方程为： 5-14继而，四旋翼飞行器在地面坐标系下的线运动方程可以表示为 5-156.外力矩平衡方程根据牛顿第二定律，描述飞行器转动的欧拉方程为5： 6-1式中M为飞行器的合外力矩，为四旋翼无人机相对于机体坐标系的转动角速度矢量，为四旋翼飞行器相对质心的惯性矩阵假设四旋翼飞行器结构具有很好的对称性，认为其质心位于机体中心，我们可以得到惯性积为，绕x、y、z坐标轴的转动惯量不为0，四旋翼飞行器的机体惯性矩阵J表示为:。分别为对应轴的转动惯量。式6-1的左边第二项可以写成 6-2结合6-1得到 6-3Mx ，My ，Mz分别为飞行器在x，y，

10、z三个坐标方向上的合外力矩分量。其中作用在无人机上的合外力矩M主要有阻力力矩、旋翼力矩和陀螺力矩。由于飞行器进行低速飞行，所以忽略掉空气阻力力矩的影响旋翼力矩是由旋翼旋转产生的拉力和空气阻力共同引起的。四旋翼无人机是轴对称的，因此俯仰通道和滚转通道近似对称，滚转力矩是由 1，3号旋翼拉力差所引起的，俯仰力矩是由 2，4号旋翼拉力差所引起。偏航力矩是由于1，3与2，4号旋翼拉力不同引起的。故滚转力矩，俯仰力矩偏航力矩分别用表示。 6-4其中d为飞行器的质心到旋翼旋转轴之间的距离，为飞行过程中四旋翼在Z轴所受的力矩，表示为: 6-5其中为旋翼的力矩转换系数，其中为空气密度、为旋翼半径、为旋翼旋盘面

11、积、反扭矩系数。对6-4，6-5整理得 6-6陀螺力矩6是指飞行过程中受到由旋翼旋转产生的陀螺效应。因为旋翼分两组，一组顺时钟高速旋转，另一组逆时钟高速旋转。当飞行器做俯仰或翻滚运动时，会改变旋转飞行器的角动量的方向，从而产生力矩。当旋翼转速的代数和不等于零时，将引起机体的不平衡，即产生一个陀螺力矩，使机体进行旋转运动。 6-7其中分别为前后左右旋翼的转速，jr为旋翼的转动惯量。对6-7进行化简可得 6-8其中，为四个旋翼转速的代数和，即对6-3，6-4，6-5，6-8整理可得即 6-9接下来讨论欧拉角速率与三轴角速率的关系，四旋翼飞行器系统的运动学方程组相似于其他飞行器，由旋转理论可以将地面

12、坐标系下姿态角速率与机体坐标系下的三轴角速度分量( p , q ,r )的关系表示如下2:上式也可写成 6-10这个方程也称为系统运动学方程的旋转运动，反映了姿态角速率与机体坐标系的三个角速度分量之间的关系。结合公式5-15,6-9，6-1,可以给出四旋翼系统动力学的最终模型为6-117. 无刷直流电机的数学模型四旋翼飞行器采用的是无刷直流电机来驱动，其电机模型分为两部分：1）无刷直流电机稳态模型，即 PWM 波占空比与电机稳定转速的关系。2）电机动态建模，即无刷电机响应给定的转速的动态过程的建模。1.无刷直流电机的稳态模型要建立无刷直流电机的稳态模型，只须测量并记录 PWM 波及对应的稳态转

13、速，对其进行曲线拟合即可。建立无刷直流电机稳态模型的具体框架如图9所示。图中 PC 机主要用于 DSP控制程序的调试，通过改变输出的PWM 波占空比的大小实现电机的调速。电源采用的是普通用航模3S电池，电压为 11.1V。电调将两相直流电转换为三相交流电，输出给电机。通过接收到的 PWM 波控制电调中开关管的开关频率，可以实现无刷电机的转速可调。转速测量由光电开关来完成。PWMPC机DSP电调无刷电机电源图92.无刷直流电机的动态模型在四旋翼飞行器中，旋翼是由无刷直流电机驱动的。设加在直流电机电枢回路两端的控制电压为u,电流为i，电机转子的转速为m ，则电枢回路的电压平衡方程: 7-1其中Rm

14、ot、L分别为电机的等效电阻和电感，ke为电机的电势系数。电机转动的力矩平衡方程 7-2其中，Jm为电机轴上的等效转动惯量,Mfr为电机的负载力矩，Mem为电机的力矩。Mem=kmi。由于使用的小电机具有很低的感应系数L，这里忽略L，则式7-1变为： 7-3带入上式得： 7-4方程等效为： 7-5在旋翼的变速的情况下，电机的力矩可以根据经验得出： 7-6是旋翼的角速度，是变速的效率，是下降比例。本设计为涉及用齿轮箱对旋翼进行变速，故其等效为： 7-7电机的转动惯量为： 7-8是旋翼作用在电机上的转动惯量。电机的方程式可以写成： 7-9如果设为电机的总转动惯量，则写成： 7-10令，方程简化为：

15、 7-11在某个工作点附近，使用一阶泰勒级数展开，线性化为: 7-12其中：从而可知直流电机的动态模型可近似为惯性环节。近似的惯性环节可表示为： 7-13由于电压和占空比之间呈线性关系，故可将其简化成： 7-14其中k1为电压和占空比之间的比例系数，Tm ，k分别为电机时间常数和增益。时间常数Tm可通过系统的单位阶跃响应曲线求得，即响应上升到响应曲线幅值的 0.632 时所用的时间如图4（横坐标代表采样次数，纵坐标代表转速）。实验通过DSP控制输出一路PWM驱动电调使电机工作，一路采用ECAP（捕获模块）对装在电机上的码盘进行数据采集，通过采集到的时间进行换算成电机转速，时间常数的测定过程通过

16、软件完成，当电机运行到内同步后，软件给定电机一个初始占空比（即转速），将电机的工作点设定在 850rad/s，稳定运行一段时间后，增大控制电压占空比，这相当于给定了电机一个电压阶跃信号，当电机转速再次稳定在1200rad/s后，测量螺旋桨转速的变化曲线即可求得电机的时间常数。由于CCS软件是每0.5s采集一次数据，根据测试结果计算可得到电机的时间常数Tm=0.7。图10电机时间常数测量图采用 MATLAB Curve Fitting 工具对记录的 PWM 波占空比及转速数据进行曲线拟合，如图5 所示。，故增益k为2540。图11 电机增益测量图 所以直流电机的动态模型为 7-15参考文献1 张广玉.张洪涛.李隆球.王林.四旋翼微型飞行器设计J.哈尔滨理工大学2012年1月.110114.2秦永元.惯性导航(第二版)M.科学出版社，2014年1月.47 .3 Norafizah Abas, Ari Legowo, Rini Akmeliawati . Parameter Identification of an Autonomous Quadrot