一阶倒立摆控制系统设计培训讲学

1、课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计 院 系:信息与电气工程学院班 级：设计者：学 号：指导教师:设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号课程设计(论文)任务书专业自动化班级0902101学生指导教师题目一阶倒立摆课程设计子题设计时间2013年2 月25日至 2013年3月8 日共2 周设计要求设计(论文)的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设 计、说明书(计算、图纸、撰写内容及规范等)、工作量等内容。1.建立一阶倒立摆数学模型2 做模型仿真试验(1) 给出Matlab仿真程序。(2) 给出仿真结果和响应曲线。3.倒立摆系统的PID控制算法

2、设计设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：(1) 稳定时间小于5秒(2) 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4倒立摆系统的最优控制算法设计用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：(1) 摆杆角度日和小车位移x的稳定时间小于 5秒(2) x的上升时间小于1秒(3) 日的超调量小于20度(0.35弧度)(4) 稳态误差小于 2%。指导教师签字:系(教研室)主任签字:2013年 3月 5日目录一、建立一阶倒立摆数学模型 41. 一阶倒立摆的微分方程模型 42. 一阶倒立摆

3、的传递函数模型 63. 一阶倒立摆的状态空间模型 7二、一阶倒立摆 matlab 仿真 9三、倒立摆系统的 PID 控制算法设计 13四、倒立摆系统的最优控制算法设计 23五、总结 错误！未定义书签。六、参考文献 29、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。系统内部各相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x 小车位置©摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1. 一阶倒

4、立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。P一 -!十亠菽图1-2小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:Mx = F-bx-N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:j2N = /?-（x + /sin（9）dr即： -V 二 ni -6 - nilO' sm H(1-1)(1-2)(1-3)把这个等式代入式（1-1）中，就得到系统的第一个运动方程:(M 十 m x 十 hx + mid cos3 ml32 sin = F(1-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向

5、上的合力进行分析, 可以得到下面方程：P mg = in - / cos 3) dr即：P- mg = -mlOsin 0 - ml岸 cos0(1-5)(1-6)力矩平衡方程如下：一 Pl sin 6 Nl cos & = 10(1-7)由于一一"一，.-所以等式前面有负号合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程:(I + ml2 )0 + mg! sin 6 - -mlxcosG(1-8)设二1 ' , ( ©是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设© <<1弧度，则可以进行近似处理：COST - _1,s in ：1 - -

6、,(-)0 o用u代表被控对 dt象的输入力F,利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：(/ + ml2 ” mgl(/)- mix' (M + m)x + bx 用/0 = u(1-9)2. 一阶倒立摆的传递函数模型对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：(I + 川厂)O(5)5=-咆(s) = inlX(s)s2(M + m)X(s)s2 + bX(s)s = U(s)注意：推导传递函数时假设初始条件为 0 o由于输出为角度©，求解方程组的第一个方程，可得:,-、r(I 4- /?/ ) J? _ _ y 、ml丁或O(5)_mis2X(s) (7 + ml2)

7、s2 - mg/11如果令二，则有：($) _mlV(s) (I + ml2)s2 -mgl把上式代入方程组(2-1 )的第二个方程，得：(2-2)(2-3)(2-4)(2-5)(M + /M)ml整理后得到传递函数:2+h(“加)gnmls= U(s)ml5qJ7G) 4 b(I +ml 3 M - m)mgl 2 bmg! q(2-6)其中二；|_：k十曲一肩T 3. 阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为:X = .4X + Buy = CY + Du(3-1)方程组（2-9）对解代数方程，得到解如下: *X = X“-(I +ml2)b +wrg/2 £(1 + ml2)

8、X r X -4 0 4t- U1(1+l(M + 加)+f (M + 川)+ M用厂0 = d： rnlb(3-1)mgl(M + rtj)1M + 册)+ Mml' 1 (M + fli) + Mml'I (M + wi) +ntlX0(1-(1 + ml2 )b0 0"0： 0X1(X1 + ni) + -fniTi(M +ni) + Mfnl-d000 100-fl?/?IM +zjj) + Mini2mgl(M +m)0I(M + in)十 MmP整理后得到系统状态空间方程:0I + ml11M+0i(M + hi) + Mini2(3-2)_1 0 0 o

9、-X0V -十«rOO1O 00U(3-3)摆杆的惯量为訓'代入（1-9）的第一个方程为:得:- fngl = mix化简得：3)(3-4)0 1 0 0_X0 0() 0X10 0 0 10+00 0 0YA34/JL4/_II设X =xx则有:,U = Xx1X10 0 0X0+0010000U (3-5)4.实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下：M小车质量0.5 Kgm摆杆质量0.2 Kgb 小车摩擦系数0 .1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3mI摆杆惯量0.006 kg*m*m代入上述参数可得系统的实际模型 摆杆角度和小车位移的传递函数

10、：(4-1)(4-2)0(s) _0.06s2X(s) 0.024s2-0.588摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:0(s)0.06V(s)0.024s20.588摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：' 7 !，；：,( 4-3)(J(S) S3 +O.181818s2-31.181818s-4.4S4S45Urolo+X -X 9-9-L 01OJO 1o Orlb-亠*X ® -y17以外界作用力作为输入的系统状态方程:*t« "X010*0 'X0-0.1818182.6727270X1.818182 <fa0001<P+

11、0.0-045454531J818180.©4.545455.以小车加速度为输入的系统状态方程:0 ibtp(4-5)O'0-弋、一阶倒立摆 matlab仿真实际系统参数如下， 按照上面给出的例子求系统的传递函数、 并进行脉冲响应和阶跃响应的 matlab 仿真。状态空间方程，M 小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量T采样时间1. 传递函数法Matlab 程序如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*LA2)-(m*L)A2;num=m*L/q 0 0den=1

12、b*(I+m*LA2)/q -(M+m)*m*g*Lr,p,k=residue(num,den);1.096Kg0.109Kg0.1 N/m/sec0.25m0.0034 kg*m*m0.005 秒-b*m*g*L/q 0;s=p;得到传递函数的分子：num =2.3566 0 0 以及传递函数分母 :den =1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0开环极点:s =-5.27805.2727-0.0830由此可知，系统传递函数的多项式表达式为:G(s)U(s)2.3566s2s4 0.0883s3 -27.8285s2 -2.3094s(2-1)系统的开环极点为（s）

13、: s -5.2780、S2 = 5.2727、&二-0.0830、s0，由于有一个开环极点位于S平面的右半部，开环系统并不是稳定的。系统的脉冲响应如下，由图也可见，系统并不稳定。50/if/ISystemn: sysTime (sec): 0.916_ SysAmPisyde: 27.6Time (sec): 0.885Amplitude: 23.4/Impulse Resp onse4540533052205O5eanMLpm图2.1开环系统脉冲响应2.状态空间法状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试 同时对摆杆角度和小车位置进行控制。为了更具挑战性，

14、给小车加一个阶跃输 入信号。我们用Matlab求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。在这里给出一个state.m文件，执行这个文件，Matlab将会给出系统状态空间方程的A, B, C和D矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2 N的阶跃信号时系统的响应曲线。 state.m 程序如下：p=l*(M+m)+M*m*L2;>> A = 0100;0 -(I+m*LA2)*b/p(mA2*g*LA2)/p0;0 0 0 1;0-(m*L*b)/pm*g*L*(M+m)/p00 1.0000 0 0 -0.0883 0.62930 0 1.00000 -0.2357 27.8

15、285>> B=0;(I+m*LA2)/p;0;m*L/pB =00.883202.3566>> C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0C =10000010D =00matlab 仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示,系统并不稳定1009080706050403020100/.cart positionpendulum angle <L/£/一0.511.52图2.2系统开环阶跃响应曲线02.5三、倒立摆系统的PID控制算法设计1. 实验要求与目的要求：设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指 标为：(1) 稳定时间小于

16、5秒(2) 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真目的：进一步熟悉PID控制器的设计方法，步骤，以及 P、I、D三参数的 调节方法。2. 理论分析PID控制原理在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如下图所示。系统由模拟 PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。OantrollerPlantKD(f>G(J>PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差e(t)e(t) =r(t) - y(t)将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量

17、，对被控对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为u(t)*e(t)丄e(t)d"IL T| 0de(t) Idt或写成传递函数的形式G(s)= Kp 1 十丄十 TdSE(s) i T|S 丿式中：Kp比例系数；T| 积分时间常数；Td 微分时间常数。在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成G(s)= Kp 0 KdSE(s)s式中：Kp比例系数；K| 积分系数；Kd 微分系数。简单说来，PID控制器各校正环节的作用如下：(1) 比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。(2) 积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型

18、别。积分作用的强弱取决于积 分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。(3) 微分环节：反映偏差信号的变化趋势 (变化速率)，并能在偏差信号值变得太大之 前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度， 减小调节时间。摆杆角度控制 这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如下:Caitrol lerPlantKg3图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递函数。考虑到输入r(s) = 0 ,结构图可以很容易地变换成该系统的输出为y(s)G(s)1 KD(s)

19、G(s)numF(s)denF(s)1 (numPID)(num) v 丿(denPID)(den)num(de nPID)KKD(s)二 KDs KP 1 s(de nPID)(den) (nu mPID)( nu m)F(s)其中：num被控对象传递函数的分子项den 被控对象传递函数的分母项numPID pid控制器传递函数的分子项denPID pid控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是ml 2s*(s)qnum2U (s)4 b(I ml ) 3 (M m)mgl 2 bmgl dens 十s s sqqq其中q 二(M m)(I ml2)-(ml)2PID控制器的传递函数为2K

20、dS KpS Ki _ numPID sde nPID只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。小车位置控制小车位置作为输出时，系统框图如下：由于输入信号r（s） =0，所以可以把结构图转换成:ControllerPlant 1KDp)%)其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。小车位置输出为：num2X(s)二G2(s)1 KD(s)Gi(s)den21 (numPID )(numi)(den PID)(den1)F(s)F(s)(nu m2)(de nPID )(denj(denPID"de

21、m )(den2) (numPID )(num/den?)其中，numi， deni， num?， den?分别代表被控对象 1和被控对象2传递函数的分 子和分母。numPID和denPID代表pid控制器传递函数的分子和分母。 下面我们来 求G2（S），根据前面实验二的推导，有X(s) “2(I ml2)ml-耳(s)s可以推出小车位置的传递函数为G2 (S)X(s)2(I ml ) 2 mglqU(s) s4 bms3q(M +m)mgl $2bmgl其中 q =(M m)(I ml2) -(ml)2可以看出，dem =den2 = den，小车的算式可以简化成:F(s)X(s)(嘶叫(d

22、enPID)(den ) +k(numPID)(num)3. PID控制算法的MATLAB仿真实际系统参数如下：M小车质量1.096 Kgm摆杆质量0.109 Kgb小车摩擦系数0 .1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*mF加在小车上的力x小车位置T米样时间摆杆的matlab仿真程序代码如下：M=0.5;m=0.2;b=0.1;1=0.006;g=9.8;L=0.3;q=(M+m)*(I+m*LA2)-(m*L)A2;num1=m*L/q 0 0;den仁1 b*(l+m*LA2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0;K

23、p=1;Ki=1;Kd=1;numPID= Kd Kp Ki;den PID=1 0;num=conv(nu m1,de nPID);den=polyadd(c on v(de nPID,de n1),c onv(nu mPID ,nu ml); r,p,k=residue( nu m,de n);s=pt=0:0.005:5;impulse( nu m,de n,t)axis(O 2 0 10)运行程序得到:s =-6.41613.96930.001900并得到仿真图像如下:eanMupmATime (sec)图3.1 kp=ki=kd=1时的仿真响应图可见此时系统并不稳定，此时应该首先调整

24、kp,观察其响应的变化:讲kp设置为150,得到并观察响应图如下：-1.2224 +18.0044i-1.2224 -18.0044i-0.0000-0.0000-0.0000Impulse Response图3-2, kp=150系统仿真图可见此时系统两个闭环极点均在 S平面做平面，系统稳定，系统稳定时间约 为4秒，满足要求。此时系统有极小的静态误差，根据系统对于精度的要求可 酌情考虑是否添加积分控制，本文添加积分控制。将积分参数设为5,得到并观察闭环响应图。在笔者经过多次尝试之后，发现积分控制对于系统响应的调节作用极小，笔 者给出当积分参数分别设为10和50的响应图如下：图3-3，ki=1

25、0的响应0.2-0.20Impulse Response0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.511.522.533.544.55Time (sec)图3-4 , ki=50系统的响应积分作用通常是用来调整系统的静态误差，使之达到需要的范围，但是此处 明显积分作用对系统的影响不大，并了解到被控对象的特性属于变化快的类型, 应该考虑改变微分控制，虽然微分控制在实际系统中运用并不多见。笔者将微分作用参数设置为10,20,50观察其效果图。0.20.15oeaupmAo5 15 2 oo o - o - - -Impulse Response05o图 3-5，kp=150,ki=5

26、0,kd=10 的仿真图像eu-pmAImpulse Response11.522.53Time (sec)3.544.552 5OO05O05-05-Impulse Response11.53.544.552 5OO05O5 15 0.1. O - O - -图 3-6 , kp=150,ki=50,kd=20的仿真图像22.53Time (sec)图 3-7, kp=150,ki=50,kd=50 的仿真图像当微分效果加上去的时候，系统闭环仿真图像结果得到了质的改善，瞬间取 代了超调，不稳定，响应时间也迅速降到了0.5秒，稳定时间在1秒，完美地 完成了任务。 其效果已经不能简单的用好来形容

27、， 但是微分作用并非如此普及， 并且每次都效果如此良好，要根据不同的对象来判断用什么作用。必须要说的 是，微分作用在物理实现中是并不容易的，如果只有比例调节和积分调节就能 达到预想的效果，那就不要使用微分调节。4.小车位置控制算法仿真pid2.m 是仿真小车位置变化的 m 文件，文件如下：% 小车位置 PID 控制% 输入倒立摆传递函数 G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2M = 1.096; m = 0.109; b = 0.1; I = 0.0034; g = 9.8; l= 0.25;q = (M+m)*(l+m*L2) -(m*l)A2;num1 = m*l/

28、q 0 0;den1 = 1 b*(l+m*lA2)/q-(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;num2 = -(l+m*lA2)/q0 m*g*l/q;den2 = den1;% 输入控制器 PlD 数学模型 Gc(s)=numPlD/denPlDKp = 150; Ki = 50; Kd = 50;numPlD = Kd Kp Ki;denPlD = 1 0;% 计算闭环系统传递函数 G(s)=num/den% 多项式相乘num = conv(num2,denPlD);% 多项式相加den = polyadd(conv(denPlD,den2),conv(numPlD,nu

29、m1 );% 求闭环系统极点r,p,k = residue(num,den);% 显示闭环系统极点s = p% 求取多项式传函的脉冲响应t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)% 显示范围：横坐标 0-5，纵坐标 0-10，此条语句参数可根据仿真输出曲线调 整axis(0 5 -0.1 0.5)grid此时系统取Kp=150, Ki=50 , Kd=50,阶跃响应仿真曲线如下图所示：s =-115.0953-2.4030-0.41770Impulse Resp onseeTime (sec)图3-8，小车位置仿真由仿真结果能够看出，当摆杆角度处于很好的闭环控制下时，小车位置

30、虽然处 于失控状态，但是上升速度不快。四、倒立摆系统的最优控制算法设计1. 设计目的与要求现代控制理论的最突出特点就是将控制对象用状态空间表达式的形式表示出 来，这样便于对多输入多输出系统进行分析和设计。线性二次型最优控制算法（LQR）是现代控制理论中一种重要的、基本的方法，LQR算法的目的是在一定的性能指标下，使系统的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，来达到最 小的状态误差。本章主要利用最优控制算法实现对一阶倒立摆系统的摆杆角度 和小车位置的同时控制。设计目的：学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法。设计要求：用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2N的阶跃信号时，闭环系 统的响

31、应指标为：（1）摆杆角度二和小车位移x的稳定时间小于5秒（2）x的上升时间小于1秒（3）二的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。2. 最优控制器的设计在PID调节中，我们的输入是脉冲量，并且在设计控制器时，只对摆 杆角度进行控制，而不考虑小车的位移。然而，对一个倒立摆系统来说， 把它作为单输出系统是不符合实际的，如果把系统当作多输出系统的话， 用状态空间法分析要相对简单一些，在这一章我们将设计一个对摆杆位置和小车位移都进行控制的控制器。系统状态方程为X 二 AX BuY =CX Du在倒立摆相关参数为：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I

32、摆杆惯量T采样时间的条件下，状态方程系数矩阵如下：-0100 1A =00.088301.00000001.000000.235727.82850 一71.096Kg0.2109Kg0.1 N/m/sec0.25 m0.0034 kg*m*m0.005 秒；1 0 0 01；c =0 0 1 0一0.88322.3566最优控制的前提条件是系统是能控的，下面来判断一下系统的能控能观性(mA2*g*LA2)/p0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/pMatlab仿真程序如下： A=0 1 0 0;0 -(I+m*LA2)*b/p m*g*L*(m+M)/p 0B=0;(l+m*LA2)/p;

33、0;(m*L)/p C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0Qc=ctrb(A,B); 判断能控性 K=ra nk(Qc)Qo=obsv(A,C) ； /判断能观性 l=ra nk(Qo)1. Matlab仿真结果为：4即：系统的能控矩阵的秩 rankB AB A2B A3B =4系统的能观矩阵的秩 rankC CA CA2 CA3 =4。故系统是能控能观的。因此可以给系统加上最优控制器使得系统闭环稳定，且 满足暂态性能指标。在运用线性二次型最优控制算法进行控制器设计时，主要 的目的就是获得反馈向量 K的值。由上一小节的推导知道，设计系统状态反馈 控制器时，一个关键的问题就是二次型性能指标

34、泛函中加权矩阵Q和R的选取为了使问题简化及加权矩阵具有比较明确的物理意义，我们将Q取为对角阵。假设Qn0000Q2200Q =； R =r00Q330000Q44 一2 2Q22X2Q33X3这样得到的性能指标泛函为2Xi 由上式可以看出，Qii是对xi的平方的加权，Qh的相对增加就意味着对xi的要 求相对其它状态变量严格，在性能指标中的比重大，人的偏差状态相对减小。r 是对控制量u的平方加权，当r相对较大时，意味着控制费用增加，使得控制能 量较小，反馈减弱，而r取值较小时，系统控制费用减小，反馈增加，系统动 态响应迅速。考虑到一阶倒立摆系统在运行过程中，主要的被控量为系统的输出量x和'

35、;因此在选取加权对角阵Q的各元素值时，由于Qu代表小车位置的权重，而Q33是 摆杆角度的权重，所以只选取 Qii、Q33，而Q22二Q44 =0。选取Q和R时需要注意的几个方面：（1） 由于我们采用的系统模型是线性化的结果，为使系统个状态量能够在线性范围工作，要求各状态量不应过大。（2）闭环系统最好能有一对共轭复数极点，这样有利于克服系统的非线性摩擦，但系统主导极点的模不应太大以免系统频带过宽，使得系统对噪声太敏感，以致系统不能正常工作。（3）加权矩阵R的减小，会导致大的控制能量，应注意控制 U的大小，不要超过系统执行机构的能力，使得放大器处于饱和状态。控制系统如下图所示，图中 R是施加在小车上的阶跃输入，