无套利定价原理

1、第三讲 无套利定价原理什么是套利什么是套利什么是无套利定价原理什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价原理的基本理论第一部分什么是套利什么是套利什么是无套利定价原理什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价原理的基本理论商业贸易中的套利行为商业贸易中的套利行为 15,000元元/吨吨翰阳公司翰阳公司卖方甲卖方甲买方乙买方乙17,000元元/吨吨铜铜铜铜 在商品贸易中套利时需考虑的成本：在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）信息成本：）信息成本： （2）空间成本）空间成本 （3）时间成本）时间成本 金融市场中的套利行为金融市场中的套利行为 专业化交易市场的存在专业化交易

2、市场的存在 信息成本只剩下交易费用信息成本只剩下交易费用 产品标准化产品标准化 金融产品的无形化金融产品的无形化没有空间成本没有空间成本 金融市场存在的卖空机制大大增加了套金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会利机会 金融产品在时间和空间上的多样性也使金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷得套利更为便捷 套利的定义 套利套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。这种套利是指纯粹的无风险套利。 但在实际市场中，套利一般指的是一个但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会预期能产生无风险盈利的策略，可

3、能会承担一定的低风险。承担一定的低风险。 第二部分什么是套利什么是套利什么是无套利定价原理什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价原理的基本理论无套利定价无套利定价”原理原理 无套利定价无套利定价”原理原理 金融产品在市场的合理价格是这个价格使金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会得市场不存在套利机会那什么是套利机会呢？那什么是套利机会呢？套利机会的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（未来损益（payoff）相同，但它们的成）相同，但它们的成本却不同；本却不同；损益：现金流损益：现金流不确定状态下：每一种状态对应

4、的现金流不确定状态下：每一种状态对应的现金流（2 2）存在两个相同成本的资产组合，但）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付。益要大于第二个组合的支付。（3 3）一个组合其构建的成本为零，但在）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益

5、要大于零。状态下这个组合的损益要大于零。无套利定价原理（1 1）同损益同价格）同损益同价格如果两种证券具有相同的损益，则这两种如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。证券具有相同的价格。（2）静态组合复制定价：）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的这个资产组合称为证券的“复制组合复制组合”（replicating portfolio）。）。 （3）动态组合复制定价：）动态组合复制定价：如果一个自融资（如果一个自融资（self

6、-financing）交易策）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（本。这称为动态套期保值策略（dynamic hedging strategy）。）。 确定状态下无套利定价原理的应用确定状态下无套利定价原理的应用 案例案例1：假设两个零息票债券假设两个零息票债券A A和和B B，两者都是在，两者都是在1 1年年后的同一天支付后的同一天支付100100元的面值。如果元的面值。如果A A的当的当前价格为前价格为9898元。另外，假设不考虑交易成元。另外，假设

7、不考虑交易成本。本。问题：问题：（1 1）B B的价格应该为多少呢？的价格应该为多少呢？ （2）如果）如果B的市场价格只有的市场价格只有97.5元，问如元，问如何套利呢？何套利呢？ 应用同损益同价格原理：应用同损益同价格原理：B B的价格也为的价格也为9898元元如果如果B B的市场价格只有的市场价格只有97.597.5元，卖空元，卖空A A，买，买进进B B 案例案例2 2： 假设当前市场的零息票债券的价格为：假设当前市场的零息票债券的价格为： 1 1年后到期的零息票债券的价格为年后到期的零息票债券的价格为9898元；元； 2 2年后到期的零息票债券的价格为年后到期的零息票债券的价格为969

8、6元；元； 3 3年后到期的零息票债券的价格为年后到期的零息票债券的价格为9393元；元；另外，假设不考虑交易成本。另外，假设不考虑交易成本。 问题：问题：（1 1）息票率为）息票率为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的三次利息的三年后到期的债券的价格为多少呢？年后到期的债券的价格为多少呢？（2）如果息票率为）如果息票率为10，1年支付年支付1次利息次利息的三年后到期的债券价格为的三年后到期的债券价格为120元，如何套元，如何套利呢？利呢？ 看未来损益图：看未来损益图：1年末年末2年末年末3年末年末1010110 静态组合复制策略静态组合复制策略（1 1）购买）购买0.10.1张的张的1

9、 1年后到期的零息票债券，年后到期的零息票债券，其损益刚好为其损益刚好为1001000.10.11010元；元；（2 2）购买）购买0.10.1张的张的2 2年后到期的零息票债券，年后到期的零息票债券，其损益刚好为其损益刚好为1001000.10.11010元；元；（3 3）购买）购买1.11.1张的张的3 3年后到期的零息票债券，年后到期的零息票债券，其损益刚好为其损益刚好为1001001.11.1110110元；元； 根据无套利定价原理的推论根据无套利定价原理的推论0.10.198980.10.196961.11.19393121.7121.7 问题问题2的答案：的答案：市场价格为市场价格

10、为120120元，低估元，低估B B，则买进，则买进B B，卖出静态组合，卖出静态组合（1 1）买进）买进1 1张息票率为张息票率为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的次利息的三年后到期的债券；三年后到期的债券；（2 2）卖空）卖空0.10.1张的张的1 1年后到期的零息票债券；年后到期的零息票债券；（3 3）卖空）卖空0.10.1张的张的2 2年后到期的零息票债券；年后到期的零息票债券；（4）卖空）卖空1.1张的张的3年后到期的零息票债券；年后到期的零息票债券； 案例案例3：假设从现在开始假设从现在开始1 1年后到期的零息票债券的年后到期的零息票债券的价格为价格为9898元，从元，从1

11、 1年后开始，在年后开始，在2 2年后到期年后到期的零息票债券的价格也为的零息票债券的价格也为9898元（元（1 1年后的价年后的价格）。另外，假设不考虑交易成本。格）。另外，假设不考虑交易成本。问题：问题：（1 1）从现在开始）从现在开始2 2年后到期的零息票年后到期的零息票债券的价格为多少呢？债券的价格为多少呢？ （2）如果现在开始）如果现在开始2年后到期的零息票债年后到期的零息票债券价格为券价格为99元，如何套利呢？元，如何套利呢？ (1) 从现在开始从现在开始1年后到期的债券年后到期的债券Z01第第1年末年末支付支付:100价格价格:98(2) 1年后开始年后开始2年后到期的债券年后到

12、期的债券Z12第第2年末年末支付支付:100价格价格:98(3) 从现在开始从现在开始2年后到期的债券年后到期的债券Z02第第2年末年末支付支付:100价格价格:？ 动态组合复制策略：动态组合复制策略：（1 1）先在当前购买）先在当前购买0.980.98份的债券份的债券Z Z0 01 1；（2 2）在第）在第1 1年末年末0.980.98份债券份债券Z Z0 01 1到期，获得到期，获得0.980.981001009898元；元；（3）在第）在第1年末再用获得的年末再用获得的98元去购买元去购买1份份债券债券Z12； 自融资策略的现金流表自融资策略的现金流表 交易策略交易策略现金流现金流当前当

13、前第第1 1年末年末第第2 2年末年末(1)(1)购买购买0.980.98份份Z Z0 01 1-98-980.98=-0.98=-96.0496.040.980.98100=100=9898(2)(2)在第在第1 1年末购买年末购买1 1份份Z Z1 12 2-98-98100100合计：合计：-96.04-96.040 0100100 这个自融资交易策略的损益：这个自融资交易策略的损益：就是在第就是在第2 2年末获得本金年末获得本金100100元，这等同于元，这等同于一个现在开始一个现在开始2 2年后到期的零息票债券的损年后到期的零息票债券的损益。益。 这个自融资交易策略的成本为：这个自融

14、资交易策略的成本为： 980.9896.04 如果市价为如果市价为99元，如何套利元，如何套利 构造的套利策略如下：构造的套利策略如下：（1 1）卖空）卖空1 1份份Z Z0 02 2债券，获得债券，获得9999元，所承担的义务元，所承担的义务是在是在2 2年后支付年后支付100100元；元；（2 2）在获得的）在获得的9999元中取出元中取出96.0496.04元，购买元，购买0.980.98份份Z Z0 01 1；（3 3）购买的）购买的1 1年期零息票债券到期，在第一年末获年期零息票债券到期，在第一年末获得得9898元；元；（4 4）再在第）再在第1 1年末用获得的年末用获得的9898元

15、购买元购买1 1份第份第2 2年末到年末到期的期的1 1年期零息票债券；年期零息票债券；（5）在第）在第2年末，零息票债券到期获得年末，零息票债券到期获得100元，用于元，用于支付步骤（支付步骤（1）卖空的）卖空的100元；元； 交易策略交易策略现金流现金流当前当前第第1 1年末年末第第 2 2 年年末末(1)(1)卖空卖空1 1份份Z Z0 02 29999-100-100(2)(2)购买购买0.980.98份份Z Z0 01 1-0.98-0.9898 =-98 =-96.0496.040.980.98100 = 100 = 9898(3)(3)在第在第1 1年末购买年末购买1 1份份Z

16、Z1 12 2-98-98100100合计：合计：99-96.04 = 99-96.04 = 2.962.960 00 0不确定状态下的无套利定价原理的应用 不确定状态：不确定状态： 资产的未来损益不确定资产的未来损益不确定 假设市场在未来某一时刻存在有限种状态假设市场在未来某一时刻存在有限种状态 在每一种状态下资产的未来损益已知在每一种状态下资产的未来损益已知 但未来时刻到底发生哪一种状态不知道但未来时刻到底发生哪一种状态不知道 案例案例4：假设有一风险证券假设有一风险证券A A，当前的市场价格为，当前的市场价格为100100元元1 1年后的市场出现两种可能的状态：状态年后的市场出现两种可能

17、的状态：状态1 1和状态和状态2 2。状态状态1 1时，时，A A的未来损益为的未来损益为105105元，状态元，状态2 2时，时，9595元。元。有一证券有一证券B B，它在，它在1 1年后的未来损益也是：状态年后的未来损益也是：状态1 1时时105105元，状态元，状态2 2时时9595元。元。另外，假设不考虑交易成本。另外，假设不考虑交易成本。问题：问题：（1 1）B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2）如果）如果B的价格为的价格为99元，如何套利？元，如何套利？ 答案：答案：（1）B的合理价格也为的合理价格也为100元；元；（2）如果）如果B为为99元，价值被低估，则买进元

18、，价值被低估，则买进B，卖空卖空A 案例案例5：假设有一风险证券假设有一风险证券A A，当前的市场价格为，当前的市场价格为100100元元1 1年后的市场出现两种可能的状态：状态年后的市场出现两种可能的状态：状态1 1和状态和状态2 2。状态状态1 1时，时，A A的未来损益为的未来损益为105105元，状态元，状态2 2时，时，9595元。元。有一证券有一证券B B，它在，它在1 1年后的未来损益也是：状态年后的未来损益也是：状态1 1时时120120元，状态元，状态2 2时时110110元。元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成本。本。

19、问题：问题：（1 1）B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2）如果）如果B的价格为的价格为110元，如何套利？元，如何套利？证券未来损益图10010595风险证券风险证券AP PB B120110风险证券风险证券B1 111资金借贷资金借贷 静态组合策略：静态组合策略： 要求要求 x 份的证券份的证券A和和 y 份的资金借贷构成份的资金借贷构成B1101201195105yx 解得：解得：X = 1, y = 15 所以：所以：B的价格为：的价格为： 1*100+15*1 = 115 第二个问题：第二个问题： 当当B为为110元时，如何构造套利组合呢？元时，如何构造套利组合呢？ 套

20、利组合：套利组合：买进买进B，卖空，卖空A，借入资金，借入资金15元。元。 期初时刻的期初时刻的现金流现金流期末时刻的现金流期末时刻的现金流第 一 种第 一 种状态状态第二种状第二种状态态(1)(1)买进买进B B-110-110120120110110(2)(2)卖空卖空A A100100-105-105-95-95(3)(3)借入资金借入资金1515元元1515-15-15-15-15合计合计5 50 00 0 案例案例6：假设有一风险证券假设有一风险证券A A，当前的市场价格为，当前的市场价格为100100元元1 1年后的市场出现年后的市场出现三三种可能的状态：状态种可能的状态：状态1

21、1、2 2和和3 3。状态状态1 1、2 2和和3 3时，时，A A的未来损益分别为的未来损益分别为110.25110.25，99.7599.75，90.2590.25元。元。有一证券有一证券B B，它在，它在1 1年后的未来损益也是：状态年后的未来损益也是：状态1 1、2 2和和3 3时，分别为时，分别为125125，112.5112.5和和109109元元。另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为5.065.06，半年利率为，半年利率为2.52.5。问题：问题：（1 1）B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2）如果）如果B的价格为

22、的价格为110元，如何套利？元，如何套利？证券未来损益图100110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B资金借贷资金借贷90.25PB125112.51091 1.05061.05061.0506 构造静态组合：构造静态组合： x 份份A和和 y 份资金借贷构成份资金借贷构成B1095 .1121250506. 10506. 10506. 125.9075.9925.110yx方程无解！动态组合复制 动态：动态：我们把我们把1年的持有期拆成两个半年，这样年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合在半年后就可调整组合假设证券假设证券A在半年后的损益为两种状态，在半年后的损益

23、为两种状态，分别为分别为105元和元和95元元 证券证券B的半年后的损益不知道的半年后的损益不知道110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B90.2510010595PBB1B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025 构造如下的组合：构造如下的组合：（1）1份的证券份的证券A；（；（2）持有现金）持有现金13.56。 5 .1041145 .1240506. 10506. 10506. 156.1325.9075.9925.1101在半年后进行组合调整(1)(1)证券证券A的损益为的损益为105时：时： 再买进再买进0.19份的证

24、券份的证券A，需要现金，需要现金19.95元元（0.1910519.95） 持有的现金持有的现金13.56，加上利息变为：，加上利息变为：13.561.02513.90。 半年后的组合变为：半年后的组合变为： 1.19份证券份证券A 现金现金6.05 （13.90 19.95） 在在1年后此组合损益状态为：年后此组合损益状态为： 5 .112125025. 1025. 105. 675.9925.11019. 1( (2) )证券证券A的损益为的损益为95时：时： 卖出卖出0.632份的证券份的证券A，得到，得到0.6329560.04元元持有的现金持有的现金13.56，加上利息变为：，加上利

25、息变为：13.561.02513.90 半年后的组合变为：半年后的组合变为： 0.368份证券份证券A 现金现金73.94 （13.9060.0473.94 ）1095 .112025. 1025. 194.7325.9075.99368. 0在在1年后此组合损益状态为：年后此组合损益状态为：110.2599.7590.2510010595原始组合：原始组合：(1)持有持有1份份A( 2 ) 持 有 现 金持 有 现 金13.56操作：卖出操作：卖出0.632份份A组合为：组合为：(1)持有持有0.368份份A(2)持有现金持有现金73.94操作：买进操作：买进0.19份份A组合为：组合为：(

26、1)持有持有1.19份份A(2)持有现金持有现金-6.05组合的支付为：组合的支付为：125112.5109半年后的组合调整是如何得到呢？半年后的组合调整是如何得到呢？ 动态策略调整方法：动态策略调整方法：多期的静态复制策略多期的静态复制策略从后往前应用静态复制策略从后往前应用静态复制策略110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B90.2510010595PBB1B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）证券在中期价格为）证券在中期价格为105时：时： 5 .1121250506. 10506. 175.9925.110yx

27、解得： x = 1.19，y5.90 此时此时B的价格为：的价格为：B11.191055.901.025118.90 110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B90.2510010595PB118.90B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）证券在中期价格为）证券在中期价格为95时：时： 1095 .1120506. 10506. 125.9075.99yx解得： x = 0.368，y72.14 此时此时B的价格为：的价格为：B2 0.3689572.141.025108.90 110.2599.75风险证券风险证券A风

28、险证券风险证券B90.2510010595PB118.90108.90125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025 解得：解得：x1，y13.56 B的当前价格为：的当前价格为：B B110013.561113.56 90.10890.118025. 1025. 195105yx无套利定价原理的简单总结 无套利定价原理就是金融学，金融工程无套利定价原理就是金融学，金融工程的核心思想的核心思想 “同损益同价格同损益同价格”实际上就是实际上就是“一价定一价定理理” 静态和动态组合复制策略则是用于给衍静态和动态组合复制策略则是用于给衍生产品定价的基本思想生产

29、品定价的基本思想 如果市场存在摩擦（交易成本）时，只如果市场存在摩擦（交易成本）时，只能给出一个定价区间。在这个定价区间能给出一个定价区间。在这个定价区间内，市场无法实现套利。内，市场无法实现套利。 第三部分什么是套利什么是套利什么是无套利定价原理什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价原理的基本理论Arrow-Debreu模型1、市场环境、市场环境2、套利组合的定义、套利组合的定义3、无套利组合等价定理、无套利组合等价定理4、完全市场与不完全市场、完全市场与不完全市场1、市场环境假设、市场环境假设 市场中有市场中有N个证券，个证券，s1,s2,s3,sN 两个投资时刻，两个投资

30、时刻，0和和1时刻时刻 第第i种证券在初始种证券在初始0时刻的价格为时刻的价格为pi ，则则N种证券的价格向量为种证券的价格向量为： P = (= (p1,p2,pN) )T T 市场在未来市场在未来1时刻有时刻有M种可能状态，第种可能状态，第i种证券在第种证券在第j种状态下的损益为种状态下的损益为Dij，则，则这些证券的损益矩阵为：这些证券的损益矩阵为： D（dij），），i=1N，j=1M 假设损益矩阵假设损益矩阵D的值对于投资者是已知的，的值对于投资者是已知的，但是投资者无法提前知道在但是投资者无法提前知道在1时刻这些证券时刻这些证券处于处于M种状态中的哪一种状态种状态中的哪一种状态证 券 组 合 用 向 量证 券 组 合 用 向 量表 示 ：表 示 ：=(1,2,N) i表示持有的第