勾股定理的培优专题演示教学

1、勾股定理培优专题一、本节基础知识1、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两 个定理互为逆定理。4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 巩固练习：1 .如果三角形的三边长 a b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 三角形, 我们把这个定理叫做

2、勾股定理的 .2 .在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 如果把其中一个命题叫做原命 题，那么另一个命题叫做它的 .、15、fl3 .分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8, 10, (2)5、12、13, (3)817, (4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有 .(填序号)4 .若ABC43, (b-a)( b+ a) =c2,则/ B=；5 .如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的 ABC是三角形.6 .若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a2、a、a+2为边的三

3、角形的面积为 .7 .写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.(1)两直线平行，同位角相等.(2)若 a>b,则 a2>b.二、经典例题、针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形例1、已知：如图，在 ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD- BD.求证： ABC是直角三角形.针对训练： 1、已知：在 ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判®tA ABC的形状.2（如图）在正方形 ABC由,F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=4 BC,求证： EFA=90ADFBE C3、

4、如图，已知：在A ABC中， C=90° , M是BC的中点，MD AB于D,求证：ADaC+bD.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰 ABOK 底边BC= 20, D为AB上一点，CD= 16, BD= 12,求ABCW周长。针对训练：1、.已知：如图，四边形 ABCD AD/ BC AB=4, BC=6 CD=5 AD=3.求：四边形ABCD勺面积.3.已知：如图， DE=m,BC=n, EBUf DCB互余，求 b6+cD.考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用例1.阅读下列解题过程：已知 a、b、c为 ABC的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4,试判断

5、ABC的形状.解：: a2c2b2c2=a4b4, (A) . c2(a2b2)=(a 2+b2)(a 2b2) , (B)，c2=a2+b2, (C).,.A ABC 是直角三角形.问：上述解题.过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ;错误的原因是;本题的正确结论是 .例2.学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2 b2 c2,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！(1)画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度(精确到1毫米)，较短的两条边长分别是a mm； b mm 较长的一条边长 c mm 比较 a2 b2 c2 (填写 ，"v

6、"，或“=”)；(2)画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度(精确到1毫米)，较短的两条边长分别是a mm b mm 较长的一条边长 c mm比较 a2 b2 c2 (填写 ，"v" ，或“=”)；(3)根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：;对你猜想a2例3.如图，南北向 MN为我国的领海线，即 MN以西为我国领海，以东为公海 .上午9时50分，我国反走私艇 A发现正东方有一走私艇 C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇 B:A和C两艇的距离是13海里，A B两艇的

7、距离是 5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里,若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?针对训练：1 观察下列各式：32+ 42 = 52; 82 + 62= 102; 152+ 82= 172; 242+ 102= 262-,你有 没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.2、如图所示，有一块塑料模板 ABCD长为10cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角 板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：能否使你的三 角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请说明理由.再次移动三角

8、板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边 PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点 Q与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请说明理由.3.喜欢爬山的同学都知道，很多名山上都有便于游人观光的索道，如图所示，山的高度 AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口 ,且BC=1 500 m, 一游客从山下索道口坐缆车到山顶，知缆车每分钟走 50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶？说明理由.延伸训练：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC P是ABC内的一点，且 PB=1, PC=2 PA=3,求/ BPC的度数.总结提高：

9、1 .满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是J）A.三内角之比为 1 ： 2 ： 3 B.三边长的平方之比为1 ： 2 ： 3C.三边长之比为 3 ： 4 ： 5 D. 三内角之比为 3 ： 4 ： 52 .如图182 4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD AD/ BC,斜腰DC的长为10 cm,/D=120° ,则该零彳另一腰 AB的长是 cm （结果不取近似值）图 18 2-4图 18 25图 18- 2-63 .如图1825,以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S、S2、且S=4,82=8,则 AB的长为.14 .如图182 6,已知正万形 ABCM边长

10、为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且AFAD,试判断 EFC的形状.5 .一个零件的形状如图 1827,按规定这个零件中/ A与/ BDCtB应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 AB=3,BD=5, DC=12 , BC=13 ,这个零件符合要求吗?D图186 .已知 ABC的三边分别为 k2-1, 2k, k2+1 (k>1),求证： ABC是直角三角形.7 .已知a、b、c是ABC的三边长，ABQ的三边长分别是2a、2b、2c,那么A1B1C是直角三角形吗？为什么?8 、.如图182 9所示，在平面直角坐标系中， 点A、B的坐标分别为 A (3, 1), B (2, 4), OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论9、若 ABC的三边长为a、b、c ,根据下列条件判断 ABC的形状。(1 )a2+b2 +c2+200=12a+16b+20c(2)a3 a2b+ab2 ac2+bc2b3=010 .如图，在 ABC, D为 BC边上的一点，已知 AB= 13, AD= 12, AC= 15, BD= 5,求 CD 的长.C11 .已知：如图，四边形 ABC珅，ABL BG AB= 1, BC= 2, CD= 2, AD= 3,求四边形 ABCD 的面积.14 .已