数列专题错位相减求和

1、高一数学第七周周考一、解1. 已知数列d“是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且q=A=l,+ = 7 ,+2 = 13 （1）求数列a”, b,的通项公式；设c“ =牛,求数列匕的前项和S”.2. 已知等差数列。”的前项和为S”，冬=5, 5S=15.（1）求数列a”的通项公式；（2）求数列2n-an的前项和为7；3. 已知数列满足q=2, 67;j+1 = 2（）2-（neyV*）n（1）求证:数列尘!是等比数列，并求其通项公式；IV设亿=310空扫一26,求数列 |如的前项和人；4. 已知等差数列的公差大于0,且冬卫5是方程%2-14 + 45 = 0的两根，数列仇的前项的和为S”

2、，且S = l-|z?n. （12分）（1）求数列a,仮的通项公式；（2）记c” = a”卩，求数列q的前n项和Tn5. 已知数列aj的前n项和S.满足Sn=2n2-13n （nSN*）.（1）求通项公式a；（2）令6=，求数列的前n项和2n6. 等差数列S”的首项山=1,其前“项和为,且偽+a严+ 7.（I ）求S”的通项公式；（II）求满足不等式3曾-2的n的值.7. 已知数列唧的前n项和为S, a,=2.当心2时，Sn-, + 1, an, Sn+1成等差数列.(1)求证:Sn+1)是等比数列；求数列na的前n项和8. 已知数列仏”的前项和为S“，且 = , Sn = n(2n-)an(

3、1) 求冬，az的值；(2) 猜想碍的通项公式，并用数学归纳法证明.9. 已知S”为等差数列”的前项和，且碍=5, S、= 9.(I )求的通项公式；(II)求数列的前n项和Tn.10. 已知S”为数列%的前”项和，若务=2且几产2S”.(1)求数列a”的通项公式；设bn = logn+1,求数列)的前项之和.11. 已知等差数列%的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列匕的通项公式；设=(4a“)2T,求数列$的前项和S”12. 已知数列&的各项均是正数，其前用项和为满足凡 “一(I) 求数列的通项公式；bn =-一- e X*)5zn2 , mN) 令丸=-% %_2(1)求证：数列仇

4、是等差数列；(2)求数列的通项公式.參考答案- 丁 2+ 31. (1) “-I,仇=2：S-6、7，2心【解析】试题分析：（1）求等差与等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即根据条件列关于公l + 2d + q = 7,V差与公比的方程组：ll + 4d + g=13,解得q = 2,d = 2,再代入通项公式即得=2/7-1,C =色=生k _ n/r-1n JQ/J1”.（2）因为 ”2,所以利用错位相减法求和，注意作差时，错项相减,最后一项的符号变化，中间等比项求和时注意项数，最后不要忘记除以1一4试题解析：设等差数列仇的公差为，等比数列血的公比为9 （彳）,l + 2d + q

5、= 7,V由题意得ll + 4d + q=13,解得q = 2,或g = 0 （舍去），d = 2. a” = 21 bn = 2-1 V爭（2）由题意得 S 2S所以亠35-r + + +212-2/7-1-111352/7-32/7-1S =17 r + :12 222232心T ,1 222 2n-l ,小 1112/7-1一得訐 =1+亍+尹+ 尹-7 =1 + 2牙+壬+ +尹)-2/?+ 3T92/7 + 3-1考点：错位相减法求和2. (1) an = n ； (2) 7； =(“ + 1)2-6【解析】试题分析：（1）利用等差数列的通项公式，前项和公式，得到关于q,d的二元一次

6、方程组，解乙 即可得到aiyd ,则数列通项公式可求;(2)由(1)可知2q的通项为U 则利用错位相减法即可求出其前项和7； 试题解析:(1)等差数列a，冬=5, 55 = 15 ./.冬=勺 + 4d = 5,S5 = 5勺 + 10d = 15.勺=l,d = I; an = n(2) Tn =2xl + 22 x2 + 23 x3 + - + 2wxh27；=22xl + 23x2 + - +2H x(/?-l) + 2H+1x/?-7；r = 2-(22 + 23 + - + 2w)-2n+1x/? = 2-(2,+1-4)-/7-2w+1 =-(/? + l)-2,+1+6Tn =(

7、n + l)-2w+1-6考点：等差数列的通项公式，前项和公式错位相减法(“ 8)(心9)49/?-3n23. (1)(2) T=)3 矿49“+ 400. 2【解析】试题分析：(D 由 4=2, 67n+1=2()2-6/jHGyV*),变形为-=2-4,禾 I用等 n(” + 1)-比数列的定义及其通项公式即可得岀.(2)由亿=3-26,可得=23.当n W8时，bn 0.对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得岀试题解析:(1) 5 = 2, % = 2(1+丄)加“)nn g /V* /. %为等比数列IV2 =纭2心=2aSir (2) /bn = 3log,(%-

8、26 = 3log. T -26 = 3/7-26 , :.=-23 77当 n 9 时.bn =3n-26 0 设数列的前项和为s，则当/?9时町=蚀+血| +闵+09| +阳=(一 bj +(_$) + (4) + 4+ + /?” =_ + + . + Q) +9+ + $) =-S$ + (S” - SJ = S” - 2Ss(bh 2 (+Q)x82 2所以，(Ji-26)+ 2oo =引厂-49 + 4002 2综上，Tn=49-3用23 一 49+ 4002(心8)(“ 9)駅,严昨，人=2（1 一罗）3考点：等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式234. （1） an =

9、 ci5+ （n - 5）J = 2/7 -1., bn = bq11【解析】解：（I） Ta”是方程F14x + 45 = 0的两根，且数列%的公差d0, 55,曲公差心导=2.an = a5 + (n - 5)d = 2/7-1.1?又当 n=1 时，有 bi=Si=1 /?.=23当 “ 2 时，有 = S” - S,_ = | 叽-仇), = ； (n 2).2爲3 1数列b是等比数列,b=、q = 39.仇=$/1=三6分”11312分（II）由（I）知J =gb“ =型工 所以人=2（1-罟）-5. （1） an=4n - 15 （2） Tn= - 7 -（寺“口一 7）【解析】解

10、:（1）当n=时，aFSF-11,当 n$2 时，an=S-Sn.i=2n2-13n- 2 （n-1） 2-13 （n-1） =4n-15, n=1时，也适合上式.an4n - 15.玉斗斗(寺严一,22nT石（寺）1（4-15）+ （寺）2（4）2- 15）+ （寺）3, （4X3 15）+（严（4n-15）,yTn =（寺）人（4-15）+ （y）3-（4X2- 15）+ + （*）“ 4（n 1） - 15 +（*厂+1，（仏-15）一，得:尹一少(制+弃)中11n*14 叮 一 (Z)(1) i诗2- (j)n_2-(寺)讯(加-,=-7- (寺)畑一 7).【点评】本题考查数列的通项

11、公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 错位相减法的合理运用.6. （ I ）=2/7-1； （II） 2, 3, 4【解析】 试题分析：(I )已知勺，要求等差数列的通项公式，可先求得公差d,可把已知条件a. + a5=a4 + l用d表示岀来,然后写出通项公式；(II)由等差数列前项和公式写岀Sn, 再解不等式S3an-2即可.试题解析：(I )设数列%的公差为因为+ 5 = + 7 ,所以2 + 6d = 4 + ?d + 7 .因为6 = 1,所以W即d = 2、所以an = + (77 一 l)d = 2 一 1S(II)因为5=1, 6=21,所以 ”2所以朋 3(

12、2-1)-2,所以n2-6n + 50i 解得12)点评：已知条件是关于,S”的关系式，此关系式经常用到色=有关于正整数的命题常用数学归纳法证明，其主要步骤：第一步，n取最小的正整数时命题 成立，第二步，假设n = k时命题成立，借此来证明n = k + l时命题成立【解析】试题分析：(I )求%的通项公式，关键是求等差数列匕的首项及公差即gd ,由已 知可知f/3 = 5.S3 = 9,即,解方程组得=l,d = 2,有等差数列的通项公式即可写出&的通项公式；(II)求数列的前打项和人，首先求出数列,分母是等差的通项公式，由（I ）可知an=2n-l,从而可得一a数列an的连续两项的积，符合

13、利用拆项相消法求和，故（2一 1）（2 +1） 一式 2一 1 一 2 + J 即可求出，试题解析：（I ）设等差数列%的公差为d 因为冬=5,亠=9,ja. +2d = 5t所以匚 c解得q = hd = 24分3a k + 3d = 9所以aH =2n-l6分1 1 1 1111x3 3x5 5x7(2/7 -1) x (2/? +1)1,11111 1 12 3 3 5 5 72/7-1 2? + 12 + 1）一n2/7 +112分考点：等差数列的通项公式，数列求和.10.5=2,” = 12=心2;（2）数列前项之和为lA+iJ【解析】试题分析：（1）由S,申= 2S”可得数列S”是

14、首项为2,公比为2的等比数列，然后根据数列的通项与前项和之间的关系，即可求数列%的通项公式；（2）根据（1）求出 bn = log“+|的通项公式，禾0用裂项相消法即可求数列 L. 的前项和.试题解析：（1）由题设得：数列S”是首项为2,公比为2的等比数列.S”=S”27Z-1=2*S, = 2,77 = 1(2)由(1)知：b” = log4”+ = log,2 = ,. 一=丄切/卄n n + lfl 1 ) ,n h + 1；11. (1) =4-/7(2) S =(7?-l)2n+l【解析】试题分析：(1)由等差数列”的前3项和为6,前8项和为-4,利用等差数列的前项和公式建立方程组求

15、出q=3, d = -.由此能求出数列a”的通项公式.(2 )由=4-，知=2T，所以数列bn的前n项和 S“ = 1 + 2?2! + 3?2 +川？2”t ,由此利用错位相减法能求出数列bt的前n项和S” 试题解析：(1)设等差数列a,的公差为d.由已知得3q + 3d = 68q+28d = 4故匕=3+(/7 !)?(!)= 47/ (2)由(1)得，b”=W二=1 + 2?了 + 3?2 + “？2= 两边同乘以2得2S=2 + 2?2 + 3?2 +M2J 两式相减得S” =5-1)2”+1点睛：求解由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的前项和，一般采用错位 相消法，用

16、错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S”与“qS的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便 下一步准确写岀“S“一qS“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比 为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.12. (I)匕=(*). (II)详见解析.【解析】试题分析：(I )首先令求出首项勺，=4-1 1 = 2?二;s _S77皿”由1-1-4冬4两式相减，得沐l-5冬一即所以2数列是首项为2,公比为2的等比数列由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.（II）证明有关数列前左项和的不等式，一般有以下两种思路

17、：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和在本题中，由（I ）可得:2 -log2 az 2-(2-n) n叽也=G+-）.这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.试题解析：（I）由题设知父7-珂，2分严=4-冬由尽1 =4 -1两式相减，得仏-S& = -%a1=5 _込斗2口41 =a烹卩丄=7所以冬 1 4分 考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.可见，数列是首项为2,公比为2的等比数列。兀=氓+込妇+毎+站冊213. 设a的公比为q,由已知得16=2q解得q = 2. 数列aj的通项公式为an=22n_1=2n.(2)由得 a3=8, as=32,则 b3=8, bs=32

18、设b的公差为d,则有bi + 2d=8bi+4d = 32解得bi = 16d = 12从而 bn= 16+12 (n1) =12n28, 所以数列b的前n项和n 16+12n28=6r)222n.【解析】略对_114. (1) an=3n-5. (II) S=； 1-8 28【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解以及等比数列求和的综合运用。(D因为公差不为零的等差数列的前4项和为10,且a?皿3皿7成等比数列，联立方程组得到首项和公差得到结论。(2)在第一问的基础上可知，叽=2 =23/1-5=1-8/-14,利用等比数列的求和公式得到结论。(1)由题意知4 +6d = 10、

19、a+2d)，=a+d)a+6d).解得囂所以 an=3n5.(II) / bn =2，a =23n_5数列是首项为扌，公比为8的等比数列,一9分12分所以s产=1 1-8 2815. (1) 2n3 1(2) + (一一)3,+122【解析】 试题分析：解：(1) / = 2, a】+ eg + 色=12 二3。 + 3 = 12,即d = 2an = 2 + (/? 1) 2 = 2/?.(2)由已知:b“ = 2门 3”vSw=2-3+4.32 + 6-33 +2n-3w3 S/?=2-32+4-33 + 6 3 +2小 3点 -得-25 =2-3 + 2-32 + 2-33 + - + 2-3n-277-3N+1=6(13)-2n-3,H “1-3考点：等差数列，错位相减法点评：主要是考查了等差数列的通项公式以及求和的运用，属于中档题。16. (1) c = 2/7 +1 (2)你=* + “ + *, S=- + y + n + 【解析】试题分析:(1)两式相加得陽+ = 如+ $.】) +2,即cn=cw_1 + 2(n2),根据等差