$1-4函数的连续性

1、1-4 1-4 函数的连续性函数的连续性生活情境生活情境（1 1）水银柱高度随温度的改变而）水银柱高度随温度的改变而连续变化连续变化. . 温度计（2）邮费随邮件重量的增加而作阶梯式）邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加；的增加；4080120160X克y分80120160200生活情境生活情境 函数的连续性函数的连续性一条连续不断的曲线一条连续不断的曲线 1.4.1 函数的连续性函数的连续性1.4.2函数的间断点函数的间断点1.4.3闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质 函数的连续性函数的连续性0011101010( )(),(),yf xxxxx xxxxxxxxxxx 设函数在点 的

2、某邻域内有定义，当自变量由变到也在该邻域内 时 把叫做，记为可正可负 即这自变量 的改变时量000()(),.yf xxf xx 称在函数值的处改变量点xy00 xxx 0)(xfy x y xy0 xx00 xx y )(xfy 一、连续性概念一、连续性概念 0( )yf xx函数在点 处的连续性1.4.1 函数的连续性函数的连续性一、连续性概念一、连续性概念 趋于零，即也值的改变量趋于零时，对应的函数的改变量自变量的某邻域内有定义，若在点设函数yxxxfy0)(0000limlim()()0 xxyf xxf x 000( )( ).( )(. )yf xxxyf xyf xx连续连续则称

3、函数在 处， 称为函数的否则称在点不连续 间断处点定义1.16一一 函数的连续性函数的连续性的某邻域内有定义，若在点设函数0)(xxfy )()(lim00 xfxfxx00( )( ).yf xxxyf x则称函数在连续处， 称为函数的连续点定义1.15根据定义根据定义1.15,函数函数y=f (x)在点在点x0连续，连续，必须满足下列条件必须满足下列条件： （2） 存在存在;)(lim0 xfxx（3） . . )()(lim00 xfxfxx 一一 函数连续性的定义函数连续性的定义 0(1)( )yf xx在点 处有定义；练习：练习：.0,0,0,0,1sin)(处的连续性在讨论函数xx

4、xxxxf解：解：, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf;0)(处有定义在函数xxf如果函数如果函数 y = f(x)在在a , b上有定义，在（上有定义，在（a , b）内连续，）内连续，且在区间端点且在区间端点 处满足处满足 就说就说函数函数 y = f (x)在闭区间在闭区间 a , b 上连续。上连续。定义定义1.17 1.17 若函数若函数 f(x) 在（在（a , b）内每一点都连续）内每一点都连续 ，则称，则称函数函数 y=f (x) 在（在（a , b）内连续）内连续。函数函数

5、f f( (x x) )称为区间称为区间（a a , , b b）内的）内的连续函数连续函数, , （a , b）称为函数称为函数y=f (x)y=f (x) 的的连连续区间续区间. .二、函数在区间内的连续性二、函数在区间内的连续性lim( )( ) lim( )( )xaxbf xf af xf b，、处连续处连续,那么三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性)(xf)(xg0 x( )( )f xg x( )( )f xg x定理1.3如果在点,均0( )( ()0)( )f xg xg x0 x也在 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数处连续,即定理1.4(复合函数的连续

6、性)设函数)(xu0 x 在点处连续,且)(00 xu)(ufy 0u)(xfy0 x,又函数在函数在点处连续,则复合00lim ( ) ().xxfxfx由连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数结论：1.基本初等函数在其定义域内都是连续的.2.连续函数经过有限次的四则运算和复合之后，得到的函数仍然是连续的.3.一切初等函数在其定义区间内都是连续的，初等函数的连续区间就是其定义区间，初等函数在其定义区间内点 处的极限值就是其函数值 .0 x0()f x4213.(1)limln(tan )(2)lim59xxxxx例 求下列函数的极限：0114.limxxx例 求00( ),( ).f xxx

7、f x若函数y=在 处不连续定义1.1则称 为函数y=的一个间断点81.4.2 函数的间断点函数的间断点00( ),( ).f xxxf xy=在 处有下列三种情况之一 则 是y=的一个间断点00000( )lim( )(3)lim( )lim( )()xxxxxxf xxf xf xf xf x(1)函数在点 处没有定义；(2)不存在；虽然存在，但左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点第一类间断点； 左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点第二类间断点； 在第一类间断点中，如果左、右极限相等，则称为可去间断点可去间断点； 如果左、右极限不相等，则称为跳跃间断点跳跃间断点； 1.4

8、.2 函数的间断点函数的间断点也没最小值;函数如函数1.4.3、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定理1.5（最值定理）闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值xy ),(ba1,10( )0,01,01xxf xxxx 1 , 10 x在在闭区间上有间断点最大值和最小值内既没有最大值，,它在此区间上没有)(xf,ba)()(bfafC( )f a( , )a bCf)(定理1.6（介值定理）设函数在闭区间续,且,为介于数,则至少存在一点,使得 上连( )f b与之间的任一实,若,)(baxf在( )( )0f af b( , )a b0)(f推论(零点定理)上连续,且,则至少存在一

9、点使得0)(xf)(xf( , )a b)(xf推论表明，对于方程条件,则方程在内至少存在一个根，又称为函的零点,此时推论又称为零点定理或根的存在满足推论中的数定理如果练习:0,0, 1)()2(1xx(1)f(x).0. 12xxxxgx，指明其间断点类型处是否连续，若不连续试判断下列函数在.(1,2)013. 23内至少有一根在证明方程 xx课堂小结课堂小结 （1）连续性概念；连续性概念； （2）函数的间断点；）函数的间断点； （3）闭区间连续函数的性质）闭区间连续函数的性质. 作业：作业：31P练习：练习：3、41,0,( ),0 xxxf xex0 x 21,0,( ),01,2,12xxf xxxxx01xx、sin,0( )1,0 xxxf xx1.讨论函数在点处的连续性.在练习：练习：2.讨论函数处的连续性.3.讨论函数在点0 x 处的连续性.1,1,(1) ( )2,1,1,1xxf xxx x 1x 2,0,(2) ( )sin ,0,xxf xx x