破解图形中变幻莫测的“阴影”

1、破解图形中变幻莫测的“阴影”朱咏松 (南通市虹桥二中 226006)近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积而展开的试题渐多起来，并以它奇妙组合与非常变化困扰了不少学生，也成为学生心中的一个“阴影”今天让我们走进“阴影”，一起来探寻它的破解方法一、直接公式法例 1如图，正六边形与正十二边形内接于同一个O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 分析本图的阴影很明显是由六个全等的等腰三角形所构成，只要求出一个等腰三角形的面积即可等腰三角形是一个特殊的几何图形，求面积时通常首选“直接用公式”解答连结OA、OB、OC，则OCAB由圆内接正六边形得等边ABO，则BAO=60º，AB=OA=2，

2、在O中，ODAB，则AD=AB=1，由勾股定理得OD=，CD=2-，SABC=AB·CD=2-，S阴=6SABC=12-6例 2如图，AB是同心圆中大圆的弦，且与小圆相切于C点，若AB=8cm，则图中的阴影部分面积为 分析本题是求一个圆环的面积，显然是用大圆面积减去小圆面积但题中并没有给出大、小圆的半径，只有大圆的弦AB的长，怎么办呢？解答连结OB，OC，由AB为小圆的切线，OCAB，在大圆中得BC=AB=4，由勾股定理知OB 2 -OC 2=BC 2=16，由S阴=S大圆-S小圆=OB 2 - OC 2=（OB 2 -OC 2）=16【小结】“直接公式法”通常是针对一些特殊的规则图

3、形，且易于直接用公式来表示的问题但这里也藏着一定的变化，命题者经常会将直接需要的量隐藏在其它条件之中，这就要我们善于探寻这些条件间的联系二、面积组合法例 3在RtABC中，ACB=90º，SABC =30cm2，分别以AC、BC、AB为直径所作的圆构成如图所示的图形，则图中的阴影部分面积为 分析本题所示的阴影部分的构成显然是：S阴=SM+SN+SABC-SO但题中只给出了ABC的面积，没有ABC的三边的具体长度，其中有什么奥妙呢？解答由S阴=SM+SN+SABC -SO = +-+30=+30=30（cm2）此外，从本题条件分析可知，“阴影部分面积”与“此三角形的具体边长”没有什么关

4、系，只要此三角形面积一定，它的值就是定值故本题也可自取一组合适的边长（如AB=5cm，AC=12cm，则BC=13cm），代入上面所列的面积组合中进行计算例 4如图，Q内切与扇形OAB，若扇形OAB的半径为6cm，圆心角为60º，则图中阴影部分的面积为 分析本题所示的阴影部分组合为：S阴=S扇形OAB-SQ扇形OAB的面积很好解决，Q的面积关键在于半径，如何来求它的半径呢？解答连结QC、QD、QE，设Q的半径为rOA、OB切Q与D、E，且AOB =60º QOE =30º在RtOQE中，OEQ =90º，QOE =30º OQ =2EQ =2r

5、由O与Q内切于点C OC=OQ+QC 即3 r=6 则r=2S阴=S扇形OAB-SQ=（cm2）例 5如图，五边形ABCDE的边长都大于2，分别以A、B、C、D、E为圆心作半径为1的圆，则图中阴影部分的面积为 分析本题既可以直接看成是五个阴影扇形面积之和，也可以看成五个等圆的面积和减去五个空白扇形面积和但这五边形是任意的，我们不知道每个内角的具体度数，怎么办呢？解答因为五边形的内角和为540º，则这五个空白扇形的面积之和为：；所以 S阴 =【小结】“面积组合法”是求阴影部分面积中最常用的一种方法，它既考查了学生对常见几何图形面积公式的认识，又考查了学生对几何图形的拆解组合能力，还考查

6、了学生对求解中未知条件分析应变能力故而这种方法是我们在学习中要特别关注的三、等积形补法例 6如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以D为圆心，DC为半径作弧交DA延长线与E，交AB于F，若F点恰为CE的中点，则图中阴影部分的面积为 分析本题这两块阴影面积连结DF后，可以分别用“面积组合法”求出虽不难，但计算过程还是有些繁的，有没有更好的方法呢？解答过F点作FGCD于G，因为点F点恰为CE的中点，且FADE，FGDC，由图形的对称性可知：图中E、A、F构成的封闭区域与C、G、F构成的封闭区域是全等的，所以它们的面积也相等，S阴 =S矩形BCGF=（cm2）例 7如图，O的半径为6cm

7、，AB是O中的弦，且与半径相等，OCAB，则图中的阴影部分面积为 分析本题可以把阴影部分拆分为一个弓形与一个三角形分别计算，有没有更好的选择呢？解答过O作OGAB，过C作CHAB，OCAB OG=CH（平行线间的距离处处相等）由OAB与CAB同底等高，得SOAB =SCABS阴 =S扇形OAB=（cm2）例 8A、B、C、D是四个半径为5cm的等圆，位置如图所示，则图中的阴影部分面积为 分析本题阴影部分中的B面积好求，但三个两两外切的圆的中间部分面积计算起来有些费力，能不能不走此路解决问题呢？解答如图，延长AB，CB交B与F、E，则S阴 =S菱形ABCDA、B、C、D的半径都为5cm，AB=1

8、0cm，A=60ºS阴 =S菱形ABCD =（cm2）【小结】“等积形补法”可以看作是一种技巧性解题手段通过“等积形补”，它能把一些不规则的，复杂的图形变成常用的标准图形，从而减少了繁杂的计算，提高了解答的正确率因为这类问题能够充分考查学生对图形的辨析能力，思路宽，解题方法多，十分吻合新课程改革的要求，故倍受命题人青睐四、单位面积法例 9图中的虚线网格是正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，若每个小正方形的面积都为1，则阴影部分面积为 分析正方形网格是这类问题中最常用的一种，这里主要用图形的切割或外扩成矩形进行面积组合解答如图把ABCD外扩入一个矩形之中，则S阴 =S矩形EFCG-SEAB-SBCF-SCDG-SDEA例10图中的虚线网格是正三角形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，若每个小正三角形的面积都为1，则阴影部分面积为 分析正三角形网格是正形网格的一种变形，解题的手法与正方形网格相似，但在组合时通常沿网格线进行切割，一般可扩成等腰梯形或平行四边形解答如图把ABCD外扩入一个等腰梯形之中，则S阴 =S梯形AMNP-SMAB-SBCN-SCDN-SDPA【小结】“单位面积法” 是针对网格面积问题