优化思维策略提升数学能力重点

1、数学高考新课标卷数学高考新课标卷考试要求与备考目标考试要求与备考目标 数学高考的三个维度数学高考的三个维度 知识与技能知识与技能 思想与方法思想与方法 能力与意识能力与意识 数学科的命题，在考查基础知识的数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，重视试题间的注重对数学能力的考查，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求综合数学素养的要求。数学高考的数学高考的主要特点主要特点 立足基础立足基础

2、能力立意能力立意 多考想的多考想的 少考算的少考算的 数学是一门思维的科学，思维能力是数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心数学学科能力的核心. 数学思维能力是以数数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体能力的主体. 数学备考的目标和要

3、求数学备考的目标和要求全面落实：懂、会、对、快、好全面落实：懂、会、对、快、好. . 力求做到：读题仔细，审题谨慎，力求做到：读题仔细，审题谨慎，设计周到，推理严密，计算准确，设计周到，推理严密，计算准确，画图达意，表述清晰，检验有效画图达意，表述清晰，检验有效 数学总复习的三个阶段数学总复习的三个阶段 系统复习系统复习 专题复习专题复习 模拟练习模拟练习 一一. . 重视数学思想重视数学思想 优化思维策略优化思维策略 对数学思想方法的考查是对数学知识在对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知

4、识的考须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度查，反映考生对数学思想方法的掌握程度. .1. 联系与变化联系与变化 例例1 1 根据统计，一名工人组装第根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间件某产品所用的时间(单位：分钟单位：分钟)为为 （A，c为常数）为常数）.已知工人组装第已知工人组装第4件产品用时件产品用时30分钟，组装第分钟，组装第A件产品用时件产品用时15分钟，那么分钟，那么c和和A的值分别是的值分别是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16,( ),cxAxf xcxAA ,( ),(4)303060;460(

5、 )151516.cxAxf xcxAAcfcf AAA 例例2 2 等差数列等差数列an前前9项的和等项的和等于前于前4项的和项的和 . 若若a1=1，ak+a4=0 ，则，则k=_.等差数列等差数列an前前9项的和等于前项的和等于前4项的和项的和 a5+a6+a7+a8+a9=0 a5+a9=0. a1=1，ak+a4=0 k=10. 例例3 3 ABC 中，中， 则则AB+2BC的最大值为的最大值为_60 ,3,BACmax322sin,2sinsinsinsinsin606012022sin4sin(120)2sin4(sin120 coscos120 sin)2(2sin3cos)2

6、 7sin()30120 ,0tan1,0452(2)2 7.ABBCACABC BCACABBACABBCCCCCCCCCCABBC 2. 数形结合数形结合 例例4 4 若若x1满足满足2x+2x=5, x2满足满足2x+2log2(x-1)=5, 则则x1 + x2 = A. B. 3 C. D. 42572.2721),(),(1)1(log2.25)1(log5)1(log22,25252221221121221 CxxxxxxxyyxByxAxyxyyxxxxxx对称对称关于关于对称对称关于关于与与曲线曲线 曲线曲线y=2x与与y=log2x关于直线关于直线y=x对称，对称，故曲线故

7、曲线y=2x-1与与y=log2(x-1)关于直线关于直线y=x-1对称对称. 设设A(x1,y1)、B(x2,y2)分别是曲线分别是曲线y=2x-1、y=log2(x-1)与直线与直线 的交点，则的交点，则A、B两点两点关于直线关于直线y=x-1对称，对称，故故xy 2527221 Cxxx 例例5 5 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)(b-c)=0，则| c |的最大值是 A1 B2 C D222 设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则 (a-c)(b-c)=0 (1-x,-y)(-x,1-y)=0 x2+y2-x-y=0 x2+y2=x+y=

8、2()xy2222222222222()2()02xxyyxyxyxyxy ab , (a-c)(b-c)=0 c2=(a+b)c|c|2=|a+b|c|cos |c|= cos (为a+b与c夹角） 22 例例6 6 曲线曲线C是平面内与两个定点是平面内与两个定点F1(-1，0)和和F2(1，0)的距离的积等于常数的距离的积等于常数 a2(a0)的点的轨迹的点的轨迹.给出下列三个结论：给出下列三个结论： 曲线曲线C过坐标原点；过坐标原点； 曲线曲线C关于坐标原点对称；关于坐标原点对称； 若点若点P在曲线在曲线C上，则上，则 F1PF2的面积的面积不不大于大于 其中，所有正确结论的序号是其中，

9、所有正确结论的序号是 .21.2a12222222212(1)(1)(1).(1)(0,0)(2)( , ),(,)111(3)sinsin.222F PFxyxyaax yxySPFPFaa不不满满足足；满满足足 则则也也满满足足；3. 分类与整合分类与整合 例例7 7 如图，用四种不同颜色给图中的如图，用四种不同颜色给图中的A, B, C, D, E, F 六个点涂色，要求六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有的涂色方法共有 A.288种种 B.264种种C.240种种D.168种种

10、 先对先对B，F，C涂色，有涂色，有 （种）（种） 设四种不同颜色为，设四种不同颜色为，B，F，C的的一种涂法一种涂法是是 B， F， C依依题意题意 A，E，D的涂法的涂法如如下表：下表：共共11 种，种，故故符合要求的涂法符合要求的涂法共共24 11=264 （种）（种）. 34A24AED 例例8 8 已知函数已知函数 ， 若关于若关于x 的方程的方程f(x)=k有两个不同的实根，则有两个不同的实根，则实数实数k的取值范围是的取值范围是_.32,2( )(1) ,2xf xxxx y=f(x)与与y=k 有两个不同的有两个不同的 交点交点 0k0,f(1-a)=f(1+a) a0）的公共

11、弦的）的公共弦的长为长为 ，则，则a= . 2 3 两式相减，得两式相减，得 ，为公共弦所在直线为公共弦所在直线. x2+y2=4 圆心圆心O到此直线的距离为到此直线的距离为 ， 依题意依题意ay1 1a. 1,143 aa解得解得5. 特殊与一般特殊与一般 例例13 13 观察下列等式观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第照此规律，第n个等式为个等式为 .2(1)(2)(32)(21)nnnnn 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 例例1414 如图，动点如图，动点P在

12、正方体在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线的对角线BD1上，过点上，过点P作垂直于作垂直于平面平面BB1D1D的直线，与正方的直线，与正方体表面相交于体表面相交于M，N.设设BP=x， MN=y,则函数则函数y =f(x)的图象的图象大致是大致是 y 例例15 15 A1, A2, A3, A4是平面上给定的是平面上给定的4个个不同点，则使不同点，则使成立的点成立的点M的个数为的个数为 A.0 B. 1 C. 2 D.412340MAMAMAMA123412340040MAMAMAMANANANANAMN 二二. .领悟能力立意领悟能力立意 提升能力水平提升能力水平 试题包括立意、情境和设

13、问三个试题包括立意、情境和设问三个方面方面. .以能力立意命题，就是首先确定以能力立意命题，就是首先确定在能力方面的考查目的，然后根据能在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，力考查的要求，选择适当的考查内容，设计适当的设问方式设计适当的设问方式. . 对数学能力的考查，以抽象对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力全面考查各种能力. .强调探究性、强调探究性、综合性、应用性综合性、应用性. . 1. 空间想象能力空间想象能力 数学高考对空间想象能力提出了三个数学高考对空间想象能力提出了三个方面的要求：能根据

14、条件做出正确的图形，方面的要求：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换，会运用图形形形进行分解、组合与变换，会运用图形形象地揭示问题本质象地揭示问题本质. . 例例1616 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等边长与各侧棱长也都

15、相等.设四棱锥、三棱锥、设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则，则h1h2h3 = A 11 B 22 C 2 D 2 333233 设棱长为设棱长为a，则正四，则正四 棱锥高棱锥高 ， 正三棱锥的高及三棱正三棱锥的高及三棱 柱的高柱的高 故故h1h2h3 =ah221 .3632ahh . 2:2:3 例例1717 如图如图,在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，AB=2DC=2, DAB=60,E为为AB的中点，将的中点，将ADE与与BEC分别沿分别沿ED、EC向上折起，使向上折起，使A、B重合于点重合于点P，则三棱锥则三棱锥PDCE的外接球体积为的外接球体积

16、为 A. 2734 B. 26 C. 86 D. 246 4631363636,3322222 RRRDHOHODROHPHDH 例例1818 正方形正方形ABCD和四边形和四边形ACEF所在的平面所在的平面互相垂直，互相垂直，CEAC, EFAC, AB= ，CE=EF=1. （1）求证：）求证：AF/ 平面平面BDE； （2）求证：）求证：CF平面平面BDE； （3）求二面角求二面角A-BE-D的大小的大小2,1,21.EFAO EFABAOEFAOAOEFAFEOAFBDE 为为平平行行四四边边形形平平面面(0,0,0),( 2, 2,0),(0, 2,0),22( 2,0,0),(0,

17、0,1),12222,1 ,(0,2,1),22(2,0,1)0110,1010,.CABDEFCFBEDECF BECF DECFBE CFDEBEDEECFBDE 平平面面22,122( , , ),0,0,( , , ) ( 2,0,0)0,0,2( , , ) (0,2,1)0CFBDEABEnx y zn BAn BEx y zxzyx y z 是是平平面面的的一一个个法法向向量量，设设平平面面的的法法向向量量为为则则1(0,1, 2)3cos,260 .ynn CFn CFnCFABED 令令，则则二二面面角角为为2抽象概括能力抽象概括能力 从具体的、生动的实例，在抽象从具体的、生

18、动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或做出些结论，并能应用于解决问题或做出新的判断新的判断. . 例例1919 给出下列三个等式：给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y) ，f(x+y)=f(x)f(y)， ,下列函数中不满足下列函数中不满足其中任何一个等式的是其中任何一个等式的是 Af(x)=3x Bf(x)=sinxCf(x)=log2x Df(x)=tanx )()(1)()()(yfxfyfxfyxf 例例20 20 定义平面向量之间的一种运

19、算“ ”如下：对任意的a=(m,n),b=(p,q)，令a b=mq-np，下面说法错误的是 A. 若a与b共线，则a b0 B. a b=b a C. 对任意的R，有(a) b=(a b) D. (a b)2+(ab)2=|a|2 |b|2 2222222222222222222( , ),( , )00;,;()( , )()()();()()(2)()()()()().abababba =ab = baab =ababa babm np qmqnpmqnpqn- pm-m,np qmqnpmqnpm qmnpqn pmpnqmpqnpqmnpq共线() 例例2121 用用n个不同的实数个

20、不同的实数a1,a2,an可得到可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的行的数阵数阵.对第对第i行行ai1 ,ai2 ,ain ,记记bi= -ai1 +2ai2 3ai3+(-1)nnain .i=1,2,3, n! .例如：用例如：用1,2,3可得数阵如图可得数阵如图,由于此数阵中每由于此数阵中每一列各数之和都是一列各数之和都是12，所以，所以 ，则在用则在用1,2,3,4,5形成的数阵中，形成的数阵中，b1+b2+ + b120= . 2412312212621 bbb123123123123123123111222555 由于此数阵中每

21、一列由于此数阵中每一列各数之和都是各数之和都是 24(1+2+3+4+5) = 360， 因此所求的因此所求的 b1+b2+b120 =360 (-1 +2-3+4-5) =-1080.3. 推理论证能力推理论证能力 根据已知的事实和已获得的正确数学命题，根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性的能力论证某一数学命题的真实性的能力. .推理是数学推理是数学思维的基本形式，贯穿于数学学习与解题过程的思维的基本形式，贯穿于数学学习与解题过程的始终始终. .论证是由已有的正确的前提到被论证的结论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程论的正确性的一连串的过程.

22、 . 推理既包括合情推推理既包括合情推理，也包括演绎推理理，也包括演绎推理. . 一般说来，运用合情推理一般说来，运用合情推理探索和发现结论，再运用演绎推理进行证明探索和发现结论，再运用演绎推理进行证明. . 例例22 22 观察下列等式：观察下列等式： 由以上等式推测一个一般的结论：对于由以上等式推测一个一般的结论：对于nN*， 15355CC22, 15973999CCC22 , 1591311513131313CCCC22 , 15913171571717171717CCCCC22 , 1594141414141CCCCnnnnn 15355CC22, 15973999CCC22 , 1

23、591311513131313CCCC22 , 15913171571717171717CCCCC22 , 3,7,11,15, ,4n-1; 1,3,5,7, ,2n-1; 1594n 14n 14n 14n 14n 14n 1n2n 1CCCC2( 1)2. 例例23 23 设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，则则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列成等差数列.类比以上结论有：设等比数列类比以上结论有：设等比数列bn的前的前n项积项积为为Tn，则，则T4，_，_， 成等比成等比数列数列1612TT 平面几何里有勾股定理平面几何里有勾股定理: “设设ABC中中,

24、AB,AC互相垂直互相垂直,则则AB2+AC2=BC2”, 拓展到空间，类比勾股定理，研究三棱锥的侧面拓展到空间，类比勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：是：“设三棱锥设三棱锥A-BCD的三个侧面的三个侧面ABC，ACD， ADB两两垂直，则两两垂直，则 .” 2222232322212211BCDACDABDABCBCDACDABDABCSSSSSDBCDBCSSSADACAB 例例24 24 已知函数已知函数 ，曲线曲线y=f(x) 在点在点(1,f(1) 处的切线方程为处的切线方程为x+2y-3=0 （1）求）

25、求a，b的值；的值； （2）证明：当）证明：当x0，且，且 x 1时，时， ln( )1axbf xxx ln( ).1xf xx 2222222ln1(1)1,1( ).1ln11(2)( )2ln.111(1)( )2ln(0)( )1,( )0, (1)0101, ( )0( )0111, ( )0( )01ln0,1,( )0.1xabf xxxxxf xxxxxxxh xxxh xxxxh xhxh xh xxxh xh xxxxxf xx 4. 运算求解能力运算求解能力 会根据法则、公式进行正确的运算和会根据法则、公式进行正确的运算和变形；能根据问题的条件，寻找与设计合变形；能根据

26、问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算进行估计和近似计算. .高考试题中，半数以高考试题中，半数以上需要运算求解，有的证明问题也需借助上需要运算求解，有的证明问题也需借助于运算进行推理于运算进行推理. . 运算能力包括分析运算运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等定运算程序等. . 例例25 25 设偶函数设偶函数f(x)满足满足f(x)=x3-8(x0)，则则x|f(x-2)0= A. x|x4 B. x|x4 C. x|x6 D. x|x2 3( )

27、0,( )8.( )02,2.f xxf xxf xxx 是是偶偶函函数数，或或(2)022,220,4.f xxxxx 或或或或 例例26 26 设设 a1,d为实数，首项为为实数，首项为a1 ，公差为公差为d的等差数列的等差数列 an的前的前n项和为项和为Sn ，满足，满足S5S6+15=0 ，则，则d的取值范围的取值范围是是_ .56112211222150(510 )(615 )150291010(9 )42(101)082 2,2 2.S Sadadaa ddddddd 或或 例例27 27 设定函数设定函数且方程且方程 的两个根分别为的两个根分别为1，4. （1）当）当a=3且曲线

28、且曲线y=f(x)过原点时，求过原点时，求f(x)的的解析式；解析式； （2）若）若f(x)在在(-,+)无极值点，求无极值点，求a的取值范的取值范围围.32( )(0)3af xxbxcxd a 09)( xxf3222232( )(0)( )23( )9(29)(1)(4)295 ,4 .(1)3( )93(29)3(1)(4)3,12.0( )312 .af xxbxcxd afxaxbxcfxxaxbxca xxba caafxxxbxcxxbcdf xxxx 32232222( )(03( )9(29)(1)(4)2 =9-5 ,4 .( )(0R)3( )20(0)(2 )49(1

29、)(9)0(0)19.af xxbxcxd afxxaxbxca xxba caaf xxbxcxd axfxaxbxcabacaaaa （ ），无无极极值值点点恒恒成成立立5. 数据处理能力数据处理能力 会收集数据、整理数据、分析数会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断有用的信息，并做出判断. . 例例2828 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表次，三人的测试成绩如下表 s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次分别表示甲、乙、丙三名

30、运动员这次测试成绩的标准差，则有测试成绩的标准差，则有 A s3s1s2 B s2s1s3 C s1s2s3 D s2s3s1 甲的成绩环数7 8 9 10频数5 5 55乙的成绩环数7 8 9 10频数6 4 46丙的成绩环数7 8 9 10频数4 6 64 小圆圈表示网络的结点小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表结点之间的连线表示它们有网线相联示它们有网线相联. 连线标注连线标注的数字表示该段网线单位时的数字表示该段网线单位时间内可以间内可以 通过的最大信息量通过的最大信息量.现从结点现从结点A向结点向结点B传递信息传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是则单位时间内传递的最大信息量是 A.26 B. 24 C. 20 D. 19 例例29 29 植树节某班植树节某班20名同学在一段直线名同学在一段直线公