【精选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题20矩形(教师版)

1、专题20矩形专题知识回顾1 .矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2 .矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。3 .矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形;（3）有三个角是直角的四边形是矩形。4 .矩形的面积：S矩形=长x宽=ab专题典型题考法及解析BE , EG , FG为折痕，若顶点 A,【例题1】（2019广西桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,c，口都落在点O处，且点b，o, G在同一条直线上，同时点e，o, F在另一条件上，则Ab的值为（）A. 6B. 22C. 3D. V35 2【答

2、案】B【解析】由折叠可得，AE OE DE , CG OG DG ,E , G分别为AD, CD的中点，设 CD 2a , AD 2b ,贝U AB 2a OB , DG OG CG a , BG 3a, BC AD 2b ,Q C 90 , 222Rt BCG 中，CG BC BG ,即 a2 （2b）2 （3a）2 , 22b 2a ,即b 72a , b V2,AD的值为 加aAB【例题2】（2019贵州省安顺市）如图，在 RtABC中，/ BAC = 90° , AB=3, AC=4,点D为斜边BC上的一个动点，过D分另1J作DM LAB于点M,作DNLAC于点N,连接MN

3、,则线段MN的最小值为.A5【解析】 连接AD,即可证明四边形 AMDN是矩形；由矩形 AMDN得出MN = AD,再由三角形的面积关系 求出AD的最小值，即可得出结果.连接AD,如图所示：B22DM ±AB, DNXAC, . / AMD = / AND = 90° ,又. / BAC=90° , .四边形 AMDN 是矩形；，MN=AD,/BAC=90° , AB=3, AC=4,，BC=5,当ADXBC时，AD最短，此时 ABC 的面积=1BC?AD= 1AB?AC, 22 AD的最小值=AB ACBC125线段MN的最小值为125 。专题典型训练

4、题一、选择题1. （2019?广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线 AC的垂直平分线 EF分别交BC, AD于点E, F,若BE =3, AF = 5,则AC的长为（）A. 4强B. 4aC. 10D . 8【答案】A【解析】连接 AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC, AE=CE,证明ZAOFACOE得出AF=CE =5,得出AE=CE=5, BC=BE+CE = 8,由勾股定理求出 AB川:淤也产=4,再由勾股定理求出 AC即可. 连接AE,如图： EF是AC的垂直平分线，.OA=OC, AE=CE, 四边形ABCD是矩形， ./ B=90°, AD / BC, ./ O

5、AF = /OCE, rZAOF=ZCCiE 在 AAOF 和 ACOE 中，-0A=0C，Z0AF=Z OCE AOFACOE (ASA),AF = CE= 5, .AE=CE=5, BC =BE+CE =3+5= 8,AB = 7aE2-BE2 = '卜24,AC = Jar'+BC、=2 4后故选：A.2. （2019须州省铜仁市） 如图为矩形 ABCD, 一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是（）5'A. 360°【答案】C.B. 540C. 630°D. 720180° 的【解答】一

6、条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°.3. （2019?山东泰安）如图，矩形 ABCD中，AB=4, AD=2, E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB,则PB的最小值是（）A. 2B. 4C. V2D. 22【答案】D【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段 P1P2,再根据垂线段最短可得当 BPLP1P2时,PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BPHP1P2,故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可. 如图：当点F

7、与点C重合时，点 P在P1处，CP1 = DP1,当点F与点E重合时，点 P在P2处，EP2=DP2,P1P2 / CE 且 P1P2=tj-CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有 DP = FP由中位线定理可知：P1P/ CE且P1P=-i-CF.点P的运动轨迹是线段 P1P2, 当BPLP1P2时，PB取得最小值 矩形 ABCD 中，AB=4, AD=2, E 为 AB 的中点， .CBE、AADE、BCP1为等腰直角三角形， CP1=2 ./ ADE=/CDE=/CP1B=45。，Z DEC =90°/ DP2P1 = 90° Z DP1P2 = 45°

8、P2P1B=90°,即 BP11P1P2, BP的最小值为 BPi的长在等腰直角BCPi中，CP1=BC=2BPi=2 1PB的最小值是2714. （2019湖北荆州） 如图，矩形 ABCD的顶点A, B, C分别落在/ MON的边OM , ON上，若OA = OC, 要求只用无刻度的直尺作/ MON的平分线.小明的作法如下：连接 AC, BD交于点E,作射线OE,则射 线OE平分/ MON .有以下几条几何性质： 矩形的四个角都是直角， 矩形的对角线互相平分， 等腰 三角形的“三线合一” .小明的作法依据是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】二四边形ABCD为矩形，AE=CE,而

9、 OA=OC,.OE为/ AOC的平分线.二、填空题5. （2019重庆）如图，在矩形 ABCD中，AB 3, AD 2,以点A为圆心，AD长为半径画弧，交 AB于点E,图中阴影部分的面积是 ）.DCAE B【答案】6902【解析】S阴2 3-? ?263606. （2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条 件即可）.产"C【答案】/ ABC=90°或AC=BD .【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：/ ABC=90°或AC=BD .故答案为：/

10、ABC=90°或AC=BD .7. （2019黑龙江省龙东地区） 如图，矩形ABCD中，AB = 4, BC=6,点P是矩形ABCD内一动点，且Sapab1一一 ，一=-S咛CD,则PC+PD的最小值是 .2AD小BC【答案】4石.【解析】结合已知条件，根据Sapab= - Sapcd可判断出点P在42离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点P作直线14 AB,作点D关于直线l的对称点Di,连接CD=4,DD 1=8,在RtCDD中，由勾股定理得 CD=44,PC+PD的最小值是月1C2行于AB ,与AB的距离为2、与CD的距CD1, .矩形 ABCD 中，AB=4

11、, BC=6, 4/5 .8. （2019内蒙古通辽） 如图，在矩形 ABCD中，AD=8,对角线 AC与BD相交于点 O, AEXBD,垂足为则AB的长为【解答】:四边形 ABCD是矩形，AO=CO=BO=DO, AE 平分/ BAOBAE=/EAO,且 AE=AE, /AEB = /AEO,ABEA AOE （ASA） . AO = AB,且 AO = OB，AO = AB=BO=DO,BD = 2AB,AD2+AB2= bd2, .64+AB2=4AB2,9. （2019?胡北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片 ABCD, AB=4, BC=8,点M, N分别在矩形的边 AD, BC上，将

12、矩形纸片沿直线 MN折叠，使点C落在矩形的边 AD上，记为点P,点D落在G处，连接PC, 交MN于点Q,连接CM.下列结论： CQ = CD;四边形CMPN是菱形；P, A重合时，MN=2而；APQM的面积S的取值范围是3WW5其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）.【答案】.【解析】先判断出四边形 CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；假设 CQ = CD,得RtACMQA CMD ,进而得/ DCM = / QCM = Z BCP = 30°,这个不一定成立，判断错误；点 P与点A重合时，设BN=x,表示出AN

13、=NC=8-x,利用 勾股定理列出方程求解得 x的值，进而用勾股定理求得 MN,判断出正确；当MN过D点时，求得四边形 CMPN的最小面积，进而得 S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可. 如图1, PM Cl CN, ./ PMN = Z MNC , . / MNC = / PNM , ./ PMN = / PNM,. PM= PN, . NC=NP, .1. PM = CN, MP / CN, 四边形CNPM是平行四边形，. CN=NP, .四边形 CNPM是菱形，故正确； CPXMN , / BCP = Z MCP , ./ MQC = / D = 90°, .

14、CP = CP,若 CQ= CD,则 RtACMQA CMD ,/ DCM = / QCM = / BCP = 30°,这个不一定成立， 故错误；E2设 BN=x,贝U AN = NC=8 - x,在 RtAABN 中，AB2+BN2=AN2,即 42+x2= ( 8-x) 2,解得x= 3, .cn=8-3= 5, ac=ZabQbc*W，碑7四2Y铲土MN = 2QN = 25.故正确；当MN过点D时，如图3,03此时，CN最短，四边形 CMPN的面积最小，则 S最小为S="S菱附0法喟3"工4X4二q， 当P点与A点重合时，CN最长，四边形 CMPN的面积最

15、大，则 S最大为S=/X5X45， .4<SW故错误.故答案为：.10. （2019贵州贵阳）如图，在矩形 ABCD中，AB=4, /DCA=30°,点F是对角线 AC上的一个动点，连 接DF,以DF为斜边作/ DFE = 30°的直角三角形 DEF ,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C 的运动过程中，点 E的运动路径长是 .DC【答案当g.【解析】E的运动路径是EE'的长; AB=4, ZDCA=30°,，BC手当F与A点重合时,在 RtAADE'中，AD =Z DAE'=30°, /ADE'=60

16、6;,DE' =ZCDE'=30°,当F与C重合时，Z EDC = 60°, ./ EDE'=90°, Z DEE'=30°,在 RtDEE'中，EE'=±£!5ARBC【答案】石.11. （2019?山东潍坊）如图，在矩形 ABCD中，AD = 2.将/A向内翻折，点 A落在BC上，记为A；折痕 为DE.若将/B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B',则AB =.【解析】利用矩形的性质，证明 / ADE= / A'DE= Z A'DC=30

17、76;, ZC= / A'B'D = 90°,推出 ZXDB'A'A DCA', CD = B'D ,设AB = DC = x,在RtAADE中，通过勾股定理可求出AB的长度.四边形ABCD为矩形，Z ADC = Z C= Z B = 90°, AB=DC,由翻折知， AAEDA A'ED, ZA'BEA A'B'E, Z A'B'E= Z B= Z A'B'D=90°, ./ AED=/A'ED, Z A'EB= Z A'EB&

18、#39;, BE=B'E,/ AED = / A'ED = / A'EB = X180° = 60°,J/ ADE = 90° - Z AED = 30°, / A'DE = 90° - / A'EB= 30°,/ ADE = / A'DE = / A'DC = 30°,又./ C=/A'B'D=90°, DA'=DA',. DB'A'A DCA' (AAS),DC = DB',在 RtAAED

19、中,/ADE = 30°, AD=2,AE =273I-设 AB=DC = x,贝U BE=B'E= x - 反L3, AE2+AD2=DE2,.（冬氏 2+22= （x+x-空1） 2, 33解得，xi二包（负值舍去），X2=M12. （2019北京市）在矩形ABCD中，M, N, P, Q分别为边AB , BC, CD, DA上的点（不与端点重合）.对 于任意矩形ABCD ,下面四个结论中，存在无数个四边形 MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形 MNPQ是矩形；存在无数个四边形 MNPQ是菱形；至少存在一个四边形 MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是 .【答案】【解析

20、】 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，用图中任过点 。的两条线段PM, QN,则四边形 MNPQ是平行四边形；显然有无数个 .本结论正确.图中任过点 。的两条相等的线段 PM, QN,则四边形 MNPQ是矩形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点 。的两条垂直的线段 PM, QN,则四边形 MNPQ是菱形；显然有无数个.本结论正确.图中过点。的两条相等且垂直的线段 PM, QN,则四边形 MNPQ是正方形；显然有一个.本结论错误. 故填：.13. （2019辽宁本溪） 如图，BD是矩形ABCD的对角线，在 BA和BD上分别截取 BE, BF,使BE=BF ; 分别以 巳F为圆心，以大于2 E

21、F的长为半径作弧，两弧在/ ABD内交于点G,作射线BG交AD于点巳若AP=3 ,则点P到BD的距离为C【答案】3.【解析】 过点P作PQLBD,垂足为Q, 根据题意可得BP平分/ABD.四边形ABCD为矩形，/ A=90° ,PA=PQ. PA=3,PQ=3,故答案为3.14. （2019辽宁抚顺）在矩形ABCD中，AB=6, AD = 3, E是AB边上一点，AE=2, F是直线CD上一动 点，将AAEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A',当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为 .【解析】在旋转过程中 A有两次和E, C在一条直线上，第一次在EC线段上

22、，第二次在 CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CF = CE,即可求解；如图1 :将4AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点 A', ./ AEF = /EA'F, AE=A'E, AB / CD, ./ AEF = / CFE,.CF = CE, AB=6, AD=3, AE=2,cf = ce=6- DF , A'E=2, BE=4, BC = 3,EC=5, -6- DF = 5,DF = 1 ;如图2:由折叠/ FEA'=Z FEA, AB / CD, ./ CFE = Z CEF,.CF = CE,CF = 5,DF = 11;故答案为1或

23、11;15. (2019湖南怀化) 已知：如图，在 ？ABCD中，AEXBC, CF± AD, E, F分别为垂足. (1)求证： ABEACDF ;【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）证明：二四边形 ABCD是平行四边形, ./ B=Z D, AB = CD, AD / BC, AEXBC, CFXAD, ./ AEB=/AEC = / CFD = /AFC=90° ,在 ABE 和 CDF 中，ZAEB=ZCFD , tAB=CDABEACDF （AAS）;（2）证明：AD / BC,EAF = Z AEB=90 ,.Z EAF = Z AEC = Z A

24、FC=90 ,四边形AECF是矩形.16. (2019湖南郴州)如图1 ,矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与 A, B重合)， 把4ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EAi交直线DC于点F,再把/ BEF折叠， 使点B的对应点Bi落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.(1)求证： AiDEA BiEH;的形状，并说FG的数量关(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 Ai恰好落在直线 MN上，试判断 DEF 明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，点 G为4DEF内一点，且/ DGF =150°,试探究DG, EG,【答案】(1)见解析；(2) ADEF是等

25、边三角形，理由见解析； (3) DG2+GF2=GE2.【解析】解：(1)证明：由折叠的性质可知：Z DAE = Z DAiE=90° , Z EBH = / EBiH = / AiED, Z BEH = Z BiEH, ./ DEA什/HEBi = 90 .又 / HEBi+ZEHBi = 90° ,/ DEAi=Z EHBi, AiDEA BiEH;(2)结论： DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，:点A1是EF的中点,即 AiE = AiF,.'.A AiDEA AiDF ( SAS),DE = DF , Z FDA 1 = / ED

26、A 1,X-. A ADEA AiDE, Z ADF = 90 ;.Z ADE = Z EDAi = Z FDA 1 = 30 , ./ EDF=60°,.'.A DEF是等边三角形；(3) DG, EG, FG 的数量关系是 DG2+gf?=GE2,理由如下：由（2）可知 DEF是等边三角形；将 DGE逆时针旋转60°到 DG'F位置，如解图（1）, ,.G'F=GE, DG'=DG, Z GDG'=60°, . DGG'是等边三角形， .GG'=DG, / DGG'=60°, . / D

27、GF = 150°,.G'GF=90°,.-.G'G2+GF2=G'F2,DG2+GF2=GE2,（3）当点A移动到某一位置时， 点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值,值.督弓国【答案】（1） （2, 3+2«）；（2） OA=3/2;17. （2019湖南益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形ABCD的边AB=4, BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点 A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.（1）当/ OAD = 30°时，求点 C的坐标；（2）设AD的中

28、点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时，求OA的长;并求此时cos/ OAD的（3）当0、M、C三点在同一直线时， OC有最大值8, cos/ OAD【解析】解：（1）如图1,过点C作CEy轴于点E,O'E图1".矩形 ABCD 中，CD LAD,CDE+Z ADO = 90° ,又 / OAD+/ADO = 90° , ./ CDE = Z OAD = 30 ° ,在 RtACED 中，CE =-i-CD= 2,de=Tci)在 RtAOAD 中，/ OAD = 30° , .OD = AD = 3,2.点C的坐标为(2,

29、 3+2/3);(2) M为AD的中点,.DM =3, Sadcm = 6,又 S四边形OMCD =212 Sa ODM =SaOAD = 9 ,1 -xy=9, 2设 OA=x、OD = y,则 x2+y2= 36,1- x2+y2= 2xy,即 x=y,将 x= y 代入 x2+y2= 36 得 x2= 18,解得x= 3、巧(负值舍去) .OA=3 ,二；(3) OC的最大值为8,如图2, M为AD的中点,图二 .OM = 3, CM =加卢+0,= 5,，OCWOM + CM=8,当O、M、C三点在同一直线时， OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点。作ONLAD,垂足为N, / CDM = / ONM = 90° , Z CMD = / OMN , . CMDAOMN ,吼=生，即2=*=生MN 而 ON MN 3q 解得MN=-5AN = AM - MN =在 RtAOAN 中，OA =cos/ OAD =ANOA18. (2019砌北省鄂州市) 如图，矩形ABCD中，AB=