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文档简介
1、专题20矩形专题知识回顾1 .矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2 .矩形的性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线平分且相等。3 .矩形判定定理:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形;(3)有三个角是直角的四边形是矩形。4 .矩形的面积:S矩形=长x宽=ab专题典型题考法及解析BE , EG , FG为折痕,若顶点 A,【例题1】(2019广西桂林)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,c,口都落在点O处,且点b,o, G在同一条直线上,同时点e,o, F在另一条件上,则Ab的值为()A. 6B. 22C. 3D. V35 2【答
2、案】B【解析】由折叠可得,AE OE DE , CG OG DG ,E , G分别为AD, CD的中点,设 CD 2a , AD 2b ,贝U AB 2a OB , DG OG CG a , BG 3a, BC AD 2b ,Q C 90 , 222Rt BCG 中,CG BC BG ,即 a2 (2b)2 (3a)2 , 22b 2a ,即b 72a , b V2,AD的值为 加aAB【例题2】(2019贵州省安顺市)如图,在 RtABC中,/ BAC = 90° , AB=3, AC=4,点D为斜边BC上的一个动点,过D分另1J作DM LAB于点M,作DNLAC于点N,连接MN
3、,则线段MN的最小值为.A5【解析】 连接AD,即可证明四边形 AMDN是矩形;由矩形 AMDN得出MN = AD,再由三角形的面积关系 求出AD的最小值,即可得出结果.连接AD,如图所示:B22DM ±AB, DNXAC, . / AMD = / AND = 90° ,又. / BAC=90° , .四边形 AMDN 是矩形;,MN=AD,/BAC=90° , AB=3, AC=4,,BC=5,当ADXBC时,AD最短,此时 ABC 的面积=1BC?AD= 1AB?AC, 22 AD的最小值=AB ACBC125线段MN的最小值为125 。专题典型训练
4、题一、选择题1. (2019?广东广州)如图,矩形ABCD中,对角线 AC的垂直平分线 EF分别交BC, AD于点E, F,若BE =3, AF = 5,则AC的长为()A. 4强B. 4aC. 10D . 8【答案】A【解析】连接 AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC, AE=CE,证明ZAOFACOE得出AF=CE =5,得出AE=CE=5, BC=BE+CE = 8,由勾股定理求出 AB川:淤也产=4,再由勾股定理求出 AC即可. 连接AE,如图: EF是AC的垂直平分线,.OA=OC, AE=CE, 四边形ABCD是矩形, ./ B=90°, AD / BC, ./ O
5、AF = /OCE, rZAOF=ZCCiE 在 AAOF 和 ACOE 中,-0A=0C,Z0AF=Z OCE AOFACOE (ASA),AF = CE= 5, .AE=CE=5, BC =BE+CE =3+5= 8,AB = 7aE2-BE2 = '卜24,AC = Jar'+BC、=2 4后故选:A.2. (2019须州省铜仁市) 如图为矩形 ABCD, 一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是()5'A. 360°【答案】C.B. 540C. 630°D. 720180° 的【解答】一
6、条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,每一个多边形的内角和都是倍数,都能被180整除,分析四个答案,只有630不能被180整除,所以a+b不可能是630°.3. (2019?山东泰安)如图,矩形 ABCD中,AB=4, AD=2, E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF 中点,连接PB,则PB的最小值是()A. 2B. 4C. V2D. 22【答案】D【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段 P1P2,再根据垂线段最短可得当 BPLP1P2时,PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BPHP1P2,故BP的最小值为BP1的长,由勾股定理求解即可. 如图:当点F
7、与点C重合时,点 P在P1处,CP1 = DP1,当点F与点E重合时,点 P在P2处,EP2=DP2,P1P2 / CE 且 P1P2=tj-CE当点F在EC上除点C、E的位置处时,有 DP = FP由中位线定理可知:P1P/ CE且P1P=-i-CF.点P的运动轨迹是线段 P1P2, 当BPLP1P2时,PB取得最小值 矩形 ABCD 中,AB=4, AD=2, E 为 AB 的中点, .CBE、AADE、BCP1为等腰直角三角形, CP1=2 ./ ADE=/CDE=/CP1B=45。,Z DEC =90°/ DP2P1 = 90° Z DP1P2 = 45°
8、P2P1B=90°,即 BP11P1P2, BP的最小值为 BPi的长在等腰直角BCPi中,CP1=BC=2BPi=2 1PB的最小值是2714. (2019湖北荆州) 如图,矩形 ABCD的顶点A, B, C分别落在/ MON的边OM , ON上,若OA = OC, 要求只用无刻度的直尺作/ MON的平分线.小明的作法如下:连接 AC, BD交于点E,作射线OE,则射 线OE平分/ MON .有以下几条几何性质: 矩形的四个角都是直角, 矩形的对角线互相平分, 等腰 三角形的“三线合一” .小明的作法依据是()A.B.C.D.【答案】C【解析】二四边形ABCD为矩形,AE=CE,而
9、 OA=OC,.OE为/ AOC的平分线.二、填空题5. (2019重庆)如图,在矩形 ABCD中,AB 3, AD 2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交 AB于点E,图中阴影部分的面积是 ).DCAE B【答案】6902【解析】S阴2 3-? ?263606. (2019湖南娄底)如图,要使平行四边形 ABCD是矩形,则应添加的条件是 (添加一个条 件即可).产"C【答案】/ ABC=90°或AC=BD .【解析】解:根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形;故添加条件:/ ABC=90°或AC=BD .故答案为:/
10、ABC=90°或AC=BD .7. (2019黑龙江省龙东地区) 如图,矩形ABCD中,AB = 4, BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且Sapab1一一 ,一=-S咛CD,则PC+PD的最小值是 .2AD小BC【答案】4石.【解析】结合已知条件,根据Sapab= - Sapcd可判断出点P在42离为4的直线上,再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点P作直线14 AB,作点D关于直线l的对称点Di,连接CD=4,DD 1=8,在RtCDD中,由勾股定理得 CD=44,PC+PD的最小值是月1C2行于AB ,与AB的距离为2、与CD的距CD1, .矩形 ABCD 中,AB=4
11、, BC=6, 4/5 .8. (2019内蒙古通辽) 如图,在矩形 ABCD中,AD=8,对角线 AC与BD相交于点 O, AEXBD,垂足为则AB的长为【解答】:四边形 ABCD是矩形,AO=CO=BO=DO, AE 平分/ BAOBAE=/EAO,且 AE=AE, /AEB = /AEO,ABEA AOE (ASA) . AO = AB,且 AO = OB,AO = AB=BO=DO,BD = 2AB,AD2+AB2= bd2, .64+AB2=4AB2,9. (2019?胡北省咸宁市)如图,先有一张矩形纸片 ABCD, AB=4, BC=8,点M, N分别在矩形的边 AD, BC上,将
12、矩形纸片沿直线 MN折叠,使点C落在矩形的边 AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC, 交MN于点Q,连接CM.下列结论: CQ = CD;四边形CMPN是菱形;P, A重合时,MN=2而;APQM的面积S的取值范围是3WW5其中正确的是 (把正确结论的序号都填上).【答案】.【解析】先判断出四边形 CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明,判断出正确;假设 CQ = CD,得RtACMQA CMD ,进而得/ DCM = / QCM = Z BCP = 30°,这个不一定成立,判断错误;点 P与点A重合时,设BN=x,表示出AN
13、=NC=8-x,利用 勾股定理列出方程求解得 x的值,进而用勾股定理求得 MN,判断出正确;当MN过D点时,求得四边形 CMPN的最小面积,进而得 S的最小值,当P与A重合时,S的值最大,求得最大值便可. 如图1, PM Cl CN, ./ PMN = Z MNC , . / MNC = / PNM , ./ PMN = / PNM,. PM= PN, . NC=NP, .1. PM = CN, MP / CN, 四边形CNPM是平行四边形,. CN=NP, .四边形 CNPM是菱形,故正确; CPXMN , / BCP = Z MCP , ./ MQC = / D = 90°, .
14、CP = CP,若 CQ= CD,则 RtACMQA CMD ,/ DCM = / QCM = / BCP = 30°,这个不一定成立, 故错误;E2设 BN=x,贝U AN = NC=8 - x,在 RtAABN 中,AB2+BN2=AN2,即 42+x2= ( 8-x) 2,解得x= 3, .cn=8-3= 5, ac=ZabQbc*W,碑7四2Y铲土MN = 2QN = 25.故正确;当MN过点D时,如图3,03此时,CN最短,四边形 CMPN的面积最小,则 S最小为S="S菱附0法喟3"工4X4二q, 当P点与A点重合时,CN最长,四边形 CMPN的面积最
15、大,则 S最大为S=/X5X45, .4<SW故错误.故答案为:.10. (2019贵州贵阳)如图,在矩形 ABCD中,AB=4, /DCA=30°,点F是对角线 AC上的一个动点,连 接DF,以DF为斜边作/ DFE = 30°的直角三角形 DEF ,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C 的运动过程中,点 E的运动路径长是 .DC【答案当g.【解析】E的运动路径是EE'的长; AB=4, ZDCA=30°,,BC手当F与A点重合时,在 RtAADE'中,AD =Z DAE'=30°, /ADE'=60
16、6;,DE' =ZCDE'=30°,当F与C重合时,Z EDC = 60°, ./ EDE'=90°, Z DEE'=30°,在 RtDEE'中,EE'=±£!5ARBC【答案】石.11. (2019?山东潍坊)如图,在矩形 ABCD中,AD = 2.将/A向内翻折,点 A落在BC上,记为A;折痕 为DE.若将/B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB =.【解析】利用矩形的性质,证明 / ADE= / A'DE= Z A'DC=30
17、76;, ZC= / A'B'D = 90°,推出 ZXDB'A'A DCA', CD = B'D ,设AB = DC = x,在RtAADE中,通过勾股定理可求出AB的长度.四边形ABCD为矩形,Z ADC = Z C= Z B = 90°, AB=DC,由翻折知, AAEDA A'ED, ZA'BEA A'B'E, Z A'B'E= Z B= Z A'B'D=90°, ./ AED=/A'ED, Z A'EB= Z A'EB&
18、#39;, BE=B'E,/ AED = / A'ED = / A'EB = X180° = 60°,J/ ADE = 90° - Z AED = 30°, / A'DE = 90° - / A'EB= 30°,/ ADE = / A'DE = / A'DC = 30°,又./ C=/A'B'D=90°, DA'=DA',. DB'A'A DCA' (AAS),DC = DB',在 RtAAED
19、中,/ADE = 30°, AD=2,AE =273I-设 AB=DC = x,贝U BE=B'E= x - 反L3, AE2+AD2=DE2,.(冬氏 2+22= (x+x-空1) 2, 33解得,xi二包(负值舍去),X2=M12. (2019北京市)在矩形ABCD中,M, N, P, Q分别为边AB , BC, CD, DA上的点(不与端点重合).对 于任意矩形ABCD ,下面四个结论中,存在无数个四边形 MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形 MNPQ是矩形;存在无数个四边形 MNPQ是菱形;至少存在一个四边形 MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是 .【答案】【解析
20、】 如图,O为矩形ABCD对角线的交点,用图中任过点 。的两条线段PM, QN,则四边形 MNPQ是平行四边形;显然有无数个 .本结论正确.图中任过点 。的两条相等的线段 PM, QN,则四边形 MNPQ是矩形;显然有无数个.本结论正确.图中任过点 。的两条垂直的线段 PM, QN,则四边形 MNPQ是菱形;显然有无数个.本结论正确.图中过点。的两条相等且垂直的线段 PM, QN,则四边形 MNPQ是正方形;显然有一个.本结论错误. 故填:.13. (2019辽宁本溪) 如图,BD是矩形ABCD的对角线,在 BA和BD上分别截取 BE, BF,使BE=BF ; 分别以 巳F为圆心,以大于2 E
21、F的长为半径作弧,两弧在/ ABD内交于点G,作射线BG交AD于点巳若AP=3 ,则点P到BD的距离为C【答案】3.【解析】 过点P作PQLBD,垂足为Q, 根据题意可得BP平分/ABD.四边形ABCD为矩形,/ A=90° ,PA=PQ. PA=3,PQ=3,故答案为3.14. (2019辽宁抚顺)在矩形ABCD中,AB=6, AD = 3, E是AB边上一点,AE=2, F是直线CD上一动 点,将AAEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点A',当点E、A'、C三点在一条直线上时,DF的长度为 .【解析】在旋转过程中 A有两次和E, C在一条直线上,第一次在EC线段上
22、,第二次在 CE线段的延长线上,利用平行的性质证出CF = CE,即可求解;如图1 :将4AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点 A', ./ AEF = /EA'F, AE=A'E, AB / CD, ./ AEF = / CFE,.CF = CE, AB=6, AD=3, AE=2,cf = ce=6- DF , A'E=2, BE=4, BC = 3,EC=5, -6- DF = 5,DF = 1 ;如图2:由折叠/ FEA'=Z FEA, AB / CD, ./ CFE = Z CEF,.CF = CE,CF = 5,DF = 11;故答案为1或
23、11;15. (2019湖南怀化) 已知:如图,在 ?ABCD中,AEXBC, CF± AD, E, F分别为垂足. (1)求证: ABEACDF ;【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)证明:二四边形 ABCD是平行四边形, ./ B=Z D, AB = CD, AD / BC, AEXBC, CFXAD, ./ AEB=/AEC = / CFD = /AFC=90° ,在 ABE 和 CDF 中,ZAEB=ZCFD , tAB=CDABEACDF (AAS);(2)证明:AD / BC,EAF = Z AEB=90 ,.Z EAF = Z AEC = Z A
24、FC=90 ,四边形AECF是矩形.16. (2019湖南郴州)如图1 ,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与 A, B重合), 把4ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长EAi交直线DC于点F,再把/ BEF折叠, 使点B的对应点Bi落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.(1)求证: AiDEA BiEH;的形状,并说FG的数量关(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点 Ai恰好落在直线 MN上,试判断 DEF 明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,点 G为4DEF内一点,且/ DGF =150°,试探究DG, EG,【答案】(1)见解析;(2) ADEF是等
25、边三角形,理由见解析; (3) DG2+GF2=GE2.【解析】解:(1)证明:由折叠的性质可知:Z DAE = Z DAiE=90° , Z EBH = / EBiH = / AiED, Z BEH = Z BiEH, ./ DEA什/HEBi = 90 .又 / HEBi+ZEHBi = 90° ,/ DEAi=Z EHBi, AiDEA BiEH;(2)结论: DEF是等边三角形;理由如下:直线MN是矩形ABCD的对称轴,:点A1是EF的中点,即 AiE = AiF,.'.A AiDEA AiDF ( SAS),DE = DF , Z FDA 1 = / ED
26、A 1,X-. A ADEA AiDE, Z ADF = 90 ;.Z ADE = Z EDAi = Z FDA 1 = 30 , ./ EDF=60°,.'.A DEF是等边三角形;(3) DG, EG, FG 的数量关系是 DG2+gf?=GE2,理由如下:由(2)可知 DEF是等边三角形;将 DGE逆时针旋转60°到 DG'F位置,如解图(1), ,.G'F=GE, DG'=DG, Z GDG'=60°, . DGG'是等边三角形, .GG'=DG, / DGG'=60°, . / D
27、GF = 150°,.G'GF=90°,.-.G'G2+GF2=G'F2,DG2+GF2=GE2,(3)当点A移动到某一位置时, 点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,值.督弓国【答案】(1) (2, 3+2«);(2) OA=3/2;17. (2019湖南益阳)如图,在平面直角坐标系 xOy中,矩形ABCD的边AB=4, BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶点 A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.(1)当/ OAD = 30°时,求点 C的坐标;(2)设AD的中
28、点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时,求OA的长;并求此时cos/ OAD的(3)当0、M、C三点在同一直线时, OC有最大值8, cos/ OAD【解析】解:(1)如图1,过点C作CEy轴于点E,O'E图1".矩形 ABCD 中,CD LAD,CDE+Z ADO = 90° ,又 / OAD+/ADO = 90° , ./ CDE = Z OAD = 30 ° ,在 RtACED 中,CE =-i-CD= 2,de=Tci)在 RtAOAD 中,/ OAD = 30° , .OD = AD = 3,2.点C的坐标为(2,
29、 3+2/3);(2) M为AD的中点,.DM =3, Sadcm = 6,又 S四边形OMCD =212 Sa ODM =SaOAD = 9 ,1 -xy=9, 2设 OA=x、OD = y,则 x2+y2= 36,1- x2+y2= 2xy,即 x=y,将 x= y 代入 x2+y2= 36 得 x2= 18,解得x= 3、巧(负值舍去) .OA=3 ,二;(3) OC的最大值为8,如图2, M为AD的中点,图二 .OM = 3, CM =加卢+0,= 5,,OCWOM + CM=8,当O、M、C三点在同一直线时, OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点。作ONLAD,垂足为N, / CDM = / ONM = 90° , Z CMD = / OMN , . CMDAOMN ,吼=生,即2=*=生MN 而 ON MN 3q 解得MN=-5AN = AM - MN =在 RtAOAN 中,OA =cos/ OAD =ANOA18. (2019砌北省鄂州市) 如图,矩形ABCD中,AB=
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