北京市东城区2016届高三数学一模试卷文含解析

1、北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习(一)数学(文科)本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题共40分)一、选择题(共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)(1)若集合 A x R x2 3x) , B x 1 x 2,则 AUB(A) x 1 x 0(B) x| 1 x 3(C) x0 x 2(D) x 0 x 3【知识点】集合的运算【试题解析】因为 =设£叫/打三口 |0=所以，, , - 故答案为：B【答案】B

2、(2)已知直线ax 3y 1 0与直线3x y+2=0互相垂直，则a(A) 3(B) 1(C) 1(D) 3【知识点】两条直线的位置关系【试题解析】因为直线 口<+3>-1 = 口与直线3工一”+2=0互相垂直，二3t二0,曰二1所以，故答案为：C【答案】C(3)已知a log4 6, b log 4 0.2, c log2 3,则三个数的大小关系是(A) cab(B) a c b(C) a b c(D) b c a【知识点】对数与对数函数【试题解析】因为,一.：.；所以，:二; d故答案为：A【答案】Ax 0,(4)若 x,y满足 x 2y 3 0,则u 2x y 3 0,2x

3、y的最大值为(A) 3(B)(C) 2【知识点】线性规划(D)U =2久+卜在AC上任何一点取得最大值 3.【试题解析】因为可行域如图,故答案为：A【答案】A(5)已知数列an的前 n 项和 Sn 1 5 9 13 17 21 L ( 1)n 1(4n(A)21(B)19(C) 19(D) 21【知识点】数列的求和【试题解析】因为4二一4工"+41 = 212故答案为：D 【答案】D(6)在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,则“a b”是 “acosB bcosA” 的(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件【知

4、识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为.一二-：.O 由1/cos 5- c&s4sin 5 = 0 »sin(5一=0 o_4= 5=5所以，是充分必要条件 故答案为：C【答案】C九章算术中的“更相减损术”.执(7)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著行该程序框图，若输入 a ,b , i的值分别为6 , 8, 0 ,则输出a和i的值分别为(A) 0,3(B) 0,4(C) 2,3(D) 2,4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为a = 6,b = 8j = 0fs 二 1为二 2/1二 二 211a = 4rb= £ i = 3ra = 2 = 2

5、,二 4输出 a = 2ri-4o故答案为：D【答案】D(8)函数f(x)的定义域为1,1 ,图象如图1所示；函数g(x)的定义域为 1,2 ,图象如图2所示.若集合Ax f(g(x) 0 , Bx g(f (x) 0 ,则AI B中元素的个数图1图2(A) 1(C) 3(B) 2(D) 4【知识点】函数图象函数及其表示【试题解析】因为=即g(H = -l,0或1二工二01或1,: A= (OlLI),B = 司M(/)=。)即0或2,. k =或 1, ： B = -Lai,所以，中元素的个数为3故答案为：C【答案】C第n卷(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9

6、)若复数(2 ai)2 a R是实数，则a .【知识点】复数综合运算【试题解析】因为R +=444制+苏胪=4 V+4端为实数，故答案为：0【答案】02(10)以抛物线y 4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为 【知识点】抛物线【试题解析】因为抛物线 沙工=4工的焦点为尸(1,0),又过原点，J, r=l所以，圆的方程为t故答案为：I： / I ：, -(11)如图，在正方体 ABCD ABGD中，点P是上底面 ABCD内一动点，则三棱锥P ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为 .【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为正(主)视图与侧(左)视图对应的两个三角形等底等

7、高，所以，面积相等，故面积的比值为1故答案为：1【答案】12(12)已知函数f(x) ()，2 x, x 0.若f(f( 1) 0,则实数a ；在的条件下，若直线 y m与y f (x)的图象有且只有一个交点，则实数 m的取值范围是【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】因为21=2一/孤-D)=，二"1 二 0,4二-L r 1-. 一 ，一2一”,0由图可知m口或m > 1故答案为：-1 ;（-g，o）U1+3）【答案】-1 ；（-g,Q）UL+咐（13）如图，在矩形 OABC中，点E,F分别在线段 AB, BC上，且满足 ABuurBC 3CF ,若 O

8、Buur uurOE OF (3AE,R), 则【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为 OB = OA-OCf0E = OA+OC, OF = OA+OC53 , 4 < 4/ 4.OE + QF = GA+QC = QB, 333I q I <2qq- OB-0E+-0F,:.丸二/二一一a + 必=一*44423故答案为：.23【答案】工 2(14)每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动.活动将65个家庭分成A, B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗.根据往年的统计，

9、每个23家庭种植一棵银杏树苗用时 -h，种植一棵紫薇树苗用时 3h .假定A, B两组同时开55始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为 ,此时活动持续的时间为 h .【知识点】函数模型及其应用232【试题解析】因为由已知得 1视5 J叱,得x = 2工1视5_12 x- 65-x25 5所以，12故答案为：512【答案】：三、解答题(共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) (15)(本小题共13分)已知函数 f(x) sin(2x ) 2cos2 x .(I )求f(x)的最小正周期；(n)求f (x)在区间0，一上的最大值和最小值.2【知识点】三角函数的图像

10、与性质恒等变换综合【试题解析】（I）y（x） = jflsiti 2r-*-cos 2x+l+cos 2jt = sin 2x4- cos 2r+l2222二 sin(2工+当+ 1 .所以/W的最小正周期Tn .(n)因为当时，所以2左斗卜已 . 26671 TC7T于是当 2五+三二二，即了二方时，了以)取得最大值2 ； 6 26当2月+兀_7兀，即天二7T时，丁取得最小值1 .6 622【答案】见解析(16)(本小题共13分)已知公差为正数的等差数列an满足a1 1, 2a1, a3 1, a4 1成等比数列.(i )求an的通项公式；41 ,、， 一(n )若a2, a5分别是等比数列

11、 bn的第1项和第2项，求使数列一的刖n项和 bn99Tn 的最大正整数n . 200【知识点】公式法，分组求和等比数列等差数列【试题解析】(I)设数列4的公差为 0；j ,由已知可得 + D 二(% - 1，即 2(1+1) = (1 + 2 - 1尸，整理得2d二一% 2=0,解得d =(舍去)或厘=2 .2所以sj的通项公式为厘1s =2题一1,题eN .(n)由(i)知后=牝=3 ,与=如=9 ,所以等比数列 口 J的公比0=3.于是()是以-为首项，以-为公比的等比数列.包 33分)所以.1-399 口<，即100用=4 .991由工 ，得1一(一)5a 用 2003则满足不等

12、式的最大正整数【答案】见解析(17)(本小题共14分)如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面ABCD ,底面ABCD是菱形，点。是对角线AC与BD的交点，AB 2, BAD 60°, M是PD的中点.(I )求证：OM /平面PAB;(n )平面PBD 平面PAC ;(出)当三棱锥C PBD的体积等于 W3时，求PA的长.【知识点】立体几何综合【试题解析】 证明：(I)因为在 PBD中，口，材 分别是BD , PD的 中占所以OM II PB又OM(Z平面PAB , PB u平面PAB ,所以0M /平面PAB .(n)因为底面应3CD是菱形，所以BD 1 AC .因为巴4_L平

13、面, BDu平面上8匕口，所以为_LS刃,又金所以BD _L平面FAC .又BD u平面PBD ,所以平面PBD _1_平面.(出)因为底面上SCD是菱形，且AB= 2 , ZBAD = &)a ,又匕= FT3 ,二棱锥产一BCD的Wj为产工,解得2甲组乙组s【答案】见解析（18）（本小题共13分）“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项 全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐 购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人.某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动.将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两

14、个不同的场地进行劝募，每 个小组各6人.爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念.以 下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数 据模糊不清，用x表示.已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1个.（I）求图中x的值；（n） “爱心包裹”分为价值 100元的学习包，和价值 200元的“学习+生活”包，在乙组劝募的爱心包裹中100元和200元的比例为3:1 ,若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；（出）在甲组中任选 2位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率.【知识点】概率综合

15、8+12+16+18+21+21 «【试题解析】（I）由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为 二16 .则甲组的送出钥匙扣的平均数为 15.由 8+9+14+（10+工）+2。+21Hl6=90 ,解得 x = S .（n）乙组送出钥匙扣的个数为 96 ,即劝募的总包裹数为96 ,按照至1的比例，价值100元的包裹有个，价值200元的包裹有24个，故所求爱心包裹的总价值 二72甚100+24冲200 = 12000元.(出)乙组送出钥匙扣的平均数为 16个.甲组送出钥匙扣的个数分别 8,9,1413,20,21 .若从甲组中任取两个数字，所有的基本事件为：<88),强，2。)，(

16、8,21),(9,14), (9/8), (9,2叽(9,21),(14,18),(14,20),(14,21),(18,20).(18,21),(20,20 ，共 15 个基本事件.其中符合条件的基本事件有(18,20) ? (18,21) ,(20.21),共3个基本事件，3 1故所求概率为 产二五二-【答案】见解析(19)(本小题共13分)22x y已知Fi( 1,0)和F2(1,0)是椭圆C ： f 与 1(a b 0)的两个焦点，且点 a b3 一P(1,一)在椭圆C上.2(I)求椭圆C的方程；(n)直线l: y kx m(m 0)与椭圆C有且仅有一个公共点，且与 x轴和y轴分别交于

17、点M ,N ,当AOMN面积取最小值时，求此时直线 l的方程.【知识点】椭圆【试题解析】(I)依题意,所以产=3.故所求椭圆C的方程为L十匕二1.4 3r c 2工 y 1+ (n )由，4 3'消l得C4M +陵次良+ 4/一 12=0 .y二后叶阳由直线上与椭圆C仅有一个公共点知，A =644% -4(4M4司(4/-12)=。,整理得最1 = 4尸 +3 .由条件可得1t. o , M(r, 0) ,陶.kr1 rl I- rl 1犍所以=$|口封| |?M =不同,工=小心K 士八*1 rc1 49 +31 fri |3 |3、将涸；41十3代入得 曷*/ =-内一=-G同+阿

18、)-因为同口，所以S&M/二g(4kkg)N2内，当且仅当同二4，即之二土当 时等号成立，有最小值人门因为m2二4昭十3 ,所以二 ,又成 。，解得阳=也.【答案】见解析(20)(本小题共14分)已知函数 f(x) x2 alnx, a R.(i)若f(x)在x 1处取得极值，求a的值；(n)求f (x)在区间1,)上的最小值；(m)在(I)的条件下，若 h(x) x2 f(x),求证：当1 x e2时，恒有x 4 h(x)成 4 h(x)立.【知识点】导数的综合运用【试题解析】(I)由 ，(幻二/一由乂，定义域为(口,+ 00),得，*(工)=2工一些.K因为函数y(2 = #一出国乂在丈二1处取得极值， 所以/'(D = Q ,即2 q = 口，解得厘=2 .经检验，满足题意，所以 4=2.（n）由（I）得了小）二2尤-巴二空二，定义域为（庄+. x x当/M0时，有f0 0, 在区间L+s）上单调递增，最小值为=当0q建2,由，,=0得犬=，|,且电，3时,m 单当.【一当工亡（04）时，尸。,，（工）单调递减，调递增，八 d二i；所以/ 在区间L+划 上单调递增，最小值为当工时，1n力。，/（工）单调递减，当工e（J（,依）时，75）o, /（五）单调递增，所以函数/在工二A取得最小值忌4一冢吟.综上