光学谐振腔理论

1、第二章 光学谐振腔理论概述第一节 光学谐振腔的基本知识第二节光学谐振腔的损耗第五节 平行平面腔的自再现模第四节 谐振腔的衍射积分理论 第三节光学谐振腔的稳定性条件 主要内容：主要内容：第六节 对称共焦腔的自再现模第七节 一般稳定球面腔的模式特征第八节 高斯光束第九节 非稳腔的模式理论概述光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分之一。与微波腔相比,光频腔的主要特点是 侧面敞开以抑制振荡模式, 轴向尺寸远大于光波长和腔的横向尺寸。从理论上分析时,通常认为其侧面没有边界,因此,将其称为开放式光学谐振腔。本章主要针对这类开放式光腔进行讨论。概述光学谐振腔理论研究的基本问题是:光频电磁场在腔内的传输规律

2、从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般情况下不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些近似方法来处理光腔问题。 概述常用的近似研究方法包括:1.几何光学分析方法在几何光学近似下,光的波动性不起主要作用,可将光看成光线用几何光学方法来处理。对于光学谐振腔来说,当腔的菲涅耳数远大于1时,光在其中往返传播时横向逸出腔外的几何损耗远大于由于腔镜的有限尺寸引起的衍射损耗。此时可用几何光学的方法来处理腔的模式问题。这种方法的优点是简便、直观,主要缺点在于不能得到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析。概述2.矩阵光学分析方法矩阵光学

3、使用矩阵代数的方法研究光学问题,将几何光线和激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写,从而推导出谐振腔的稳定性条件。此外,利用高斯光束的ABCD定律和模的自再现条件能够推导出用矩阵元形式表示的光腔本征方程的模参数公式,便于光腔的设计和计算。这种方法的优点在于处理问题简明、规范,易于用计算机 概述3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在腔镜几何尺寸趋于无穷大

4、的情况下,该积分方程的解析求解才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。概述 本章中采用矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳定性,用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式问题。光学谐振腔中的光场分布以及输出到腔外的光束都是高斯光束形式,其特性和谐振腔密切相关,因此,也在本章中讨论。 本章的最后采用几何光学分析方法对非稳腔进行简单讨论。 概述 本章中只研究无源谐振腔,又称非激活腔或被动腔,即无激活介质存在的腔。 虽然处于运

5、转状态的激光器的谐振腔都是存在增益介质的有源腔(又称激活腔或主动腔),但理论和实践表明,对于中、低增益的激光器,无源腔的模式理论可以作为有源腔模式的良好近似。对于高增益激光器,适当加以修正也是适用的。 这是由于激活介质的主要作用在于补偿腔内本征模在振荡过程中能量的损耗,使之满足谐振条件,形成和维持自激振荡。其对场的空间分布以及谐振频率的影响是次要的,不会使腔的模式发生本质的改变。第一节 光学谐振腔的基本知识 本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及腔模的概念光学谐振腔的构成和分类根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同的分类方式。按能否忽略侧面边界,可将其分为 开腔、 闭腔 气体波

6、导腔第一节 光学谐振腔的基本知识 开腔而言：1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为稳定腔、非稳腔及临界腔;2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔;3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔;4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔;5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈腔;6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多镜腔等。第一节 光学谐振腔的基本知识 2. 作用光学谐振腔的作用主要有两方面:提供轴向光波模的光学正反馈;通过谐振腔镜面的反射,轴向光波模可在腔内往返传播,多次通过激活介质而得到受激

7、辐射放大, 从而在腔内建立和维持稳定的自激振荡。光腔的这种光学反馈作用主要取决于腔镜的反射率、几何形状以及之间的组合方式。这些因素的改变将引起光学反馈作用的变化,即引起腔内光波模损耗的变化。 第一节 光学谐振腔的基本知识 控制振荡模式的特性。由于激光模式的特性由光腔结构决定,因此,可通过改变腔参数实现对光波模特性的控制。通过对腔的适当设计以及采取特殊的选模措施,可有效控制腔内实际振荡的模式数目,使大量光子集中在少数几个状态中,从而提高光子简并度,获得单色性和方向性好的相干光。通过调节腔的几何参数可直接控制激光模的横向分布特性、光斑半径、谐振频率以及远场发散角等。第一节 光学谐振腔的基本知识 3

8、. 腔模无论是闭腔或是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切被约束在空间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个本征态将具有一定的振荡频率和一定的空间分布。在激光技术的术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式。从光子的观点来看，激光模式也就是腔内可能区分的光子的状态。同一模式内的光子具有完全相同的状态。每一种模式都具有确定的基本特征,主要包括 第一节 光学谐振腔的基本知识 电磁场分布,特别是在腔的横截面内的场分布; 谐振频率; 在腔内往返一次所经受的相对功率损耗; 相对应的激光束的发散角。由于腔内电磁场的本征态由Maxwell方程组和腔的

9、边界条件决定,因此不同类型和结构的谐振腔的模式也将各不相同。一旦给定了腔的具体结构,其中振荡模的特征也就随之确定下来。光学谐振腔理论就是研究腔模式的基本特征,以及模与腔结构之间的具体依赖关系。原则上说只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模的上述特征。第一节 光学谐振腔的基本知识 腔内电磁场的空间分布可分解为沿传播方向(腔轴线方向)的分布和在垂直于传播方向的横截面内的分布。其中,腔模沿腔轴线方向的稳定场分布称为谐振腔的纵模,在垂直于腔轴的横截面内的稳定场分布称为谐振腔的横模。 1）纵模 F-P腔：多光束干涉理论可知,发生相长干涉的条件是:波从某一点出发,经腔内往返一周再回到原来位置时,应与初始出

10、发波同相。22 2iiqLqLn L第一节 光学谐振腔的基本知识对于非均匀介质：所以： 0( )LLdLn z dz q qq q2 2L L= =q q2 2L L c cq q 平面腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。q 称为腔的谐振波长,q 称为腔的谐振频率。平面腔中的谐振频率是分立的。 可以将FP腔中满足的平面驻波场称为腔的本征模式。其特点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向(纵向)形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模。不同的q值相应于不同的纵模。q称为纵模序数。 第一节 光学谐振腔的基本知识当整个光腔内充满折射率为n 的均匀物质

11、时，有 由于光频谐振腔的腔长远大于光波波长,整数q通常具有104 106 数量腔的两个相邻纵模频率之差q称为纵模的频率间隔,简称纵模间隔腔长L越小，纵模间隔越大。 有什么用处？ 什么是频率梳？22qqLnLLqcvqnL122 qqqccvvvnLL第一节 光学谐振腔的基本知识2）横模这种稳态场经一次往返后,唯一可能的变化仅是,镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。这种在腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳定场分布称为自现模或横模。对于两个镜面完全相同的对称腔来说,这种稳定场分布经单程传播

12、后即可实现自再现。综上所述,激光的横模,实际上就是谐振腔所允许的(也就是在腔内往返传播,能保持相对稳定不变的)光场的各种横向稳定分布。第一节 光学谐振腔的基本知识不同的纵模和横模具有不同的光场分布和振荡频率。但对于纵模来说,其光场分布之间的差异很小,一般只从频率的差异来区分不同的纵模。不同横模之间的光场分布差异较大,很容易从强度花样来区分。需要注意的是,不同的横模之间,也存在频率差异。第二节光学谐振腔的损耗光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表征无源腔质量的品

13、质因数Q值及线宽。一、损耗及其描述(1)几何偏折损耗:光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。第二节光学谐振腔的损耗（2）衍射损耗 从波动光学观点来看,由于腔反射镜面几何尺寸是有限的,光波在腔内往返传播时必然因腔镜边缘的衍射效应而产生损耗。如果在腔内插入其他光学元件,还应当考虑其边缘或孔径的衍射引起的损耗。通常将这类损耗称为衍射损耗,可由求解腔的衍射积分方程得出,其大小与腔的菲涅耳数、腔的几何参数以及横模阶数等都有关系。第二节光学谐振腔的损耗(3)腔镜反射不完全引起的损耗。这部分损耗包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。通

14、常光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率可能很高(例如，某些固体激光器的输出镜透射率可以50)，另一个反射镜即通常所称的“全反射”镜，其反射率也不可能做到100。(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特镜，调Q元件、调制器等)所引起的损耗，等等。第二节光学谐振腔的损耗上述(1)、(2)两种损耗又常称为选择损耗，不同模式的几何损耗与衍射损耗各不相同。(3)、(4)两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体一样。 不论损耗的起源如何,均可用“平均单程损耗因子”(简称单程损耗因子)来定量描述。该因子的定义为：如果初始光强为I0，在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1则：2

15、01011ln2III eI 第二节光学谐振腔的损耗 如果损耗是由多种因素引起的，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因子i描述，则有 也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子： 显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子与前面定义的指数损耗因子是一致的12222 32100123.iiII eeeI e 0102 III20100002 1 (1 2 )2IIII eII 第二节光学谐振腔的损耗常见损耗举例:1）由镜反射不完全所引起的损耗以r1和r2分别表示腔的两个镜面的反射率(即功率反射系数)，则初始强度为Io的光，在腔内经两个镜面反射往返一周后，其强度I1应为按的定义，对由镜面

16、反射不完全所引入的损耗因子1，应有因此当r1r2 1时1012IIr r210120rIIr rIe1122lnrr r 1122(1)(1)rrr 第二节光学谐振腔的损耗2）腔镜倾斜时的几何损耗当平面腔的两个镜面构成小的角度 时，光在两镜面间经有限次m往返后必将逸出腔外。式中D为平面腔的横向尺寸（直径）*2*6.*(21)221 35.(21)LLLmDLmD 1222DLmLmD注意到往返时间为t02L/c,即可求得光子的平均寿命及相应的第二节光学谐振腔的损耗 倾斜腔的损耗与，L，D均有关,sqrt( )，且随L的增大及D的减小而增加例：D=1cm，L=1m计算，为了保证0.1,必须有上式

17、表明平行平面腔的调整精度极高02 22LDnDLmtcLc24622 10410.012 100.4DradLrad如果要求损耗低于则应有第二节光学谐振腔的损耗3）衍射损耗 由衍射引起的损耗随腔的类型、具体几何尺寸及振荡模式而不同，是一个很复杂的问题。这里只就均匀平面波在平面孔径上的夫琅和费(Fraunhofer)衍射对腔的损耗作一粗略的估计。第二节光学谐振腔的损耗如果忽略掉第一暗环以外的光，并假设在中央亮斑内光强均匀分布，则射到第二个孔径以外的光能与总光能之比应等于该孔阑被中央亮斑所照亮的孔外面积与总面积之比，即描述由衍射所引起的单程能量相对损耗百分数d, 当衍射损耗不太大时，应与平均单程指

18、数损耗因子d,相等 221121010222()()20.611.2212aaLLwsaLawwssaLLLaa2211ddaLaNNL第二节光学谐振腔的损耗 N称为腔的菲涅耳数，即从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半周期带的数目(对平面波阵面面言)。N是衍射现象中的一个特征参数，表征着衍射损耗的大小。 在描述光学谐振腔的工作特性时,经常用到菲涅耳数这个概念。它是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数,也是衍射光在腔内的最大往返次数。 N愈大，损耗愈小。第二节光学谐振腔的损耗注: 根据半波带的理论（参见波带片），观察点光振幅取决于圆孔所含有的菲涅耳半波带的数目。如果

19、圆孔的半径为，圆孔与光源和观察点的距离分别为R和r0，波长为，则半波带数k为观察点的位置不同，r0不同，k数也不同。与k为奇数相对应的观察点处，合振幅最大；与k为偶数相对应的观察点处，合振幅最小。如果带数不是整数，则合振幅在上述最大值和最小值之间。这时，若将观察屏沿对称轴线移动，便可看到光强不断变化。根据半波带理论（参见波带片），2011()krR第二节光学谐振腔的损耗二、光子在腔内的平均寿命 初始光强为I0的光束在腔内往返M次后光强变为Im ：如果取c0时刻的光强为Io，则到t时刻为止光在腔内往返的次数m应为R R称为腔的时间常数，是描述光腔性质的重要参数当t= R R时，22m00I()m

20、mI eI e2 Lctm m000IRttLtccLI eI eI e0I( )/tIe第二节光学谐振腔的损耗 表明了时间常数R的物理意义经过R时间后，腔内光强衰减为初始值的1/e。愈大，R愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光强衰减得愈快。与n的关系?可以将R解释为“光子在腔内的平均寿命”。设t时刻腔内光子数密度为N，N与光强I(t)的关系为:V为光在谐振腔的传播速度，所以有 N0表示t=0时刻的光子密度，0( )( )RtI tNh vI tI e0( )RtN tN e第二节光学谐振腔的损耗上式表明： 由于损耗存在，腔内光子数密度将随时间按指数衰减 t=R时刻，衰减为N0的1/e; 在tt+d

21、t时间内减少的光子数目为这（-dN）个光子的寿命为t，若在经过dt时间后，将不在腔内。N0个光子的平均寿命为腔内光子的平均寿命R与腔的损耗有关， 损耗越小， R越大，腔内的光子的平均说明越长R0RtNdNedt_000011()()RtRRNtdN ttedtNN第二节光学谐振腔的损耗三、无源腔的品质因数Q值在无线电技术中，LC振荡回路、微波谐振腔、光学谐振腔是光频段电磁波、损耗的大小用品质出数Q来衡量。Q的定义式中E为储存在腔内的总能量，P为单位时间内损耗的能量，v为谐振频率，为角频率设光学谐振腔的体积为V，则总能量E=NhvV单位时间损耗的光能为2EEQvpp0RtdEdNphvVedtd

22、t 第二节光学谐振腔的损耗所以可见,腔的损耗愈小,Q值愈高。Q值高,表示腔的储能性好,光子在腔内的平均寿命长。四、无源腔的单模线宽由于光强与光场振幅的平方成比例,腔内光场的振幅为此光场表示为2RLQvc20( )RtA tA e20( )( )Rtj tj tE tA t eA ee腔的损耗越低， R越长，Q越高，vc越窄122cRcvVLQ由自然加宽知2RRvQvv 第三节光学谐振腔的稳定性条件 若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外,将这种谐振腔称为稳定谐振腔,简称稳定腔。反之,则称为非稳腔。 光学谐振腔的稳定性条件,其实质是研究光线在腔内往返传播而不逸出腔外的条件。 本节利用矩阵

23、光学分析方法,讨论共轴球面腔中光线往返传播的规律。在此基础上,推导出谐振腔的稳定性条件。第三节光学谐振腔的稳定性条件 一、光线传播的矩阵表示1）光线矩阵沿z轴方向传播的傍轴光线在某一给定横截面内的光线矢量r可以用此横截面内光线离轴线的距离r,以及光线与轴线之间的夹角来表征,将这两个参数构成的列阵称为光线在某一截面处的光线矩阵。并规定光线位置在轴线上方时r取正,反之取负;光线的出射方向在轴线上方时取正,反之取负。r r 第三节光学谐振腔的稳定性条件 2）变换矩阵光线 考察傍轴光线r1 通过一个光学系统后光线参数的变换规律。 1 11 11 1t ta an ns si in n 2 22 2r

24、r 2 21 11 11 12 21 11 11 1r rA Ar rB Br rA A B BC Cr rD DC C D D 在旁轴条件下1-0 ，则有 ， 所以出射光线参数与入射光线参数可表示为： 第三节光学谐振腔的稳定性条件 A A B BC C D D 2 21 11 11 12 21 11 11 10 0 1 1r rr rL Lr rL L 1 10 10 1L LL LT T 将 矩阵称为该光学系统的光线变换矩阵,它描述了光学系统对傍轴光线的变换作用。下面推导一些光学系统的光线变换矩阵。A.一段自由空间的光线变换矩阵TL所以2 21 1r rr r 1 11 11 11 11

25、12 21 11 12 22 2r rR Rr rR R B、球面反射镜的光线变换矩阵TR显然而 第三节光学谐振腔的稳定性条件 1 12 21 11 12 21 11 11 10 02 22 21 1r rr rr rr rR RR R 1 10 02 21 1R RT TR R 考虑符号， 所以有： R的符号：R为球面反射镜的曲率半径,对凹面镜R取正值,凸面镜R取负值1 12 21 12 22 21 11 12 21 11 11 11 1L LL L2 21 12 2f fr rr rL LL Lf fr rr rr r 1 10 01 11 1f fR RT T C.薄透镜的光线变换矩阵T

26、f由几何光学知所以第三节光学谐振腔的稳定性条件 D、谐振腔的等效周期透镜波导我们知道球面反射镜的焦距为R/2, 因此Tf和TR是完全等同的。即反射镜可看作是f=R/2的薄透镜。因此谐振腔的两端面镜可以看作薄透镜。第三节光学谐振腔的稳定性条件 3）在腔内往返传播的矩阵a）往返一次的光学变换矩阵到达镜M2 时光线参数为当光线在镜M2上反射时,反射光线参数为当光线再从镜M2 行进到镜M1 时,又有2 21 12 21 11 10 0 1 1L Lr rr rL LT T 3223222 23223222 21 12 21 1R RR RrrrrrrT T 4334334334331 10101L L

27、rrrrrrL LT T第三节光学谐振腔的稳定性条件 然后,又在镜M1 上发生反射 分别带入：5 54 44 41 15 54 44 41 11 10 02 21 1R RR Rr rr rr rT T 5 51 11 15 51 11 11 12 21 10 01 10 01 11 12 22 21 11 10 0 1 10 0 1 1R RR Rr rr rr rL LL LT T 1 12 22 22 21 12 21 11 11 10 01 10 0B B1 11 12 22 21 11 1D D0 0 1 10 0 1 1R RR RL LL L1 12 2L LR RR R2 22

28、 2L LL LL LR RR RR RR RR R2 2A AL LL LT TC C （1 1）（1 1）（1 1）（1 1L LR R 1 1）为傍轴光线在腔内往返一次时的总变换矩阵,称为往返矩阵第三节光学谐振腔的稳定性条件 b）往返传播n次的光学变换矩阵0000T.nnnnrrrTTT TT 个Tn为n个往返矩阵的乘积，由薛而凡斯特定理知道sinsin(1)sin1Tsinsinsin(1)sin1arccosA+D2nnnnnnABAnnBnCDCnDnnABCD式中（）n11n11nrrC rDnnnnAB经过 次往返传播后的光线参数共轴球面腔的往返矩T以及Tn 均与所考虑的初始出

29、发时的光线参数无关,因此可用于描述任意傍轴光线在腔内往返传播的行为 第三节光学谐振腔的稳定性条件 二、 共轴球面腔的稳定性条件 的rn和n取值大小，反映的是光线偏离 光轴能力的大小，即造成激光几何损耗的大小， 当其为有限值，即小于镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。我们讨论的取值情况：1）为实数 a. Tn为有限值的条件为Sin不为0不等于K 即带入A,Dn11n11rrC rDnnnnAB1 1acr cosADKacr cosADK2 21 11A1A2 2 （ ）（ D ）D ）11第三节光学谐振腔的稳定性条件 代入上式有:上式即为谐振腔的稳定条件.g1,g2为谐振腔的g参数b. Si

30、n=0, Tn为极大值即2 22121121221211212121211LLLLLLL11LLLLLLLA1A122RRRRRRR R22RRRRRRR RLLLL2(1)(1)12(1)(1)1RRRR（ D ）D ）=（=（11）（11）=1-=1-12121212LLLL0(1)(1)0g g0(1)(1)0g gRRRR 1 1或者即g g第三节光学谐振腔的稳定性条件 三、稳区图P56 tu2.16 所谓谐振腔的稳定性,只是指傍轴光线能否在腔内往返无限多次而不横向逸出,也就是指腔内傍轴光束几何损耗的高低,并不涉及在能产生振荡(即满足阈值条件)的条件下,腔的工作状态是否稳定这一问题。

31、稳定腔的几何损耗小,容易产生振荡。而非稳腔的几何损耗大,在中、小功率激光器中很少采用。但对增益较高的工作物质,它同样可以起振,并且也能稳定地工作。第四节 谐振腔的衍射积分理论 本节讨论用衍射理论推导腔内振幅和相位分布问题。一、 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分光的衍射理论基础： 惠更斯-菲涅耳原理。具体表述为:光波波前上的每一点都可以看成是新的子波源,从这些点发出球面子波,空间中某一点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果。基尔霍夫从数学上证明了惠更斯-菲涅耳原理是某种积分定理的近似形式。利用基尔霍夫积分定理,并作菲涅耳近似处理,可得到该原理的严格数学表达式,即菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式。公式表明,

32、如果知道了光波场在其所到达的任意空间曲面上的振幅和相位分布,就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。第四节 谐振腔的衍射积分理论 1）菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式式中,k为波矢的模2/ ;为源点(x,y)与观察点(x,y)之间连线的长度;为S面上点(x,y)处法线n与上述连线的夹角; ds为S面上点(x,y)处的面积元,积分沿整个S面进行( , )(,)(1cos)( , )(,)(1cos)4 4ikiks sikeikeu x yu xydsu x yu xyds 第四节 谐振腔的衍射积分理论 2）应用到谐振腔 设此谐振腔的反射镜具有任意形状和尺寸,坐标原点选在反射镜的中心

33、,z轴与腔轴重合。镜和镜上点的坐标分别表示为(x,y,z)和(x,y,z),两镜面上任意考察点P和P之间的距离为。镜上的光场分布函数为u 1 (x,y),则u 1 (x,y)经腔内一次渡越后在镜上生成的光场u 2 (x,y)应为 ( , )(,)(1cos)( , )(,)(1cos)4 4ikiks sikeikeu x yu xydsu x yu xyds 第四节 谐振腔的衍射积分理论 ( (, ,) )( (, ,) )i ik ks si iu u x xy yu u x xy y e ed ds sL L 1 11 1( (, ,) )( (, ,) )i ik kq qq qs s

34、i iu ux xy yu ux xy y e ed ds sL L 考虑到La, cosl， 被积函数分母可取近似L， 但在指数因子中不能用L 要根据不同腔形采取合理近似。当光场在腔内经q次渡越后，在镜面M2上的场uq+1(x，y)与镜面M1上的场uq(x，y)之间有类似的关系。第四节 谐振腔的衍射积分理论 二、自再现模所应满足的积分方程式光场经足够多次往返渡越后(相当q-)，则每次渡越时变化越来越小，最后镜面上的场分布将趋于稳定状态。继续传播时，镜面上的场分布应该自再现。这种特殊的稳定的场分布称为自再现场或腔的自再现模。对于对称腔情况，由“自再现要求”，两镜面上的场分布，除了相差一个与位置

35、坐标无关的复常数因子 (因而表示为振幅衰减和相位滞后)外，是完全相同的，因此自再现模的数学表达式为 1 11 1( (, ,) )( (, ,) )q qq qu ux xy yu ux xy y 第四节 谐振腔的衍射积分理论 并考虑对称腔有SiSiis用V(x,y)表示镜面上这一不受衍射影响的稳定场分布函数，则有 1 1( (, ,) )( (, ,) )i ik kq qq qs si iu ux xy yu ux xy y e ed ds sL L 1 1 ( (, , , , ,) )( (, ,) )( (, , , ,) ) ( ( , , ) )( (, , , ,) )s si

36、 ik kx x y y x xy yx xy yK K x xy yx xy yx xy yd ds si iK K x xy yx xy ye eL L 式中,K(x,y, x,y)称为积分方程的核称为谐振腔的衍射积分方程或光腔的本征方程。满足方程的任意一个函数v(x，y)称为光腔的本征函数，相应的常数为本征值，一个本征函数代表腔内一个自再现模(即横模)，表示在镜面上的一种场分布。一般而言，v(x,y)为复数，它的模|v(x,y)|描述镜面上的振幅分布，而辐角argv(x,y)则描述镜面上场的相位分布。第四节 谐振腔的衍射积分理论 三、 积分方程解的物理意义由于积分方程是二维的,故需要两个

37、模参数来区分这些不同的横模。本征函数一般为复函数,其模描述开腔镜面上光场的振幅分布;辐角则描述镜面上光场的相位分布。本征值也为复函数,其振幅和相位都具有直接的物理意义自再现模在腔内单程渡越所经受的平均相对功率损耗称为模的平均单程损耗,简称单程损耗。在对称开腔情况下,模的单程损耗为mnmnmn( , )( , , ,)( ,)vx yK x y x y vx y ds第四节 谐振腔的衍射积分理论 表明单程损耗随横模模式的不同而不同,并且|mn |愈大,模的单程损耗愈大。 mn 代表了自再现模在理想开腔中完成一次渡越时的总损耗,此损耗包括光束横向几何偏折损耗,同时也包括了衍射损耗。 以后将这类由谐

38、振腔的几何结构所引起的能量损失(不包括诸如腔内介质的吸收、散射等类型的损失)统称为衍射损耗。2221mn2mn|11|jjjuuu 第四节 谐振腔的衍射积分理论 自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为 为使自再现模在腔内形成稳定振荡,必须满足多光束相长干涉条件: 其在腔内往返一次的总相移为2的整数倍。因此,对称开腔自再现模的谐振条件为: 由此式可确定模的谐振频率。 可见,mn 的模度量自再现模的单程损耗,其辐角度量自再现模的单程相 移,从而也决定了模的谐振频率。j+1jmnmn1arguarguargmnmn1arg2第四节 谐振腔的衍射积分理论 对称开腔: 自再现模积分方程的本征函数决定了镜

39、面上不同横模光场的振幅和相位分布。 本征值决定了不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。 非对称开腔: 按光场在腔内往返一周才能自再现这一条件写出相应的积分方程。 此时,方程的本征函数解只能确定某一个镜面上的稳态场分布, 本征值的模表示自再现模在腔内往返一次的功率损耗, 辐角表示模往返一次的相移。第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模所满足的积分方程至今尚未得到精确的解析解: 本节首先给出矩形平行平面镜腔模式积分方程的具体形式, 然后介绍条形镜平行平面腔自再现模积分方程的数值迭代解法, 并根据计算结果分析条形镜平行平面腔自再现模的特征。第五节 平行平面腔的自再现模一、平行平面腔的模

40、式积分方程设矩形腔镜的边长为2a和2b,且a、b、L、之间满足如下关系:La,b将按(xx)/L, (y-y)/L的幂级数展开为：222222()()()()xxyyLxxyyL 2 22 22 22 22 22 22 24 44 42 22 2 ( ( ) )( ( ) )L L ( () )( () )1 1L LL L1 1 1 1 1 1 1 1 L L 1 1+ + ( () )( () )- - ( () )( () )2 2L L2 2L L8 8L L8 8L L1 1 - - ( () )( () ). . . . . . 4 4L LL Lx xx xy yy yx xx

41、xy yy yL Lx xx xy yy yx xx xy yy yx xx xy yy y 第五节 平行平面腔的自再现模当满足条件a2/L(L/a)2和b2/L0(arctan-arctan)-0ffffzzzz2222222222220 02222220 00 00 02 200000 0()()()()()()z-z =-z-z =-2R(z )2R(z )2(f +z )f2(f +z )f2(+z )2(+z )z zf fR(z )=+z R(z )=+z z zz xyxyxyz xyxyxy 第六节 对称共焦腔的自再现模 上式表明,共焦腔行波场的等相位面是以z轴为旋转轴的旋转抛

42、物面。 z00时,z-z00; z00,表明等相面是凹面向着腔中心的球面。由R(f)=2f=L可知行波场的等相面与共焦腔反射镜面重合。 由R(0),R(),可知共焦腔中心位置以及距中心无限远处的等相位面都是平面。 由R(z0 )=0,得z0 =f,可见共焦腔反射镜面是曲率最大的等相位面。第六节 对称共焦腔的自再现模4.远场发射角共焦腔的基模光束按双曲线规律从腔中心向外扩展,不同位置处光束的发散角不同。通常,将远场发散角定义为基模高斯光束的发散角:相应高阶模的远场发散角为理论计算表明,共焦腔基模光束的发散角具有毫弧度的数量级,其方向性相当好。由于高阶模的发散角是随模阶次而增大,所以多模振荡时,光

43、束的方向性要比单基模振荡差。200002122 ( )2limlim222zzzwfww zzzfLfw002121mnmn第六节 对称共焦腔的自再现模四、圆形球镜共焦焦腔圆形球面镜共焦腔的处理方法与方形镜相似,只是由于反射镜的孔径为圆形,因此采用极坐标系统(r,)来讨论。其模式积分方程的精确解析解是超椭球函数系,可以证明,当N足够大时,圆形球面镜共焦腔的自再现模为拉盖尔多项式和高斯函数的乘积 式中,Ln m ()为拉盖尔多项式2222cos( , )22sinosmrmmnmnnososmrrvrCLem第六节 对称共焦腔的自再现模 2 其各高阶横模TEMmn的场分布具有圆对称形式,m表示沿

44、辐角()方向的节线数目,n表示沿半径(r)方向的节线圆数目,各节线圆沿r方向不是等距分布的。3.高阶模的光斑随着m,n的增加而增大,但在圆形镜系统中光斑半径随n的增大要比随m的增大来得更快。m0m1m22m0L ( )1L ( )11L ( )(1)(2)2(2)2.()!()L ( )()! !()!knnkmmmmnmmkk nk 1.圆形球面镜共焦腔基模在镜面上的振幅分布仍然是高斯型的,与方形球面镜共焦腔情况类似。第六节 对称共焦腔的自再现模arg(1 /)arg()(21)arg(1 /)arg()(21)2 2mnmnmnmnmnmnKLmnKLmn 1 1(21)(21)2222m

45、nqmnqc cqmnqmnL L 2 2 q qc cL L 共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为所以谐振频率: 对于纵模对于横模: 1 12222221 12222q qm mnqnqc cL Lc cL L (21)2i kLmnmne与Vmn(r,)相应的本证值为：第六节 对称共焦腔的自再现模 单程损耗: 即所有自再现模的损耗均为零。这一结果是在N无穷的情况下得到的。可见，当N为有限(但不太小)时，拉盖尔-高斯近似虽然能满意地描述场分布及相移等特征，但却不能用来分析模的损耗。222mnmn11 |1 |1 |0mnmn 第六节 对称共焦腔的自再现模 只有精确解才能给出共焦模的损耗

46、与N及横模指标m和n的关系 福克斯和厉鼎毅用迭代法对圆形镜对称共焦腔模进行了数值求解。圆形镜共焦腔几个最低阶模的损耗如图所示。 与方形镜共焦腔模的损耗比较，当菲涅耳数相同时，它的损耗比方形镜腔类似横模的损耗要小几倍。第六节 对称共焦腔的自再现模行波分析:因此，对圆形镜共焦腔行波场特性的分析可按与方形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。222( , , )( )002( , , )( 2)()( )( )( )ermmimirzwzmnmnnwrrErzA ELzeeew zw zwz22000222z2z( )112( , , )(2

47、1)arctan2()4mnw zwwfLLfwzrzrzk fzmnfzf第七节 一般稳定球面腔的模式特征 共焦腔模式理论不仅能定量地说明共焦腔振荡模本身的特征，更重要的是，它能被推广到一般稳定球面腔系统，这一推广是谐振腔理论中的一个重大进展。 任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价。而任何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔。这里所说的“等价”，就是指它们具有相同的行波场。 这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔(共焦腔也是其中的一种)之间的内在联系，可以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔模的特征。第七节 一般稳定球面腔的模式特征 上述等价性是以共焦腔模式的空间分布，特别是其

48、等相位面的分布规律为依据的。根据式(2612)，与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为一、 等价共焦腔1）任意一个共焦球面(或抛物面)腔与无穷多个稳定球面腔等价。26节已经指明，如果我们在共焦场的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则共焦场将不会受到扰动。但这样，我们就做成了一个新的谐振腔，它的行波场与原共焦腔的行波场相同于任一共焦腔模有无穷多个等相位面，因而我们可以用这种方法构成无穷多个等价球面腔。 2( ) |()| |zffR zfzfzz第七节 一般稳定球面腔的模式特征 现在证明，所有这些球面腔都是稳定腔。等相位面cl，c2为例，注意到关于球面腔曲率半径R的

49、符号规定，对放置在cl，c2处的反射镜，应有不难证明：120(1)(1)1LLRR211112222221( )()()()fRR zzzfRR zzzLzz 第七节 一般稳定球面腔的模式特征2）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某个共焦腔意思是，如果某一个球面腔满足稳定性条件，必定可以找到一个而且也只能找到一个共焦腔，其行波场的某两个等相位面与给定球面腔的两个反射镜面相重合。第七节 一般稳定球面腔的模式特征 由上式可知,当满足稳定性条件0g1 g 2 0,这样就证明了等价共焦腔的存在性。并且此等价共焦腔由式唯一地确定。由于稳定球面腔的行波场与其等价共焦腔的行波场相同,因此,稳定球面腔的模

50、式特征可用等价共焦腔的模式特征来描述。22111212121122121212221212121222121212()(1)()()2()(1)()()2()()()(1)L()()(2)L RLLggzLRLRggg gL RLLg gzLRLRggg gL RL RL RRLg gg gfLRLRggg g第七节 一般稳定球面腔的模式特征二 一般稳定球面腔的模式特征1）镜面上的光斑半径第七节 一般稳定球面腔的模式特征2）模体积仿照共焦腔模体积的计算公式，一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为代入wos一般稳定球面腔中 模的模体积与基模模体积之比为式中，表示共焦腔中 模的模体积与基模模体积之比

51、第七节 一般稳定球面腔的模式特征3）单程损耗即腔的菲涅耳数等于镜面面积与镜面上基模光斑面积之比。根据共焦腔模式理论,每一个横模的单程损耗单值地由腔的菲涅耳数决定,也就是单值地由镜面面积与镜面上基模光斑面积的比值决定。波动光学原理表明衍射损耗的大小与孔径的形状和尺寸,以及入射光的具体性质有关。由于一般稳定球面腔与其等价共焦腔的行波场结构完全一样,并且反射镜与场的等相位面重合,因此,可认为它们的衍射损耗遵循相同的规律。即当222osaaNLw220220iissaaww第七节 一般稳定球面腔的模式特征时,两个腔的单程损耗应该相等。式中,ai 和a0 分别为稳定球面腔及其等价共焦腔的反射镜线度;wi

52、s 和w0s分别为稳定球面腔及其等价共焦腔镜面上的基模光斑半径。将22iiefsiaNw122221111211122112222222212221222211()()(1)|()()()(1)|()efsefsaaRL RRLagNg gwRL RLgaaRL RRLagNg gwRL RLg第七节 一般稳定球面腔的模式特征 根据有效菲涅耳数查共焦腔与N的关系曲线,分别得到两个反射镜上的单程损耗1mn 和2mn ,一般稳定球面腔的平均单程损耗为对方形孔径稳定球面腔，基模损耗还可以按式 00=10.910 -4.94N 计算，只须在其中以Nef替N。121()2mnmnmn第七节 一般稳定球面

53、腔的模式特征4）谐振频率方形镜稳定球面腔21121211(1) arctanarctan(1)arccos2 2 1(1)arccos112 mnqzzccvqmnqmng gLffLcLLqmnLRR21111222(0,0,)(0,0,)(0,0,)()(1)arctan4(0,0,)()(1)arctan4mnmnmnmnmnzzqzzk fzmnfzzk fzmnf第七节 一般稳定球面腔的模式特征同理,圆形镜稳定腔模的谐振频率为5)基模远场发散角方形1/422120212121/4212121212(2)2()()()(2)2(1)LRRL RL RL RRLggg gLg gg g1

54、2121(21)arccos2 1(21)arccos112 mnqcvqmng gLcLLqmnLRR第八节 高斯光束使用稳定腔的激光器所输出的激光将以高斯光束的形式在空间传播。本节主要研究高斯光束本身的特性,介绍高斯光束的q参数及其传输变换规律。这对于与激光束变换有关的光学系统的设计,以及光学谐振腔的工程设计都具有重要意义。一、 高斯光束的基本性质1基模的高斯光束22222()arctan2 ( )( )0000( , , )( )Rxyzk xyi kzzR zwzPhaseAmpCx y zeew z 222220002020( )1 ()1 ()( )11RRRwzzzw zwwR

55、zzzwzzzwz第八节 高斯光束 z R 为高斯光束的瑞利长度,上式可知, ,因此z R 表示从束腰到光斑半径增加到腰斑半径的1.414倍处的位置。在z=z R 的范围内,高斯光束可近似认为是平行的。实际应用中常称2zR为高斯光束的准直距离。 2.6节中已经对基模高斯光束的性质进行了详细讨论, 高斯光束既不是平面波,也不是一般的球面波,在其传输轴线附近可以近似看作是一种非均匀高斯球面波。 在传播过程中其曲率中心与曲率半径不断改变,其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性,强度集中在轴线附近,且等相面始终保持为球面。0()2Rw zw第八节 高斯光束2高阶高斯光束 在方形镜稳定腔中高阶高斯光

56、束是厄米-高斯光束,在圆形镜稳定腔中存在拉盖尔-高斯光束。1 ）厄米-高斯光束其横截面内的场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定,沿x方向有m条节线,沿y方向有n条节线,光斑半径分别为222( )22( , , )( )( )( )22()(1)arctan2 ( )xywzmnmnmnAMPCx y zHx Hy ew zw zw zzk xyi kzmnzR zRePhase 第八节 高斯光束沿传输轴线相对于几何相移的附加相位超前为2）拉盖尔-高斯光束222( )2cos22( , , )sin( )( )( )2(21)arctan2 ( )rmnmwzmnmnnAMPPhasemCrz

57、rLremw zw zwzzkri kzmnzR zRe ( )21 ( )( )21 ( )mnwzmw zw znw z(1)arctanzmnzRm n 第八节 高斯光束 横向场分布由上式中的振幅因子决定,沿半径r方向有n个节线圆,沿辐角 方向有m根节线,光斑半径( )21 ( )mnwzmnw z0( )21mnzmn21arctanmnRzmnz远场发散角附加相移均随m、n的增大而增大，随n变化更快第八节 高斯光束二、 高斯光束的q参数 若已知高斯光束w0 (或z R )的大小及其位置,则可由式(2.161)确定与束腰相距z处的w(z)以及R(z),从而由式(2.160)得到空间任意

58、一点处场的强度,整个高斯光束的结构也就随之确定下来。同样,若已知坐标z处的w(z)及R(z),则可反过来决定高斯光束腰斑的大小和位置,从而确定整个高斯光束的结构。因此,称这两组参数为高斯光束的特征参数,已知其中任何一组都可确定高斯光束的具体结构 第八节 高斯光束/ /1 1i ik ki ik k 22222 2xyxyikike e 振幅相指数相乘上 提出定义一个复参数则上式：22222222222()arctan2 ( )( )0000()arctan22 ( )( )00( , , )( )( )RRxyzk xyi kzzR zwzxyzk xyi ki kzzR zwzCx y ze

59、ew zCeew z2221arctan2( )( )0000( , , )( )Rxyzikii kzR zzwzCx y zeew z22arctan2 ( )0000( , , )( )Rzxyi kzikzq zCx y zeew z211( )( )( )iq zR zwz第八节 高斯光束已知沿z轴传播的球面波在远离源点的近轴区(即满足zx,y)可近似写成比较以上两式可知,参数q(z)相当球面波的曲率半径R,因此称q(z)为高斯光束的复曲率半径,简称q参数。q(z)将w(z)和R(z)统一起来,已知坐标z处的q(z)可求出该位置处的w(z)和R(z)以表示腰斑处（即处）的参数值，则可

60、得上述三组参数都可用来表征高斯光束，但通过下面讨论可知，利用 参数研究高斯光束的传输变换规律将更为简便。222222111( , , )xyxyik zik zzRikRU x y zeeeRRR21111ReIm( )( )( )( )R zq zwzq z 02oRwqiiz第八节 高斯光束三、 高斯光束q参数的变换规律1普通球面波曲率半径R的变换规律 1）：普通球面波在自由空间的传播规律2）普通球面波经过薄透镜的变换规律第八节 高斯光束3）.普通球面波的ABCD定律第八节 高斯光束上式称为球面波的ABCD定律,描述了球面波通过光学系统时R的变换规律。2 高斯光束q参数的ABCD定律1）高