1994考研数三真题及解析

1、1 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.把答案填在题中横线上.） 已知 f(x) = 1,则 lim x 叮(X0 - 2x) - f(X0 - x) 设方程exy + y2 = cosx确定y为x的函数，则孚= - 0 a1 0 L 0 0 0 a2 L 0 设A = M M M M ,其中 a #0,i =1,2,L ,n,则 A- 0 0 0 L an an 0 0 L 0 _ （5）设随机变量X的概率密度为 2x, 0 ： x : 1, f（x）= ， u ， ,其他， 1 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件 X

2、弓1、出现的次数，则pY = 2 = 2 、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .） （A） 发散 （B） 条件收敛 （C） 绝对收敛（D） 收敛性与九有关 设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B = AC的秩为r1，则 (A) r 1 ,只有一项符 (1)曲线 y = (A) 1 条 1 2 , T x x 1 . ex arctan - 的渐近线有 (x 1)(x-2) (B) 2 (C) 3 O0 Q0 设常数舄0,而级数z a；收敛，则级数Z （-1）n n 1 n m 条

3、an I .n2 (D) 4 (B) 2 (C) r =r (D) r与r的关系由C而定 3 (本题满分 6 分) 计算二重积分 JJ(x + y)dxdy,其中 D =(x, y) x2 + y2 M x + y+1. D 四、(本题满分 5 分) 五、(本题满分 5 分) = x2arctan-y2arctan=求旦 x y cxy 六、 (本题满分 5 分) 设函数 f (x)可导，且 f (0) = 0,F (x) =tnf (xn tn)dt,求 lim 旦副. x x 七、 (本题满分 8 分) 已知曲线y=ajx(a0)与曲线y=ln衣在点(A, y0)处有公共切线，求: (1)

4、常数a及切点(x0,y0)； （2）两曲线与X轴围成的平面图形绕 X轴旋转所得旋转体的体积 Vx. 设 0 P(A) 1,0 P(B) 1,P(A B) + P(AB)=1，贝U () (A)事件A和B互不相容 (B) (C)事件A和B互不独立 (D) (5)设XI,X2,L ,Xn是来自正态总体 事件A和B相互对立 事件A和B相互独立 N(H,。2 )的简单随机样本，X是样本均值，记 n 一 S2 =r u -X)2, n -1 j 2 1 n 2 S2 = (Xi - J)2, n -1 i n 一 S2 一 (Xi -X)2, n i4 c 1 n c S2 = (Xi 一 J)2, n

5、 i 4 则服从自由度为n -1的t分布的随机变量是 (A) t = (B) .n -1 (C) t S3 n (D) S4 n 设函数y = y(x)满足条件 J_y 4y 4y = 0, y(0) =2,y(0) =-4, 求广义积分 0 y(x)dx. 已知f(x, y) X - 4 八、（本题满分 6 分） 假设f （x）在a,危）上连续，f“（x）在（a,危）内存在且大于零，记 F（x）二%*（x.a）, x - a 证明F （x）在（a, e）内单调增加. 九、（本题满分 11 分） 设线性方程组 2 3 x1 a1x2 31x3=3, 2 3 x a?x2 a?% = a?, 2

6、 3 xi 启3乂2 a3 =a3, 2 3 x1 a4x2 q x3 = a4. 证明：若ai,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解; （2）设a1 = a3 = k,a2 = a4 = k（k尹0）,且已知 用，舄是该方程组的两个解，其中 写出此方程组的通解 十、（本题满分 8 分） 0 0 1 设A= x 1 y有三个线性无关的特征向量 ，求x和y应满足的条件 ：1 0 0 一 十一、（本题满分 8 分） 假设随机变量 X1,X2,X3,X4相互独立，且同分布 PXj =0=0.6尸仅=1i=0.4（i =1,2,3,4） . . X1 X2 求行列式X = x X的概率分布.

7、 十二、（本题满分 8 分） 假设由自动线加工的某种零件的内径 X（毫米）服从正态分布 N（P,1）,内径小于 10 或 大于 12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损.已知销 售利润T （单位：元）与销售零件的内径 X有如下关系： -1, X 10, 5 T = 20, 10 壬 X 1时收敛；当p1时发散.) nd np QQ 所以Z 1an2 十二收敛，由比较判别法，得 nd2 2n2 nm (-2也| Jn2 +L 收敛. 故原级数绝对收敛 ,因此选(C). k =0,1, ,n, 、选择题 【答案】 【解由于 【解析】由公式 9 从而r(AB) =r

8、(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩 ，所以选(C).10 (4) 【答案】(D) 【解析】事实上，当0P(B)1时，P(A|B) = P(A|B)是事件A与B独立的充分必要 条件，证明如下： 若 P(A|B) = P(A|B),则 P(AB) _P(B)P(AB) =P(B)P(AB), P(AB) = P(B) P(AB) P(AB) = P(B)P(A), 由独立的定义，即得A与B相互独立. 若A与B相互独立，直接应用乘法公式可以证明 P(A| B) = P(A|B). P(A|B)=1 P(A|B) =P(A|B). 由于事件B的发生与否不影响事件 A发生的概率，直观上可以判断

9、A和B相互独立. 所以本题选(D). (5) 【答案】(B) 【解析】由于X1,X2，Xn均服从正态分布N(P,B1 2)，根据抽样分布知识与t分布的应 用模式可知 X * N(0,1), ，n 1 7 - 2 - . (Xi -X)2 n(n-1)i/ i 7 因为t分布的典型模式是：设X : N(0,1), 丫 ： 72(n),且X,Y相互独立，则随机变量 X . T 服从自由度为n的t分布，记作T ：t(n). 、Y/n 因此应选(B). 三、(本题满分 6 分) 1 2 1 2 3 【解析】万法1:由x +yx+y+1,配完全方得.x-一 +,y-一 一. 2 / 2 2 P(AB)

10、P(AB) P(B) 一1 -P(B) - X)2 2(n -1), X - 土 n n -1 i -i 11 X - 1Z - n -1 :t(n -1). 12 = rsin6，引入极坐标系(r,6),则区域为 I 一一一 13 I = Hr,8) 0 崩2 a J i V2 d 2 (1 r cos r sin ” rdr 一 (COST sin”d 13. 2二 3 :一 -sin - COST 0 = 2 一 . 方法2：由x2+y2x + y+1,配完全方得 -1 一 y y 2 / 2 2 1 1 . . 引入坐标轴平移变换： u =x- ,v= y -,则在新的直角坐标系中区域

11、 D变为圆域 2 2 _ 2 2 3 Di = (u,v)|u v 一2 . 而x+y =u +v+1，则有dxdy =dudv,代入即得 I i(x y)dxdy 二 (u v 1)dudv 二 ududv 一 11 vdudv 一 11 dudv - 3 故 (x y)dxdy = 2 四、(本题满分 5 分) 【解析】先解出 y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程 ，用特征方程法求解. 方程y + 4y+4y =0的特征方程为 九2 +4九+ 4 = 0 ,解得= = -2 . 故原方程的通解为 y=(C1 C2x)ex. 由初始条件 y(0) =2, y(0) = 4 得 C1 =2

12、,C2=0,2 二 ii(x y)dxdy = D - 2 二 du Di Di Di Di 由于区域D1关于v轴对称，被积函数 u是奇函数，从而JJududv=0. Di 同理可得 JJvdudv=0,又 Di 一 3 dudv = D=一兀， 2 Di 13 因此，微分方程的特解为 C -2x y = 2e . 再求积分即得 七 勺。2x. 0 y(x)dx=0 2e?dx =lim exd(2x = lim _ex =1. b_c b f J 灯 0 【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程 y + py + qy = 0 ： 首先写出方程y+py + qy= 0的特征方程：

13、2 + pr+q=0,在复数域内解出两个特 征根ri,r2 ； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根ri,r2,则通解为y = Ge*1十C2e2X; (2) 两个相等的实数根r1 = r2，则通解为y = (C1 + C2x )e%; (3) 一 对共轴复根 ”=10,则通解为 y =“(C1 cosPx + C2 sin Px). 其中CI,C2为常数. 五、(本题满分 5 分) :f ,首先求 f,由题设可得 :x 有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f (甲(x, y), (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有

14、 【解析】由复合函数求导法 立=2xarctan x y2 1 x y VI y 再对y求偏导数即得 c , y = 2xarctanN- 2 2 2 2 x x2 y2 x2 y2 c , y =2x arctan - y . x -2 :f 2x2 2x 1 , 仁京亍一1 2 2 x y 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u =%x, y), v=W (x, y)都在点(x,y)具 14 :z .:z .:u .:z .:v U -v = + = f + f2 ； :x ：u ； x : V : x : x : x :z ：z ju :z .:V -u V = =f1 f2

15、.y :u :y :v :y 六、(本题满分 5 分) 【解析】运用换元法，令X。一尸=u ,则 X 1 1 xn F(x) = gtnJLf (xn tn)dt = J。f (u)dunF(x) = xnf(xn). 由于|im F(x)为“ 0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，运用洛必达 x。x 。 法则，可得 .F(x) F (x) xnf(xn) 如。2n =忡 2n=仰。 2nJ x。x x，2nx x P 2nx 1 f(xn) 1 f(xn)-f(0) =lim n=lim - n - , 2nx 0 x 2nx。 x -0 由导数的定义，有 原式=f (0).

16、2n 旬关知识点 E 积分上限的函数的求导公式： 户(t) - 若 F(t) = j f (x)dx, (t) , P(t)均一阶可导，则 -:(t) F (t) = (t) f(t) 1- ： (t) f(t)l. 七、(本题满分 8 分) 【解析】利用(x。, y。)在两条曲线上及两曲线在 (x。, y。)处切线斜率相等列出三个方程 ，由此, 可求出a,x,y。，然后利用旋转体体积公式 兀f f2(x)dx求出Vx. a (1)过曲线上已知点(sy。)的切线方程为y y。=k(x x。)，其中，当y(x。)存在时， k = y (x。). 由 y = a jx知 y = -.由 y = I

17、n jx 知 y = -. 由于两曲线在(x,y。)处有公共切线，可见一 =,得乂。=2. 2：.； x。 2xo a15 将& = 分别代入两曲线方程，有y。= ajf = ln 1 1 2 a = , x。= 2 e , e a (2)将曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差 旋转体体积为 2 2 2 e 1 2 e . 2 2 e 2 Vx =二 (一x) dx ；： ! (In、x) dx = e - In xdx 。e 1 2 4 1 b 2 V =二 f (x)dx. a 八、(本题满分 6 分) 【解析】方法 1： 55阻=土 fga)* S, (x) = f (x)(x

18、 -a)f (x) f (a)(x a), (x) = f (x)(x a) f (x) f (x) = (x a) f (x) 0( x a), P(x)在(a, E)上单调上升，于是x)中3) =0 . F(x)W. gJ = f ( ),(a：x). xa 1 F (x)=f (x)-f (). x - a 由f (x)0知f (x)在(a,E)上单调增，从而f(x)A f(勺，故F(x) 0. 于是F(x)在(a, E)内单调增加 ,套用旋转体体积公式，可得 1e2、xln2xe2 2 4 J 1 e2 -21lnxdx : 2 =e 2 2 e 31 x 2 1 JT 【相关知识点】

19、由连续曲线 y = f (x)、直线x = a,x = b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋 转一周所得的旋转体体积为: 所以 F(x)在(a, e )内单调增加. 方法 2： F (x)= f (x)(x -a) -Lf (x) - f(a) 1 1 2 = f (x)- x a x a _ f(x) f(a) x 一 a 由拉格朗日中值定理知 于是有 16 【相关知识点】1.分式求导数公式： 巴=uv；uv E v2 2.拉格朗日中值定理：如果函数 f (x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b )内至少有一点E(a&b),使等式f (b) f (a) = f

20、(顷b a)成立. 九、(本题满分 11 分) 【解析】(1)因为增广矩阵 A的行列式是范德蒙行列式，a1,a2,a3,a4两两不相等，则有 A = (a2 - ai)( a3 ai )( a4 - a1 )( a3 - a2 )(a4 - a2 )(a4 - a3) , 0 , 故 r(A)=4 .而系数矩阵A的秩r(A)=3，所以方程组无解 (2)当a1 = a3 = k, a2 = a4 = -k(k孝0)时，方程组同解于 |x1 kx2 k2x3 = k3, , ,2 , 3 x1 -kx2 k x3 = -k . 1k 因为 =2k 尹 0,知 r(A) = r(A) =2. 1 -

21、k 由nr(A)=3-2=1，知导出组Ax=0的基础解系含有 1 个解向量，即解空间的维数 为 1. 由解的结构和解的性质， -1 1 -2 n =氏一 E2 = 1 - 1 |= 0 是Ax = 0的基础解系 LJ L-d L2 -1 -2 于是方程组的通解为 01+商=1 + k 0 ，其中k为任意常数 _1_2 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m 乂 n矩阵，线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A = ( A：b )的秩，即r(A) = r (A).(或者说，b可由A的列向量 气户2 ,%线表出，亦 等同于,0(2，c(n与,口

22、2，c(n,b是等价向量组) 设A是mn矩阵,线性方程组Ax=b,则17 (1) 有唯一解 r(A) = r (A) = n. (2) 有无穷多解 r(A) = r(A) ： n. (3) 无解 r(A) 1 =r(A). u b不能由A的列向量 %,%“ On线表出. 2. 解的结构：若电、a2是对应齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系，知Ax = b的通解形 式为ki=+k2%+V其中七是Ax =0的基础解系，匕是Ax=b的一个特解. 3. 解的性质：如果 ,“2是Ax = 0的两个解，则其线性组合 kif十k22仍是Ax = 0的 解；如果 匕是Ax =b的一个解，n是Ax = 0的一

23、个解，则+n仍是Ax = b的解. 十、（本题满分 8 分） 【解析】由A的特征方程，按照第二列展开，有 -1 、 % 1 、 2 y =(舄1) =(舄一1)2(舄+1)=0， 1九 得到A的特征值为 褊=一2 = 1, A3 = -1 . 由题设有三个线性无关的特征向量 ，因此，九=1必有两个线性无关的特征向量 从而r（E -A） =1.这样才能保证方程组（E -A）X = 0解空间的维数是 2， 即有两个线性无关的解向量 . 由初等行变换，将E - A第一行加到第三行上，第一行乘以x后加到第二行上有 -、1 0 -1 一1 0 -1 1 E A = -x 0 _y T 0 0 x y - 1 0 1 一 ： 0 0 一 由r（EA）=1,得 x和y必须满足条件 x十y=0. （本题满分 8 分） 【解析】记Y =XX4，E =X?X3，则X =Y-E，随机变量丫1和E相互独立且同分布 由A与B独立可得出P(AB) = P(A)P(B)，故 九 0 X.E A = x 舄1 1 0 18 P =1； = ?汶状4 =1 =PX =1，X4 =1 = PX