(推荐)_定积分的背景——面积和路程问题

1、(推荐)_定积分的背景面积和路程问题第四章 定积分1 定积分的概念1.1 定积分的背景面积和路程问题以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？ 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的面积，这些图形都是由直线段围成的. .那么，如何求那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题决的问题. . 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用的应用. .本节我们将了解定积分的实际背景；借助几

2、本节我们将了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念概念. .1.1.了解定积分的实际背景了解定积分的实际背景. . 2.2.理解理解“以直代曲以直代曲”“”“无限分割无限分割”的思想，初步掌握的思想，初步掌握求曲边梯形面积的求曲边梯形面积的“三步曲三步曲”“分割、求和、近分割、求和、近似估值似估值”. .（重点重点）3.3.了解了解“误差估计误差估计”的方法的方法. (. (难点难点）)(xfyxoy 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形称这

3、样的平面图形为曲边梯形. .ab曲边梯形定义：曲边梯形定义： 我们把由直线我们把由直线 x = ax = a，x =b (ab)x =b (ab)， y = 0y = 0和和曲线曲线y = f (x) y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形所围成的图形叫作曲边梯形. .探究点探究点1 1 曲边梯形的定义曲边梯形的定义对曲边梯形概念的理解：对曲边梯形概念的理解：（1 1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形图形. .（2 2）曲边梯形与）曲边梯形与“直边图形直边图形”的主要区别在于前者的主要区别在于前者有一边是曲线段而有一边是曲线段而“直边图形

4、直边图形”的所有边都是直线的所有边都是直线段段. .探究点探究点2 2 估计曲边梯形的面积估计曲边梯形的面积 我们曾经用正多边形逼近圆我们曾经用正多边形逼近圆的方法的方法 ( (即即“以直代曲以直代曲”的思想的思想) ) 计算出了圆的面积，能否也用直计算出了圆的面积，能否也用直边形边形( (如矩形如矩形) )逼近曲边梯形的方逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？法求阴影部分的面积呢？2xy 问题问题1 1 图中阴影部分是由抛物线图中阴影部分是由抛物线 ，直线，直线以及以及 x x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积的面积 s s . . 1xxo

5、y11x1sxoy1分析分析 首先，将区间首先，将区间00，1515等分，如图所示等分，如图所示. .4 4 . 0 2 . 0 ) 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 (2 2 2 2 21 s 图图 (1) (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为中，所有小矩形的面积之和（记为s s1) )显显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称然大于所求的曲边梯形的面积，我们称s s1为为s s的过剩的过剩估计值，有估计值，有1s（1 1）1sxoy1 图图 (2) (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和中，所有阴影小矩形的面积之和( (记为记为s s1 1) )显然小于所求曲边梯形的面积，我

6、们称显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s s1 1为为s s的不足的不足估计值，有估计值，有2 4 . 0 2 . 0 ) 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 (2 2 2 2 21 s385.01 .0)12 .01 .0(2222s. .（2 2）1sxoy1思考思考：我们可以用我们可以用s s1 1或或s s1 1近似表示近似表示s s，但是都存在，但是都存在误差，误差有多大呢？误差，误差有多大呢？提示：提示：二者之差为二者之差为s s1 1-s-s1 1=0.2=0.2如图如图(3)(3)中阴影所示，无论用中阴影所示，无论用s s1 1还是用还是用s s1 1来表示曲边

7、来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过梯形的面积，误差都不会超过0.2.0.2.（3 3）1sxoy1(4) 为了减小误差，我们将区间为了减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为285. 01 . 0)9 . 02 . 01 . 00(22222s36.02.0)18.06.04.02.0(16.02.0)8.06.04.02.00(3333333333不足估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为s s2 2-s-s2 2=0.1=0.1，此时，无论用，此时，无论用s s2 2还是用还是用s s2 2来表示来表示s s，误差都不超过，误差

8、都不超过0.1.0.1.结论：结论：区间分得越细，误差越区间分得越细，误差越小小. .当被分割成的小区间的长度当被分割成的小区间的长度趋于趋于0 0时，过剩估计值和不足估时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积计值都会趋于曲边梯形的面积. . . .练一练：练一练： 求曲线求曲线y=xy=x3 3与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差形的面积的估计值，并写出估计误差. .（把区间（把区间00，1 51 5等分来估计）等分来估计）解析解析 把区间把区间 00，11 5 5等分，以每一个小区间等分，以每一个小区间左右端点的函数

9、值作为小矩形的高，得到不足左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值估计值 和过剩估计值和过剩估计值 ，如下：，如下：2 4 . 0 2 . 0 ) 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 (2 2 2 2 21 s4 4 . 0 2 . 0 ) 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 (2 2 2 2 21 s2 4 . 0 2 . 0 ) 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 (2 2 2 2 21 s) 50 (2510)(2ttttv4 4 . 0 2 . 0 ) 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 (2 2 2 2 21 s4

10、 4 . 0 2 . 0 ) 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 (2 2 2 2 21 s2 4 . 0 2 . 0 ) 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 (2 2 2 2 21 s估计误差不会超过估计误差不会超过 - =0.2- =0.2探究点探究点3 3 估计变速运动的路程估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度已知匀速运动物体的速度v和运动的时间和运动的时间t, ,我们可以求出它走过的路程我们可以求出它走过的路程s=vt, ,那么如何求非那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？匀速运动的物体走过的路程呢？问题问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛

11、踩刹车，想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：（单位：m/s)是时间是时间 t 的函数：的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的请估计汽车在刹车过程中滑行的距离距离 s .)(5 51) 4 () 3 () 2 () 1 () 0 (1mvvvvvs分析：分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v v(0)=25(0)=25m/sm/s, ,我们可以用这个速度来近似替代汽车在我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：这段时间内的平

12、均速度，求出汽车的滑行距离：s s=25=255=125(m)5=125(m)但显然，这样的误差太大了但显然，这样的误差太大了. .为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离来估计滑行距离. .首先，将滑行的时间首先，将滑行的时间5s5s平均分成平均分成5 5份份. .我们分别用我们分别用v v(0),(0),v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4) (4) 近似替代汽近似替代汽车在车在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出滑

13、行距离度，求出滑行距离s s1 1：)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs由于由于v v是下降的，所以显然是下降的，所以显然s s1 1大于大于s,s,我们称它为汽我们称它为汽车在车在5 s5 s内滑行距离的过剩估计值内滑行距离的过剩估计值. .用用v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4),(4),v v(5)(5)分别近似替代汽车分别近似替代汽车在在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出汽车在度，求出汽车在5s5s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：1s)

14、( 2 511ms s 不论用过剩估计值不论用过剩估计值s s1 1还是不足估计值还是不足估计值 表示表示s s，误差都不超过：误差都不超过：) ( 2 511ms s ) ( 1 2 5. 4 85 . 0) 5 . 4 ( ) 4 () 1 ( ) 5 . 0 ( ) 0 ( 2mvvvvvs要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.10.1？为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均

15、值，其用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小速度误差就越小. .比如，将滑行时间比如，将滑行时间5s5s平均分成平均分成1010份份. .用类似的方法得到汽车在用类似的方法得到汽车在5s5s内滑行距离的过剩估内滑行距离的过剩估计值计值s s2 2：)(625.355 . 0)5()2()5 . 1()1()5 . 0(2mvvvvvs结论结论 滑行时间等分得越细，误差越小滑行时间等分得越细，误差越小. .当滑行时间当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于被等分后的小时间间隔的长度趋于0 0时，过剩估计值时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程和不足估计值就趋于汽车滑行的

16、路程. .)(5.1 26 2 5.3 51 2 5.4 822mss2s汽车在汽车在5s5s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：无论用无论用s s2 2还是还是 表示汽车的滑行距离表示汽车的滑行距离s s，误差都不超过，误差都不超过抽象概括抽象概括 前面，我们通过前面，我们通过“以直代曲以直代曲”的逼近方法解决了求的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求路程逼近所求路程所分区间长度所分区间长度趋于趋于 0 估计值趋于所求值估计值趋于所求值 1. 1

17、. 在在“近似替代近似替代”中，函数中，函数f(x)f(x)在区间在区间x xi i,x,xi+1i+1上上的近似值等于（的近似值等于（ ）a.a.只能是区间的左端点的函数值只能是区间的左端点的函数值f(xf(xi i) )b.b.只能是区间的右端点的函数值只能是区间的右端点的函数值f(xf(xi+1i+1) )c.c.可以是区间内的任意一点的函数值可以是区间内的任意一点的函数值f(f(i i) )（i ix xi i,x,xi+1i+1）d.d.以上答案均正确以上答案均正确解析解析 以直代曲，可以把区间以直代曲，可以把区间x xi,x,xi+1上的任意一点上的任意一点的函数值的函数值f(f(

18、i) )（ix xi,x,xi+1）作为小矩形的高）作为小矩形的高. .c c2.2.已知自由落体的运动速度已知自由落体的运动速度v=gtv=gt，则估计在时间区，则估计在时间区间间0,60,6内，将时间区间内，将时间区间1010等分时，物体下落的等分时，物体下落的距离的估计值可以为（距离的估计值可以为（ ）a.14g b.15g c.16g d.17ga.14g b.15g c.16g d.17g解析解析 由其过剩估计值与不足估计值分别为由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g19.8g、16.2g16.2g，则估计值应在，则估计值应在16.2g,19.8g16.2g,19.8g之间之间. .d d3.3.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为为v(t)=t+2v(t)=t+2，估计该物体在区间，估计该物体在区间0,20,2内运动的内运动的路程路程. .若将区间若将区间1010等分，则其不足估计值为等分，则其不足估计值为_._.解析：把区间解析：把区间0,20,21010等分，取小区间的左端点等分，取小区间的左端点的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值为：为：s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.