2017年数三真题与解析

1、 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的 在处连续，则( ) (B) ab 二-! (Dab = 2 _ r 1COS血 仁 5* 1 1 lim - = lim = /.* f (x) * - bab- 【解析】 顽中 ax 5 孙 2a 在1= 0处连续 & 2 (2)二元函数 z = (3-x-y)的极值点() (A) (B) - : (C) (D) I 【答案】D 由AC-B: 0丸1.(1J)为极仇点选D (3)设函数加可导加对则() (A) 一 (B) 品邛忡 7)(

2、1)若函数 (g 二: (C)ab = 0 【答案】A 1 - cos 也 ax btx “ j毛=1 伯=0 同= 二工)=0 Hi - =1 ex ez - - x 7 2x 户 (C) 【答案】C v/W/(x)0(; 【解析】 |7(力0 I / U) *拦1 iic (5)设出是?！维单位列向量，E为H阶单位矩阵，贝u( (B) E+aa不可逆 选项B,由 恤)妇得淑 的特征值为n-1个0,1.故2 + 5/的特征值为n-1个1, 2.故可逆. 【解析】由QE顼=。可知A的特征值为2,2,1.，所以选C。 (A) (C) 【答案】 E+2奶不可逆 (D) 2血不可逆 【解析】 选项

3、A,由(Ea)a二一仁=0得(富依矿)7 = 有非零解，故 -|= 0 2 0 0 2 1 A = 0 2 1 B 0 2 (6)已知矩阵 0 0 1_ 0 0 (A) A与C相似，B上 亍C相似 0- 1 0 0- 0 C = 0 2 0 1 0 0 2 ,则 (C) A与C不相似，B与C相似 【答案】B (B) A与C相似，B与C不相似 (D) A与C不相似，B与C不相似 其它选项类似理解 0 2 0 因为3-rQE-R二1, A 可相似对角化，且 I。 2/ 因为3r（2EE） = 2 , B不可相似对角化，显然 C 可相似对角化, U，且B不相似于C. 设0、从。为三个随机事件，且 与

4、。相互独立，E与U相互独立，则 J4U5与U相 互独立的充要条件是 （A） 相互独立 （B） 与a互不相容 （C） A8与。相互独立 （D） AB与C互不相容 【答案】C 【解析】 P|(JUK ； =：JUff；/3Kl O PJCU BC) = (JXD + AB)P( C) Q P(AC) + P(SC)- P(ABC) = PA)P(C) + F(BP(C-P(.4B)F(C) o P( AP(C PlB)P(C)- P( ABC J = P( A C)+ Pi BPC) - AB)P(C ) 故与。相互独无. _ 1 * , 玄二 x， (8)设*.-&(於2)来自总体N(低

5、1)的简单随机样本，记 秘心 ,则下列 结论中不正确的是： (A) 服从，分布 (B) 2(& J服从矿分布 (C) iL 服从/分布由I花-止。 可知B特征值为2,2,1. （D） 服从F分布 【答案】B 【解析】 应狄如）,备一北汨（0） 停（立死确 nQT）爬二（备-打C正确， i-i n 亮顷3土）、扁（X-心-狄0,1）/方-）* ,。正确, n n-芍 N（0,2）,（芯;孟） /（1）,故B错误. 由于找不正确的结论，故 B符合题意. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。 - 【解析】 （ii）设生产某产品的平均成本 如）T+，其中Q为产量,则边际成本为 【解

6、析】L，=01十）广0） = 1+ （12）设函数了优y）具有一阶连续偏导数，且 4f(xry)=ydx+x(l+yyyJM 二 0(sir? x +-U)dx二 （10）差分方程 的通解 z= 【解析】由1；初一 2吟：=2n A 2 = 0 n A = 2二,=C2T I ( ( F gr V： -C,f2r,则 G（1）r + cr 代入原方程得 = V. = - /2r =!= E -I MK . f （、/?） 则一 * - 【解析】f* = - v(l + =niel +( )故 囚此/(V)= 0.即(V)=C 可由/(QO) = 0. f(xty)-xyv 1 （13）设矩阵

7、而,Adt如了的秩为 口W的为线性无关的3维列向量组，则向量组 【解析】由知%】4线性无关，可知矩阵 外质耳可逆，故 3%妈，俱）=凶/，务淄）=W）再由Wi = 2得r（.g,饱，）=2. （14）设随机变量X的概率分布为 2）2 ,】TwPX=3 =，若 -H- 57=0 【解析】 Fhfi-*ttW+a+b =再由E = 0 H2x+1 + A+36 -七故ET*- -2)，+巳！+3*- - 9 DX EX- - EX f - 9 4 f 2 4 4 2 2 三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 XTO1 (15)求 JIT/ lim d【解析】

8、| Um A KJ -)=由* x-t =tt t 则 H 77 &=-J y/iie1 *WH = ( 4ii” ”如 f fue ivdti 原式=hm fQ 二 lim L if 一广 【解析】 limy -yin 1+- (17) 求 I i. t- i i i Imi 顶ln(l+-) = l 对n(l + 4)心=-lnCl + 【解析】EJUE JO 2J - LIX)=- . -. - L （18）已知方程” +孙 X 在区间内有实根，求k的范围. 、 (ln(l + x);(l + x)-x xe(O.j) f (A)二._； - ； - 0 r (l+x)ln (1

9、+x) 故单调述5鼎IL f(i) = 1A- In 2 . E , A* - ln( 1 + x) *- 3” Inn j (x)=um( - - Jt) = um * i * *lnU*x) M* x EH粗宜.可技l In 2 即S In2-b2 2ln2 Jtz-(2*ln2)fc+(l 1D2)*)2 - 1 I . j r)dhr= 1+x* + x 1 + x* 4 y (1+Jf + r 1 4 1+J +v Wv + x* 6皿屉）55时 _2-V2 16 【解析】.令小）七亦 I (1) 证明的收敛半径不小于 1 (2) 证明(1-力扩-双力= Oxe(-lJ)，并求时的表

10、达式 【解析】(1) 虬5 二一!一3口. *%_)=； 吐.订.一 hir a -5(- -K,. n+1 rt+1 rt+1 n Um Jl + k+上r q h 【解析】 （I）证明：由电二但+2,可得4+2角-乌二。即q秘秘线性相关， 因此， 昨宿|=。 ，即A的特征值必有0. 又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1个0,另外两个非0. A = & 。 A0 且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 I ） ,二 （II）由（1） r（A）=2,知 3-r（为=1,即由二0 的基础解系只有i个解向量. (% 电) 2 =z P : =0 1 由 +姓- q 二可得

11、 ，则由二0的基础解系为 k 2 + 1 综上，众顼的通解为 ch （2i）设二次型六时狄+&8柄+2硒在正交变换 月= 【解析】了戒,其中 由于y）=x必经正交变换后，得到的标准形为 端+幻; 2 1 -4 r(g) = 2 T E|= 0 n 1 -1 1 =0 a = 2 故 -4 1 口 ， (2 将a-2代入，满足r （羚二2,因此=2符合题意，此时 （耳弓,务） 1 =A 1 =夕 又 ,即 ,则众= P的一个特解为1 1 V. 的标准型为 切+楸; ,求的值及一个正交矩阵Q。 2 1 T 1 -1 1 c4 1 a 1 -1 1 1 2人则 A-2 -1 4 | AE A

12、 1 ,1+1 1 = 0 n 4 =4 = 6 4 -1 A-2 p q 二 T 由(-3 -=0，可得 A 的属于特征值-3的特征向量为 U )- 弓=2 由（0 -=0, 可得A的属于特征值0的特征向量为 -3 ） PAP = 6 令则 【 ），由于凹彼此正交，故只需单位 r 1 jr 1 一 T P(X=0) = P(X = 2) = （D求P（以 求z=x+y的概率密度由(6ET)x=0, 可得A的属于特征值 6的特征向量为 率密度为 2yr 0 y 1 0,其他 则 化即可： 、： （22）设随机变量相互独立，且/的概率分布为 (11)&(3 = ?(2樊)=凡了+/4) = F(X+Fz,X = O) + P(N= 2) = p(yzRjf=o)+p(r z-2Ry = 2) 二，(F&)+?F(y& 2) (1) 当 0,z-20,而zcO,则 &(Z)二。； (2) 当 z-221,zl,即zA时，H(Z)T； （3） 当 I.J 上 2 ：-.1 时， 2 ； M ” 此（2）二； （4） 当 I z2 时， 2 ； （23）（本题满分11分） 某工程师为了解一台夭平的精度， 用该夭平对一物体的质量做 n次测量，该物体的质量夕是 已知的，设n次测量结果 4 如*相互独立，且均服从正态分布（从），该工程师 记录的