2021九年级数学总复习专题训练最短路径问题教学案训练作业

1、最短路径问题和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上而找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小 （将军饮马问题）.如图所示，在直线1上找一点P使得PA+PB最小.当点P为直线A3 与直线1的交点时，PA+PB最小.AB【方法归纳】二如图所示，在直线1上找一点B使得线段AB最小.AB二如图所示，在直线1上找一点P使得PA+PB最小.二如图所示，在二AOB的边AO, B0上分别找一点C, D使得PC+CD+PD最小.二如图所示，在二AOB的边AO, B0上分别找一点E, F使得DE+EF+CF最小.二如图所示，长度不变的线段CD在直线1上运动，在直线1上找到使得AC+BD最小的C

2、D 的位置.二如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线（y=x2）上的一点，点A （0, 1）在y 轴正半轴.点P在什么位置时PA+PB最小？【典型例题】1 .已知二次函数 y=x2-2mx+m2 1.（I）当二次函数的图象经过坐标原点0（0, 0）时，求二次函数的解析式：（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标：（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由.2 .己知，如图，二次函数y=a/+2ax 3（“。0）图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直

3、线1： y=x+对称.（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线1上：（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK二AH交直线1于K点，M、N分别为直线AH和直线1上的两个动 点，连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.3 .如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A ( 1, 0), C (0, 5)两点，与x轴另一交 点为B.已知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=l时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标：(3)若二PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形

4、PMEF周长最小？请 说明理由.4 .如图，抛物线与x轴交于A, B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D.（1）求点A, B, D的坐标：（2）连接CD,过原点0作0E二CD,垂足为H, 0E与抛物线的对称轴交于点E,连接AE, AD.求证：二AEO = UADC：（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点 P作匚E的切线，切点为Q,当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.5 .已知：直线1： y= - 2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0, - 1）, （2, 0）.（1）求该抛物线的解析式：（2）如图二，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线1的垂线，垂足为Q,求证：PO= PQ.（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图过原点作任意直线AB,交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B 两点作直线1的垂线，垂足分别是点M、N,连结ON、OM,求证：ON匚OM.（1