信号与系统第4章

1、信号与系统信号与系统第第第4-4-4-1 1 1页页页南京信息工程大学滨江学院第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 4.8 取样定理取样定理点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统第第第4-4-

2、4-2 2 2页页页南京信息工程大学滨江学院4.0 4.0 引言引言 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而入信号可分解为一系列冲激函数；而 yzs(t) = f(t) * h(t) 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本为基本信号，任意输入信号可分解为一系列信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的的正弦信号或虚指数信号之和。正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频频域分析域分析。 4.0 4.0 引言引言信号与系统

3、信号与系统第第第4-4-4-3 3 3页页页南京信息工程大学滨江学院频域分析：频域分析： 从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析，首先讨分析，首先讨论傅立叶变换，傅立叶变换是在傅立叶级数正交论傅立叶变换，傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的一种交分解，即分解为三角函数或复指数函数的一种组合。组合。 频域分析是将频域分析是将时间变量时间变量变换成变换成频率变量频率变量，揭，揭示了信号

4、内在的频率特性以及信号时间特性与其示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系。从而导出了信号的频频率特性之间的密切关系。从而导出了信号的频谱，带宽以及滤波、调制等重要概念。谱，带宽以及滤波、调制等重要概念。4.0 4.0 引言引言信号与系统信号与系统第第第4-4-4-4 4 4页页页南京信息工程大学滨江学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其

5、内积为其内积为0。即。即031iyixiTyxvvVV正交矢量集：正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。指由两两正交的矢量组成的矢量集合。如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-5 5 5页页页南京信息工程大学滨江学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集可以用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的分

6、量的线性组合表示。即线性组合表示。即 A= 2vx+ 5 vy+ 8 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空空间，在信号空间找到若干个间，在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。它们的线性组合。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-6 6 6页页页南京信息工程大学滨江学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函

7、数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 2112( )( )d0ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 210,( )( )d0,tijtiijtttKij则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 ，其中，其中ki为常数为常数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-7 7 7页页页南京信息工程大学滨江学

8、院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数 (t)（0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。21( )( )d0titttt( i =1，2，n)例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的是两组典型的在区间在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。信号与系统信号与系统第第第4-

9、4-4-8 8 8页页页南京信息工程大学滨江学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)可分解为可分解为无穷多项正交函数之和无穷多项正交函数之和:1( )( )iiif tCt211( )( )dtiitiCf tttK其中：其中：212( )dtiitKtt（推导过程见教材）（推导过程见教材）信号与系统信号与系统第第第4-4-4-9 9 9页页页南京信息工程大学滨江学院4.2 4.2 傅里叶

10、级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级条件时，它可分解为如下三角级数数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇

11、函数。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-101010页页页南京信息工程大学滨江学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言

12、，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统第第第4-4-4-111111页页页南京信息工程大学滨江学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb2 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点

13、实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 bn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。204( )cos()dTnaf tn ttTan =0 ，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。204( )sin()dTnbf tn ttT信号与系统信号与系统第第第4-4-4-121212页页页南京信息工程大学滨江学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数2)()()(tftftfod2)

14、()()(tftftfve3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-131313页页页南京信息工程大学滨江学院( )jntnnf tF e三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。的傅里叶级数。系数系数Fn称为

15、称为复傅立叶系数复傅立叶系数。 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-141414页页页南京信息工程大学滨江学院可从三角形式推出可从三角形式推出指数形式指数形式的傅里叶级数：利用的傅里叶级数：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA10)cos(2)(nnntnAAtf110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA上式中第三项的上式中第三

16、项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-151515页页页南京信息工程大学滨江学院所以所以ntjnjnnAtfee21)(令复数令复数nnjnFFAnnee21称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222111( ) cos() d( )sin() d( ) edTTTjntT

17、TTf tnttjf tnttf ttTTT( )ejntnnf tF n = 0, 1, 2， 221( )edTjn tTnFf ttT表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-161616页页页南京信息工程大学滨江学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某

18、种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，

19、也可直接画为实数，也可直接画Fn 。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-171717页页页南京信息工程大学滨江学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的周期试求该周期信号的周期T，基波角频率，基波角频率，画出它的单，画出它的单边频谱图。边频谱图。63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8，12cost433的周期的周期T2 =

20、6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12信号与系统信号与系统第第第4-4-4-181818页页页南京信息工程大学滨江学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 12cos433t是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1信号与系统信号与系统第第第4-4-4-191919页页页南京信息工程大学滨江学院4.3 4.3 周

21、期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 f(t)t0T-T122222211( )ededTjntjntTnFf tttTT22sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） nnTjnTtjn)2sin(2e122信号与系统信号与系统第第第4-4-4-202020页页页南京信息工程大学滨江学院sin22nnFnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） 4.3 4.3 周期信

22、号的频谱周期信号的频谱分析：分析：现在讨论如何画出现在讨论如何画出Fn的双边频谱。观察的双边频谱。观察Fn的表达式，它是一的表达式，它是一个形如取样函数的函数（注，取样函数在通信中应用很多，是一个个形如取样函数的函数（注，取样函数在通信中应用很多，是一个重要函数）。为作频谱图，我们先研究重要函数）。为作频谱图，我们先研究Sa(x)的特点：的特点：（1） Sa(x)为偶函数，因为为偶函数，因为sin(x)/x 是是1/x 与与sin(x)两个奇函数的乘积。两个奇函数的乘积。（2） Sa(x)可以看作是以可以看作是以1/x 为振幅的为振幅的“正弦函数正弦函数”，因而对于，因而对于x的的正负两半轴都

23、为衰减的正弦振荡。正负两半轴都为衰减的正弦振荡。（3）在在 （k1，2，3，）处，）处， sin(x)0，即，即Sa(x)=0，而，而在在x0处，有处，有:（4）0sinlim1xxx0( ),( )2Sa x dxSa x dxxk信号与系统信号与系统第第第4-4-4-212121页页页南京信息工程大学滨江学院Fn0224414.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。特点特点： (1)包络线形状是：包络线形状是：取样函数取样函数。（。（2）其

24、最大值为）其最大值为n0处，为：处，为： 。（。（3）周期信号的频谱是离散谱，具有）周期信号的频谱是离散谱，具有谐波性谐波性，当，当 时取值。（时取值。（4）第一个零点坐标是：）第一个零点坐标是： 2n T2mm2nn 令：令：信号与系统信号与系统第第第4-4-4-222222页页页南京信息工程大学滨江学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定， 变小变小，此时，此时 （谱线间隔）不变。两零点之间（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一

25、定，一定，T增大增大，间隔，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周就过渡到非周期信号的期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。 周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点： （1）周期信号的频谱具有谐波（离散）性；）周期信号的频谱具有谐波（离散）性；（2）一般具有收敛性。总趋势减小。）一般具有收敛性。总趋势减小。信号与系统信号与系统第第第4-4

26、-4-232323页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时趋近于无穷大时: 谱线间隔谱线间隔 趋近趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。仍有差别。 再用再用Fn表示频谱就不合适了。为了描述

27、非周期信号表示频谱就不合适了。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令的频谱特性，引入频谱密度的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-242424页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时， 于是，于是，()lim( )edj tnTF jF

28、Tf tt1( )()ed2j tf tF j傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-252525页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e

29、j () = R() + jX() 说明说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信号与系统信号与系统第第第4-4-4-262626页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1. 单边指数函数单边指数函数f(t) = e t(t)， 0实数实数10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee

30、)(0)(02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信号与系统信号与系统第第第4-4-4-272727页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-282828页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4

31、.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数有一些函数不满足绝对可积不满足绝对可积这一充分条件，如这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列 f(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而f(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且f(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列F(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为( )lim( )f tft()lim()F jFj这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的

32、傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-292929页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 tt，tt- - )(de21ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2

33、)(2de1ttj信号与系统信号与系统第第第4-4-4-303030页页页南京信息工程大学滨江学院6. 符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 阶跃函数阶跃函数 (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)也不满足绝对可积的条件也不满足绝对可积的条件信号与系统信号与系统第第第4-4-4-313131页页页南京信息工程大学滨江学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1.

34、F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()信号与系统信号与系统第第第4-4-4-323232页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(2112a( )edb( )edjtjtf ttf t

35、t= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-333333页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -信号与系统信号与系统第第第4-4-4-343434页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅

36、里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、奇偶虚实性二、奇偶虚实性(Parity)If f(t) is real function, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that:j|() | eF j （ ）( )( )cos()dRf ttt( )( )sin()dXf ttt(1)R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) f(-t) F(-j)= R() + jX ()= R() jX ()= F*(j

37、)(3) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()信号与系统信号与系统第第第4-4-4-353535页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t

38、) 2f () endF( jt ) 2f ()信号与系统信号与系统第第第4-4-4-363636页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11texercise：1sin t( )F(j) =?tf t 21( )F(j) =?tftt 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-373737页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transfor

39、m Property)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof: F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(信号与系统信号与系统第第第4-4-4-383838页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5

40、傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For examplef(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using scaling Transform property with a = - -1,so that,12e( )1jt Exercise:1 ()?F 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-393939页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” i

41、s real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信号与系统信号与系统第第第4-4-4-404040页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1 F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468

42、+0f2 ( t )t221468信号与系统信号与系统第第第4-4-4-414141页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f (t)F( j), find f (at b) ? using Timeshifting Property: f (t b)e - -jb F( j) using scaling Transform property: f (at b) ajFabaje|1Ans:信号与系统信号与系统第第第4-4-4-424242页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变

43、换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)信号与系统信号与系统第第第4-4-4-434343页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)

44、 = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (- -0)+ (+0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal： f(t) cos0t ? 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-444444页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积性质七、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F

45、2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21信号与系统信号与系统第第第4-4-4-454545页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) =dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingjtjjFttfe)(de)(22So that, F f1(t)*f2(t) =de)()(de)()

46、(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)信号与系统信号与系统第第第4-4-4-464646页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信号与系统信号与系统第第第4-4-4-474747页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(D

47、ifferentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(信号与系统信号与系统第第第4-4-4-484848页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22

48、jt)sgn(1jt2d11()sgn( )sgn( )dtjjtt |)sgn(12t信号与系统信号与系统第第第4-4-4-494949页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f (t) F1(j)f (t) f()+ f(-) ( ) + F1(j)j11111d( )1( )()d(0)()()d(0)( )()()1()() ()()tf tf tftFFjtjFft dtffffFjj 其 中Proof11()2() ( ) ( )() ( )()F jfffF jj So11() ( )() (

49、)()F jffF jj Summary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n信号与系统信号与系统第第第4-4-4-505050页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 +

50、 e j2= 2cos(2) 2 F (j) =2222()22cos(2 )4( )()FjSajNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)信号与系统信号与系统第第第4-4-4-515151页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jFfFor ex

51、ample 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt信号与系统信号与系统第第第4-4-4-525252页页页南京信息工程大学滨江学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2Determined)sin(aAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd

52、)sin(1)0(2aga2d)sin(0asin()daso信号与系统信号与系统第第第4-4-4-535353页页页南京信息工程大学滨江学院十、帕斯瓦尔关系十、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)d)(21d)(22jFttfEProofttftfttfEd)()(d)(*2tjFtftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjFtjd| )(|21d)()(212*jFjFjF|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 单位频率上的频谱单位频

53、率上的频谱 (能量密度谱能量密度谱）Js4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与系统信号与系统第第第4-4-4-545454页页页南京信息工程大学滨江学院For exampleDetermine the energy of ttt5sin)997cos(2Ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)997cos(21010ggttt4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质221110( ) d() d(10 10)22Ef ttF jSo:信号与系统信号与系统第第第4-4-4-555555页页页南京信息工程大学滨江学院作业： 书P204P206 4.18：

54、(2)、 (5) 4.20： (单) 4.21 4.27信号与系统信号与系统第第第4-4-4-565656页页页南京信息工程大学滨江学院4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n( )f tF 傅立叶级数( )jf tF傅立叶变换（）周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：离散谱离散谱连续谱连续谱周期信号的傅立叶变换如何求？与傅立叶级数的关系？周期信号的傅立叶变换如何求？与傅立叶级数的关系？( )f t周期统一的分析方法：傅立叶变换非周期4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换信号与系统信号与系统第第第4-4-4-575757页页页南京信息工程大学滨江学院4.6

55、 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 cos(0t)= (1/2)(e j 0 t + e j 0 t) sin(0t)= ( 1/2j)(e j 0 t - e j 0 t) 已知：已知： 12()由频移特性得：由频移特性得： e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t) (1/2) 2(0 ) +(+0 ) =(0 ) + (+0 )sin(0t) ( 1/2j) 2(0 ) -(+0 ) =j(+0 ) ( 0 )信号与系统信号与系统第第第4-4-4-585858页页页南京信息工程大学滨江学院4.6 4

56、.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换ntjnnTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTF( )e()2()jntTnTnnnftFFjFn (1)说明：说明：（1）周期信号的傅立叶变换（频谱密度）由无穷多个冲激）周期信号的傅立叶变换（频谱密度）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率 处处 ，其强度为各相应幅度，其强度为各相应幅度Fn的的2倍倍。（2） 代表的是频谱密度；而将该周期函数代表的是频谱密度；而将该周期函数fT(t)展开为展开为傅立叶级数时，得到的是复

57、傅立叶系数，它代表虚指数分量傅立叶级数时，得到的是复傅立叶系数，它代表虚指数分量的幅度和相位的幅度和相位n(n=0, 1, 2)，()TFj信号与系统信号与系统第第第4-4-4-595959页页页南京信息工程大学滨江学院例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= ()?mtmT解解：TdtetfTFTTtjnn1)(1222( )()()( )TnntnnT 4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换信号与系统信号与系统第第第4-4-4-606060页页页南京信息工程大学滨江学院4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求

58、其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即F(j) =nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0(2)(2)式与前面式与前面(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。001()()2nnFF jnF jT T2，其中 本题本题 f0(t) = g2(t)Sa(222T信号与系统信号

59、与系统第第第4-4-4-616161页页页南京信息工程大学滨江学院4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。率的虚指数函数之和。ntjnnFtfe)(对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：de)(21)(tjjFtf其其基本信号基本信号为为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：时域分析中，信号的定义域为说明：时域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t= 总可认

60、为系统的状态为总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态，因此本章的响应指零状态响应，常写为响应，常写为y(t)。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-626262页页页南京信息工程大学滨江学院4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTI系统的系统的冲激响应为冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基的基本信号本信号ej t时，其响应时，其响应 tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的，常称为系统的频率响应函数频率响应函数。de)(jhy(t) =