2020年高一数学知识讲学(必修5)专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(深度精讲)(含答案解析)

1、2019-2020学年高一数学知识讲学（必修 5）专题11二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【知识导图】二元一次不等式（身）T二元一次不等式表示的平面区域l二方一次不等可1组占毛而双L基题型平面区域二五一次不算式组与I筒甲的法在瓦划间噩T线性规旬的概念T二元一次不等式组表亓的邛面区域 一用二元一次不等式组耒示已知平面前T4求线性目标函装的最值何题 一（一笥单的线性短斯中的整数解 -f非线性目标蔬的最值而题 -f已知目标函数的最值乘数数H收窗最大问题（利闰，收入户里等1j 一线性规划的应在卜源（人力' 物力'资金等）最少问京T整沌最优解不是边界点的问豆【目标导航】1 .知道

2、二元一次不等式的几何意义；2 .会画二元一次不等式表示的平面区域；3 .能用平面区域表示二元一次不等式组.4 .知道线性规划的意义，掌握有关概念术语，能正确利用图解法中的求解程序，解决线性规划问题；5 .能用线性规划知识解决一些简单的实际问题.重重难点精讲】重点一、二元一次不等式（组）（1）定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.（2）解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x, v）,所有这样的有序数对（x, y）构成的 集合称为二元一次不等式 （组）的解集.有序数对可以看成是直角

3、坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标内的点构成的集合.重点二、平面区域(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C = 0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax+By+C=0称为这个平面区域的边界.这时，在平面直角坐标系中，把直线 Ax+ By+C=0画成虚线，以表示区域不包括边界；而不等式Ax+ By+O0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线(2)判断方法：只需在直线 Ax+By + C = 0的同一侧取某个特殊点(xo, yo)作为测试点，由 Axo+

4、Byo+C的符 号就可以断定 Ax+By+C>0表示的是直线 Ax+ By+C = 0哪一侧的平面区域.特别地，当CW0时，常取原点(0,0)作为测试点；当 C=0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点.重点三、线性规划中的基本概念名称意义约束条件变量x, y满足的一组条件线性约束条件关于x, y的二k次不等式目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式线性目标函数目标函数是关于x, y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题重点四、线性规划常用

5、来解决下列问题：(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大，收到的效益最大.(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.常见问题有：物资调运、产品安排、下料等问题.重点五、最优解常转化为由目标函数得到的直线到原点距离的最值来考虑.(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最大(小)【典题精练】考点1、二元一次不等式表示的平面区域例1.【四川省攀枝花市 2018-2019学年高一下学期期末】已知点 P(1, 2)及其关于原点的对称点均在不等式2x by 1 0表示的平面区域内，则实数 b的取值范围是 .1 3【答案】

6、(-,3)2 22 2b 1 02 2b 1 0根据题意，设Q与P（1, 2）关于原点的对称，则 Q的坐标为（1,2）,若P、Q均在不等式2x by 1 0表示的平面区域内，则有13SPbBW 受/13(-) 故答案为2,2.考点点睛：由于在直线 Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x, y）,使实数 Ax+By+C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点（xo, yo）,把它的坐标代入 Ax+By+C,由其值的符号即可判断Ax+By + C>0（或0）表示直线的哪一侧，当CW0时，常把原点作为此特殊点.考点2、二元一次不等式组表示的平面区域 例2.画出下列不等式(组)表示的平面区域:

7、(1)x y 2-0.(2) 2x 3y 0.x y 2 0,(3) x y 10, 2x y 5, 0.(4) (x 2y 1)(x y 3> 0.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析【解析】(5) 画出平面区域如下图所示：(2)画出平面区域如下图所示:(3)画出平面区域如下图所示:x 2y 1 0.故画出平面区域如下图所示:x y 3 0考点点睛：1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤为：画线；定侧；求 交”；表示.2.要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一

8、侧取一个特殊点(xo,yo),从Axo+Byo+C的正负判断.考点3、用二元一次不等式组表示已知平面区域例3.如图，在 ABC中，已知点 A(3 D , B( 1,6,C13).写出 ABC区域所表示的二元一次不等式组.2x y 5, 0，【答案】x 2y 1-0,x y 2 0【解析】阴影部分在直线2x y 5 0的左下方，故2x y 5 0 ；在直线 x 2y 1 0 的右上方，故x 2y 1 0 ；在直线 x y 2 0 的右下方，故x y 2 0 .所以二元一次不等式组为2x y 5 0 x 2y 1 0 . xy202x y 5 0故填： x 2y 1 0 .xy20考点点睛：已知平

9、面区域，用不等式（组 ）表示，其一般步骤是求出边界的直线方程；确定不等号，从平面区域内不在所有直线上的点中任取一点，将其坐标代入直线方程判断符号确定不等号考点 4、 求线性目标函数的最值问题例 4 【 2019 年天津市高考数学】设变量x, y 满足约束条件xy 20,xy 20,，则目标函数z 4x y 的最x1,大值为B 3y1,C 5D 6C【解析l已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线 y 4x z在y轴上的截距,故目标函数在点 A 处取得最大值x y 2 0,由，得 A( 1,1),x 1所以 Zmax4 ( 1) 1 5.故选C.考点点睛：（1）解线性

10、规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.（2）要注意直线斜率的大小.考点5、简单的线性规划中的整数解例5.求满足|x| | y |, 3的整点（x, y）的个数.【答案】25【解析】当x 0, y 0时，不等式|x| |y|, 3,即x y 3表示的区域是直线11: x y 3有原点的一侧（即11与x, y轴正半轴围成的区域）.利用对称性，不等式|x| |y|, 3表示的区域是4条直线11 ：x y 3, 12 :x-y 3, 13:-x y 3,I4 ：-x- y

11、3所围成的正方形（包括边界）当y 0时，整点在x轴上，从点（3,。到点（3。共7个；当y 1时，整点从点（-2, 1）到点（21）共5个；同理，当y 2时，整点有3个；当y 3时，整点有1个，根据对称性，满足|x| |y|, 3的整点个数为：7 2 (5 3 1) 25.考点点睛：在求解最优解为整数点的题型时，若最优解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最优解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答.考点6、非线性目标函数的最值问题2x y 5 0例6.已知x、y满足约束条件 3x y 5 0 .x 2y 5 0(1)求目标函数z 3x 2y的最大值与最小值；(2)求目标函数z 3x 2y

12、的最大值与最小值；(3)求目标函数z x2 y2的取值范围；，一一一， y 1 (4)求目标函数z -的取值范围.x 1【答案】(1)最大值17,最小值8; (2)最大值4,最小值 3; (3) 5,25 ； (4) -,2 .3【解析】解约束条件中不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分ABC (含边界)为可行域.31(1)由图可知，当直线 z 3x 2y,即直线y -x z过点B时，该直线在x轴上的截距最大，此 22一 一 31时，z取最大值zmax 3 3 2 4 17,当直线y -x -z过点A时，该直线在x轴上的截距最小,2 2此时，z取最小值4所3 2 2 1 8；3 1(2)由图

13、可知，当直线 z 3x 2y,即直线y -x z过点A时，该直线在x轴上的截距最大，此2231时，z取最大值Zmax 3 2 2 1 4当直线y -x z过点C时，该直线在x轴上的截距最小，此22时，z取最小值zmin 3 1 2 33；(3)设点P x, y ,则z x2 y2 |OP2表示可行域内任一点 P x, y到原点距离的平方.由图可知，其一 一一.2c C最大值为 zmaxOB32 42 25.max一一,1直线OA的斜率为k0A 2,直线AC的斜率为kAc2,八人kAc1, OA AC,故其最小值为zminOA222125 ,因此，z的取值范围为5,25 ；y 1 »(

14、4)令点P x, y，则z -一 表不可行域内任一点 P x, y与点M 1, 1连线的斜率kPM .当直线 x 11 1 2，,PM过点A时，此时直线 PM的倾斜角取得最小值，此时， z取最小值zmin 一，当直线PM过 m 2 13点C时，此时，直线 PM的倾斜角最大，此时，z取最大值zmax ? 2,因此，z的取值范围是1 13,2考点点睛：求非线性目标函数的最值，要注意分析充分利用目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系.考点7、已知目标函数的最值求参数x y 2 0例7.设z kx y,其中实数x、y满足 x 2y 4 0 ,若z的最大值为12 ,求实数k的值.2x y

15、 4 0【解析】x y 2 0作出不等式组 x 2y 4 0所表示的可行域如下图所示，阴影部分ABC (包括边界)2x y 4 0由z kx y ,得y kx z,可知z为直线z kx y在y轴上的截距.由图象可知，当直线 z kx y经过点M 0,12和可行域的顶点 B 4,4时，12 4-直线z kx y在y轴上的截距取到最大值 12,此时 k 2,因此，k 2.0 4考点8、收益最大问题(利润、收入、产量等)例8.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A, B,C三种主要原料，生产 1车皮甲种肥料和生产 1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种

16、原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x, y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数 .(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.原料肥料ABC甲483乙5510【答案】（1）见解析；（2）最大利润为112万元【解析】4x 十 < 2008x 十 5v < 360（i）解：由已知，无1y满足的数学关系式为 hx+iov <300 ,该二元一次不等式组所表示的平面区域为x> 0v &g

17、t; 0卜图中的阴影部分：f工.（图1）（2）解：设利润为E万元，则目标函数为2工.考虑z=2x+3y ，将它变形为y ? x且，这是332zz斜率为一三，随三变化的一族平行直线 三为直线在y轴上的截距，当 ;取最大值时，m的值最大.又因为333满足约束条件，所以由图 2可知，当直线2 = 2工+经过可行域上的点3/时，截距三最大，即最34,十0 0大.解方程组I “，得点M的坐标为（20, 24）,所以工父|3x+10v = 300工答：生产甲种肥料2。车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.（图2）考点点睛：解答线性规划应用题的一般步骤：（1）审题一一仔细阅读，准确理解题

18、意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应 用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来处理.（2）转化一一设出未知量，由条件列出约束条件确立目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题.作图一一作出可行域，求出可行域边界点的坐标.（4）求解一一利用图形法求出最优解和最值.作答一一就应用题提出的问题作出回答.几个注意点：（1）列不等式组时，要特别注意表达不等关系的词语（如不超过，不大于，最少等 ）；（2）平移直线时，特别注意斜率大小与直线的倾斜程度，准确找出最优解对应直线的位置；（3）将求解得到数学结论转化为实际问题的结论.考点9、耗费资源（人力、物力、资金等）最少问题例9.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运 280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的0.8元/吨和1.6元/运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 吨.要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？【答案】甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少.【解析】设甲煤矿向东车站运 x万吨煤，乙煤矿向东车站运 y万吨煤， 那么总运费 z = x +1.5(2