2020年河南省中考数学压轴题专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识_第1页
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文档简介

1、中考专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识模型一、A字形(手拉手)及其旋转图1图2模型二、K字型及其旋转典例剖析【例1】(2019 洛阳二模)如图,在 RtABC 中,/ ABG90 ,A&BG4,点D, E分别是边ABAC的中点,连接 DE,将ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角为a , BD EC所在直线相交所成的(1)问题发现=0 时,CEBD(2)拓展探究CE 一试判断:当02的情形给出证明.& a /5 ,AE _5一一.BE 4(2) 但的大小无变化,理由如下:BE连接AQB C- AB=6, BC=8, EF=3, CE=4,.EF 1 CE 1. AB 2 BC 2 E

2、F _CE AB BC ?/ CEM/ABG=90 ,CEFA CBAAC CF CE,Z EC邑 Z AC6 BC-Z AC 邑 Z BC 匚BC 4 .A ACfA BCE. 即2旦的大小无变化;BE CE 4 BE(3)当 CE城转至A, E, F三点共线时,存在两种情况:E在A、F之间,如图,连接 ACRtAABC,由勾股定理得:AC= 10,同理得:C口5,由(2)知:普CE 4RtAAEC,由勾股定理得:AE= 2/21, .AF= A&EF= 2 ,21+3,.BE= 4AF= 4 (2用+3) = 8也1 12 ; 555点F在A E之间时,如图所示,连接 AC同理得:AF=

3、AE- EF= 2J213,BE= 4AF= - (2V21-3) = 821 12 ;555综上所述,BE的值为8厉 12或8病 1255压轴精练AB1. (2018 河师大附中模拟)如图,在RtAABC, / BA(=90 , .=1.点P是边BC上一个动点AC(不与 B 重合),/ PAa90 , / APa/ B,连接 CD填空:世=:/八。勺度数为CD(2)拓展探究AC如图,在 RtAABC, / BA(=90 , 幽=k .点P是边BC上一个动点(不与 B重合),Z PA=90 ,/APH/B,连接CD请判断/ ACDW/B的数量关系以及 PB与CD之间的数量关系,并说明理由 .(

4、3)解决问题如图,在 ABC中,/ B=45 , AB=4j2, BC=12, P是边BC上一动点(不与 B重合),/ PAa/BAC /APH/B,连接CD请直接写出所有 CD的长. 【答案】见解析.【解析】解:(1) . AB=AC / BAG90 , / PA090 , / BAP=/ CAD / B=45 ,. / APB/ B, / APB/ADP=45 , . AP=AD AB国 ACDBP=CD / ACR/ B=45 ,即 EB=1, / ACD45 , CD故答案为:1, 45 .PB(2) /ACD/B,匚B=k,理由如下: CD / BA090 , / PAD=90 ,

5、/ APB/ B, . ABCo APD.AB AP . =k, AC AD由/ BAP+/PAG/PACVCAD90 ,得:/ BAP:/ CAD . ABA CAD / ACD/ B,PB AB . =k.CD AC(3)过A作AHL BC于H,如图所示,C / B=45 ,. BAH等腰直角三角形,. AB=4 隹,AH=BH=4,BC=12,.CH=8,在RtAACH,由勾股定理得: AC=4押,在RtAAPh!,由勾股定理得:PH=3,BP=1,. / PAB/BAC / APD=/B,.AB6 APD,AB AP=,AC AD由/ BAR/ PA(=ZPA(+Z CAD 得:/ B

6、AR/ CAD . AB% CAD.PB _ AB, ?CD AC日口 14.2即=-CD 4 .5解得:C0, 2如图所示,过 A作AHL BC于H,同理可得: ABm CADPB AB4.24,5CD解得:=, CD AC云7 10C=, 2综上所述,CD的值为:2. (2018 河南第一次大联考)如图 1,在等边三角形 ABC4点M为BC边上异于R C的一点,以AM为边作等边三角形 AMN连接CN NC AB的位置关系为 (2)深入探究:如图2,在等腰三角形 ABO, BA=BC点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形 AMN 使/ ABB/AMN AMMN连接CN试探究/

7、 ABCW/ ACN勺数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,在正方形 ADB阱,ADAC,点M为BC边上异于 R C的一点,以AM为边作正方形 AMEF点N 为正方形AME附中点,连接 CN若BG10, C附J2,试求EF的长.【答案】见解析【解析】解:(1) NC/ AR(2) / ABB/ACN理由如下:.AB=BC AM=MN 即 ABBGAMMNd,又/ AB(=Z ACN . ABCo AMN.AB AC, AM AN, J 。, ./ BA(=1 (180 -Z ABC, 2AMtMN,1。, / MAN1 (180 -Z AMN,由/ ABB/AMN得/ BAG/ MAN

8、 / BAM/ CAN又 AB_ ACAm- aN . ABMh ACN/ ABG/ACN(3)连接 AB AN / BAM/ CAN由世皿=2, BC AN.AB BC AC, AM AN AN . ABMh ACN.BM AB CN AC ,BM 2F粒b BM=2,.CM=BC- BM=10 2=8,在RtAMCK由勾股定理得: AM:JAC2 MC2 2历,EF=AM=2 41 .3. (2017 新野一模)如图,在 ABC中,/ ACE=90 , BC=2, Z A=30 AC的中点,连接EE(1)说明线段BE与AF的位置关系和数量关系;(2)如图,当 CEF绕点C顺时针旋转 a (

9、0 V a90 )时,连接 仍然成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图,当 CE噬点C顺时针旋转a (0。 a/3+1.当B, E, F三点共线时,线段 AF的长为J3 T 或J3+1-6. (2019 商丘二模)如图,在 AB/口 ADE中,/ BAC= / DA号90 ,点 P为射线BQ CE的交点. (1)问题提出:如图 1,若AD= AE AB= AC/ABDW/ACE勺数量关系为 ;/ BPC勺度数为 .(2)猜想论证:如图 2,若/ ADE= /ABC= 30 ,则(1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)拓展延伸:在(1)的条件中,若 AB= 2, AD= 1

10、,若把 AD漱点A旋转,当/ EAC= 90时,直 接写出PB的长.图1图2备用图【答案】(1) / ABD/ACE 90。; (2) (3)见解析.【解析】解:(1).一 AB/口 AD既等腰直角三角形,/ BAC= / DAE= 90 ,AB= AC AD= AE Z DAB= /CAE / ABC= Z ACB= 45. A ADB2A AECABD=Z AC耳/BPG=180 -Z ABD- Z ABC- Z BCP= 180 - 45 - (Z BCR/AC氏=180 - 45 - 45=90 ;(2) (1)中结论成立,理由:在 RtAABC, Z ABG=30 , AB= V3A

11、C同理,AD=邪A AD aeAB CE BAG=Z DAE=90 , ./ BAD=Z CAE. A ADBA AEC ./ ABD=Z ACEZ BPG=180 - Z ABD- Z ABC- Z BCP= 180 - 30 - 60=90 ,(3)解:当点E在线段AB上时,BBE= AB- AE= 1.在RtAAEC,由勾股定理得: CE B易证: ADAAEC / DB生/ ECA. / PEB=Z AEQ . PEBA AEC.PB BE ac CE,PB 12.5PB= 25 ;5当点E在BA延长线上时,BE= ADAE= 3.同理得:EBACBECE,,PB 32 CE.PB=睡

12、,5综上所述,PB的长为2值或6匹.7. (2019 名校模考)问题发现:(1)如图 1,在 RtABC,ZA= 90 ,AB= k?AC(k1),D是 AB上一点,DE/BC贝UBQEC的 数量关系为类比探究:(2)如图2,将 AED绕着点A顺时针旋转,旋转角为a(0a90) .直线BDCE交于F点,若 AC= 1, AB=芯,则当/ ACE= 15时,BF?CF的值为【答案】(1) BD= k?EC (2) (3)见解析.【解析】解:(1) DE BG.BDCEADAEABAC ? ABAC即BDADABCEAEAC , AB= k?ACBD= k?EG(2)成立,理由如下:连接BD由旋转

13、的性质可知,/ BAD= /CAE.AD AB , =tan / ADE AE AC . ABDo ACE,BD AB ,=k, CE AC即:BD= k?EC;(3) BF?CF的值为2或1;由(2)知 AB5AACE ./ ACE= / ABD= 15/ ABG/ACB= 90 / FBG/ FCB= 90 / BFO 90由/ BAG= 90 , AC= 1, AB= p,得:/ ABG= 30 , / ACB= 60 , BC= 2AC= 2,分两种情况讨论:如图,此时,/ CBF= 30 +15 =45 , BC= 2BF= CF=BF?CF= 2;如图在BF上取点G,使/ BCG=

14、 15。,则 / BCF= 75 , / CBF= Z ABO / ABD= 15 , ./ CFB= 90 , / GCF= 60. CO BG= 2CF GF= 3CF, BF=(2+ .3)CF由勾股定理知:cF+b=bC .CU+ (2+J3) CF2=22,CF= 2 - J3 ,,BF?CF= (2+点)C户=1,即:BF?CF= 2或 1.AB上的动点,8. (2019 枫杨外国语三模)已知,在 ABC中,Z ACB90 , / B=30 ,点 D是直线 连接CD以CD为边,在CD的左侧作等边 CDE连接EB(1)问题发现:如图(1),当CDL AB时,ED和EB的数量关系是 (

15、2)规律论证:如图(2)当点D在线段 AB上运动时,(1)中ED EB的数量关系是否仍然成立?若成立,请仅就图(2)加以证明;若不成立,请写出新的数量关系,并说明理由(3)拓展应用:如图(3)当点D在直线 AB上运动时,若 AG2J2 ,且 BCE恰好为等腰直角三角形时,请直接写出符合条件的 AD的长.图1图2图3【答案】(1) ED=EB; (2) (3)见解析.【解析】解:(1) . CD里等边三角形, .ZCDE60 ,. CDL AB /CDB90 , BD巨30 , . / B=30 ,/ BDS/ B,ED=EB(2)成立;过点 C作 CD AB于 F,过 E作 EHL BC于 H

16、,则/ CFB:Z EH090 ,D / CBA30 , / BCE60 ,. CE等边三角形, / DCE60 , CE=CQ / ECH/ DCF.CDm CEHC仲CF在 RtACBF,由/ CBS30 ,彳导:BG2CFBH=CHCF,即 H为 BC中点,EH=EH / BHE:Z CH巨90 ,BE摩 CEHBE=CE. CE=DEBE=DE(3)过点C作CHL AB于H,如下图所示,由题意知:AC=2.2 ,CK 6, BG2C等2、6, BE=CE=CD2在RtACDH,由勾股定理得:DJ6, . AD=DHk AH 6 2 ;如图所示,BDH同理可得:D修褥,A代姓, .AD=

17、DHAH= 6+2;综上所述,符合条件的 AD的长为 邪-量或薪+也.9. (2017 郑州一模)如图,在矩形 ABC珅,E为CD的中点,F为BE的一点,连结 CF并延长交AB 于点M MNL C帜射线AD于点N.(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE若整BF 2,求黑的值.N DL8【答案】见解析.【解析】解:(1)当F为BE中点时,即BF=EF, 四边形ABCD1矩形,AB=DC AB/ DC /MBF/CEF /BMF/ECF BM3 ECFBMtEC .E为CD的中点,八1 一 1egdgab22 . AM=BMEG(2)设 MB=x,四边形ABCD1矩形,. AD=BC AB=DC

18、 / A=/ABG/BCD90 , AB/ DCCEBMEFBF2,EC=2x,AB=CD=2CE=4x, AM=AB MB=3x,由些 2,得 BGAD=2x, BC. MINL MC /CMN90 ,. ZA=90 , / BMC/ ANM. .AM帖 BCM,AN AMBM CB,.an 3xx 2x 3_ _1. AN=3x, NDA AN=1x,22AN 0 =3.DN10. (2019 郑州名校二模)如图1,在Rt4ABC4 / A= 90 , AB= AC点D, E分别在边 AB AC上,AD= AE,连接DC点M P, N分别为DE DC BC的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是;(2)探究证明:把4AD瞰点A逆时针方向旋转到图 2的位置,连接 MN BD, CE判断 PMN勺形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把4AD瞰点A在平面内自由旋转,若 AD= 4, AB= 10,请直接写出 PMNT积的最大值.图1图2【答案】见解析.【解析】解:(1)二点P, N是BG CD的中点,_ , _

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