24内积空间中的正交性

1、2.4内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthog on ality在三维空间中，如右图 1所示任取一平面 M，空间中的每一个矢量 x必能分解成两个直 交的向量和，其中一个向量x0在平面M上，另一个向量 z与平面M垂直，即x x0 z，X) z 这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？图2.4.1三维空间向量的分解，向量XX0z，其中 X0z正交分解定义正交设X是内积空间，x, y X，如果(x, y) 0，则称x与y正交或垂直，记为x y .如果X 的子集A中的每一个向量都与子集 B中的每一个向量正交， 则称A与B正交，记为A B .特 别记x A，

2、即向量x与A中的每一个向量垂直.定理勾股定理设X是内积空间，x, y X，若x y，则xy? x| y .2证明|x y (x y, X y)(x,x)(X, y) (y,x) (y, y)(x,x) (y,y)x2 y2.口注1:在内积空间中，是否存在|x y X |八 x y?显然由2 2 2IIx y|(x,x)(x, y) (x, y) (y,y)|x| |y 2Re(x,y),可知在实内积空间中|x y|2 |x|2 |y|2 x y成立.定义 正交补 Orthogonal complement设X是内积空间，M X，记M x|x M,x X,则称M为子集M的正交补.显然有X 0,0

3、 X 以及 M I M0 性质2.4.1设X是内积空间，M是X的闭线性子空间.证明是X的线性子空间x, yy,z) ( x,z) ( y,z)(x,z)(y,z) o ,(2) M设仅，因此M是X的闭子空间M ，且依范数是X的线性子空间.Xnx (n，有(x°,z) (lim x,z) lim(x,z)nn因此xo M ，即M是X的闭子空间口注2:由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间中(完备的内积空间)，任意子集M的正交补M是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补 M也 是Hilbert空间.定义正交分解设M是内积空间X的子空间，x X，如

4、果存在X。 M,z M ，使得x X。z，则称x 为x在M上的正交投影或 正交分解.引理设X是内积空间，M是X的线性子空间，x X，若存在y M，使得x y d(x, M)，那么 x y M .证明 令z x y，若z不垂直于M，则存在y M，使得(z, yj 0 ,显然y 0 .因为 K，有2zyi(zyi,zyi)/(yi,z) 一(z,yj一(,%)一(z, yi)(yi,z) 一(yi,yj特别取一，则可得(y ,yi)z yi2 _一(z, yi)z22 2X y d (x,M ),即知zyi | d(x,M ).又由于 yi M，所以zyiyix (y yj d(x,M).产生矛盾

5、,故 x y M 口定理2.4.1投影定理是Hilbert空间H的闭线性子空间，贝UH中的元素x在M中存在唯一的正交投影,xXoz，其中 Xo M , z证明(1)寻找X。进行分解.H，设 d(x,M ) inf Xy0,则存在%M，使得yna (n首先证yn是M中的基本列，因为m,nym yn|(ym X)(x yn) 22 ymX2 2Xyn(ym X)(X2 ymx|2 x yn142(ymyn)因为ym，yn M及M是子空间,1知-(ym yn)M，所以 i(ym yn) x2 ym X2 2x yn2 24a o(m, n )Xo(n)，则有故yn是M中的基本列，又因m是闭子空间，即

6、为完备空间，所以yn是M中的收敛列. 妨设ynXX。 d(x,M ).Xo，因此有XXoz，其中Xo且根据前面引理知 z M分解的唯一性.假设还存在XiziM使得x Xizi，那么有o (Xo Xi)(z z) , z zi0(0,W)(y'z',y')(y',y')(z',y') y'可见y' 0及z' 0，即0的分解具有唯一性.口例证明在内积空间上，x y的充要条件是K有x y |x .证明 必要性 若x y，则有(x, y) 0 ,K有(x, y) (x,y)0 ,于是由勾股定理得：x y2 x2y2x2 .

7、充分性 若K有xy x，且y 0时，0 x y2 x2(x y, x y)(x,x)(x,x)(y,x)-(x,y)(y,y)(x,x)(y,x)一 (x,y)(y,y)特别取(x,y)，于是，(y,y)0 xy2 x2(x, y)(y,x)(x,yf 0(y, y)|y|故(x, y) 0，即卩 x y .口2.4.2标准正交系在三维空间中，任何一向量可写成ae a2paaaQ，其中e (1,0,0) , e2(0,1,0) ,e3(0,0,1), a!( ,e), a2( g) , as ( ,&),显然当i j时，e ej ,而(e,e)1可见 (，e)e (,氏)氏(,es)e

8、3,那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢?定义标准正交系设X是内积空间，&是X中的点列，若满足(e,ej)则称巳为X中的标准正交系例在n维内积空间Rn中，向量组e (1,0,L ,0) , e2(0,1,0,L ,0) , L , &(0,L ,0,1),是Rn的一个标准正交系.口例24.3在I2中，向量en轴鼻加,。，Ln,0, L ) (n 1,2, L )，则en是I的一个标准正交系.口例2.4.4 在l2,中，对于 仁gL2,，定义内积为(f,g) 1f(t) g(t)dt则下列三组向量均是 L2,的标准正交系,genencosnx,n1,2,L ；e'n

9、enensin nx, n1,2,L ;* 11sin nx,n 1,2,L .口en eo,en,eneo,encos n x,e nen的任意有限个元素线性独立，则称注3:如果线性空间上中的点列en为线性独立系.可验证标准正交系是线性独立系.设2鸟2丄©k是标准正交系巳的一个有限子集，如杲存在1, 2,L ,k K使得1 eni2en2Lkenk那么对于任意的j(1 j k)j (enj ,enj )( jenj ,enj )( tent ,編)t 1反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系.k(t ent , ij )t 1(o,ej o.定理2.4.2设g为内积空间

10、X的标准正交系，殂©2丄，enken，记MspaNeen?丄，enk那么 x X , Xoi(X,enJen,是x在M上的正交投影即1XoM , xXo z， (x Xo)M .证明显然人M，由于存在1, 2, L , kK，使得ykk(X(x,eni)eni,ii)i 1i 1kk(X, i%)(X, eni )eni,i 1i 1kk_i(x, ei)一",金)(弘，ej o 口i 1i 1注4：上述定理中的M为k维闭子空间，作为内积空间M与Rk同构，M也是完备的子(x Xo,y)kA)i 1li空间，根据投影定理， x在M上的正交投影x0唯一存在.定理2.4.3设xn

11、为内积空间X中任意的一组线性独立系，则可将人用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系en，且对任何自然数n，有kn)kn) KXn证明令e料，则有ie 1解 x2 (x2 ,e)e v2，即 v2e ,V2M1 ,得 V2 X2 (X2,e)e .令e2i：2，则有e2e，且有1两X2记 M2 spanjGG,将 X3 在e2化：、1 , X2 (X2,e)e Ml© .V2 x1M2 上做正交分解 X3 (X3,e)e (X3,e2)e2 V3 ,则 V3 0 及V3M 2 ，得 V3X3V3(X3,e)e1 (X3,q)q，可令 e3，从而治llV3 IIx3是e,e2,e3的线性组合，q是nn(n)(n)k Q，耳k Xk ,k 1k 1同时 spanfe,巳,L ,q