2020届浙江省长兴、余杭、缙云高三下学期模拟数学试题(解析版)

1、努力的你，未来可期！2020届浙江省长兴、余杭、缙云高三下学期模拟数学试题一、单选题1 .已知全集。=123,4, A = 1,2, 8 = 2,3,贝！J(Q,A)03=()A. 2B. 3C. 1,3,4 D. 2,3,4【答案】D【解析】先根据补集的运算，求得Q/A,再结合并集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =1,2,3,4, A = 1,2, 8 = 2,3,可得 QA = 3,4,所以(QA)U 8 = 2,3.4.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运 算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2 .设x$R,则“设&

2、gt;4”是“2* >4”的()条件A,充分不必要B,必要不充分C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】先化简条件结论，再判断结果即可.【详解】9 >4 即 xv-2或x>2, 2">4即工>2,因为x < -2或x> 2推不出x> 2 ,但x> 2能推出x V 2或x> 2 ,故“炉>4”是“2、>4”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题.3 .已知i为虚数单位，复数z满足z(li) = 4+6i,贝上的共枕复数7为()A. -1 + 5/B. 1-5/C,

3、-1-5/D. 1 + 5/【答案】C【解析】先求z,再求N精品努力的你，未来可期!【详解】解:因为Z =4 + 6i(4 + 6i)(l + i)(l-i)(l + i)精品所以= -l 5i，故选：C.【点睛】考查复数的运算以及共轨复数的求法，基础题.4 .（ + 1）（x7）'的展开式中的的系数为（）A. 1B. -9C. 11D. 21【答案】C【解析】分析：根据二项式定理展开即可，可先求出（X-1）5的X3和x$的项.详解：由题可得（X if 的 X3 项为：C；X3（-1）2=1OX X5项为：C>5（-1）°=X5, 然后和（丁+1）相乘去括号得/项为：1

4、0/+金=比5,故（/ + 1）（工一1）5的展 开式中的X、的系数为11，选C.点睛：考查二项式定理的展开式计算，属于基础题.x+y-2>05 .若实数x,满足0GW3,则Z = x + 2y-5的最大值与最小值的和为（）0 <）< 3A. 一3B. 1C. 3D. 4【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域，观察图形可得出最值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图，可知A 3,0 ,B 2,0 ,C -1,33,3 ,7 5Z = x+2y-5可化为 > =-弓工+彳+5 , 22 217 5观察图形可知当直线、=-5工+ 3+5过。时，人工=4, 22 2

5、当直线 y = 5 X + ； + ；过 4 时，Zmin = 3 ,所以Z = x + 2y - 5的最大值与最小值的和为1.故选：B.【点睛】本题考查几何法解决线性规划问题，属于基础题.6 .已知随机变量J的分布列如下，则。传）的取值范围是（）20-2P£ 41a24【答案】DB. 0,3【解析】利用概率之和等于1，概率都大于0,列不等式组，可以得出。=/?,且-<a<-,将。(4)用。表示出来，利用函数的单调性即可求出。修)的取值范同【详解】由分布列可知：2,解得：a = b.-<a< 42b + ->040(4)=(2 + 2/"

6、63; + (0 + 2)2X(：一)+ (-2 + 切 x(； + ” =(2 + 2") x； + (0 + 2“y x(；- +(-2 + 2</)- x； + ”-4a2 + 4a + 3对称釉为。©在一生单调递增,1Qa = 一 时。(彳)=Y4? +4a + 2 = j” =_!_时£)(4) = 2+4 + 2 = 3,23所以故选：D【点睛】 本题主要考查了离散型随机变量的方差，同时考查了分布列的性质，属于中档题.7 .设/(”，g(x)分别为定义在-万,句上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x) = 2eAcosx (为自然对数的底数)，则

7、函数y = /(x)-晨行的图象大【解析】根据函数的奇偶性可求出/(x) g(x) =2cosx,再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果.【详解】 因为 / (x) + g (M =次'cosx,所以/ (t) + g (t) = 2e-Y cos(-x) .即一/(x) + g(x) = 2H' cos(x)，所以 /(x)-g(x) =2 cos x因为尸-寸，当A0.01时，*。，所以C,D错误.又,2(sinx + cosx)y =二4,所以x = £为极值点，即B错误. 4故选：A.【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图

8、象上的应用，属于基础题.8 .设小生为双曲线C： 土2(* >。)的左、右焦点'双曲线。与圆/+),2="的一个交点为尸，若叫H口的最大值为4点,则双曲线的离心率【答案】C【解析】设夕rcos/9,rsin<9，则由双曲线的焦半径公式可得四二四 =2ccos。， 即可得出最大值，求出J【详解】 设尸rcosrsinO，则由双曲线的焦半径公式,.|Pf| + |P/s| e' rcosO + a + e-rcos0-a -有 l_LLJ_d = 2ecos<9，当6 = 0时，+取得最大值2e=40 即e = 2&r故选：C.【点睛】本题考查双

9、曲线的性质，考查能半径公式的应用，属于中档题.9 .在正方体A8CO A£GA中，点M，N ,。分别在AA-42，D,C,±, Man c p为A4的中点，T7= = 2,过点4作平面夕，使得8G，a,若平面 /VAB£2 =加，a fl平面MNP = n ,则直线?与直线所成的角的正切值为（）A.逑B.还C.显777【答案】A【解析】根据题意作出草图，利用补正方体AA/K-A""",作平面A/NP与正方体A88-44GA的截而，根据线而垂直的判定定理，可证平而43/为平面。，所以直线GF为，直线“7为机，又HIUAB, NAPG为直

10、线机与直线所成的角, 在用AGf'中求解即可.【详解】 如图，补正方体AA/K-A8J",作平面MNP与正方体A8co-48£乌的截面,设AB = 3,易知AE = A/ = 2.易证BC1 1 AB , BIcAB = B ,所以平面AB/4,即平而45/为平面。，所以直线GF为，直线印为 ？，SHIHAB, NAFG为直线机与直线所成的角.设 AG = x,x + y = 3yf2GH = y ,而AEGs/HNG,所以, x 27=5在 RtAAGF 中,tan ZAFG =逑AG _ _V _ 3y/2 .F27故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与平而的垂

11、直的性质，以及异而直线成角和空间想象能力，属于难 题.10.已知直线/与单位圆。相交于4（x，%）,两点，且圆心。到/的距离为W，则上+川+区+为|的取值范围是（） 2D. 72,73【答案】A【解析】根据题意，用特例设出符合条件的直线与圆的方程，再联立解方程组逐项排除可得答案.【详解】圆的方程为/ + y2=.圆心到直线y =百X+ G的距离为g,交于4（公）与3（%，%），由y =+与炉+ y2 = 1联立得玉=7X = °或则肉 + y,| + |x2 +>,2| =! < y/2 ,排除 BD：圆心到直线y = -x +亚的距离为g,交于4（%,y）和 22V6+

12、V276-72设y = _X +独与/+ '2=联立得(4 或4-42V6-V2 V6 + V2则|+凹|+区+ >'2| =卡> 括，排除D，故选:A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，举例逐项排除.二、填空题H.已知I, 均为正实数，向量"=(2,3), h =(1,4),若疝+ /岳与力市+ 4店共线，则竺=. n【答案】叵 2【解析】由向量的共线定理可得必+ ,区=九(2疝+4Z)，列出方程求解.【详解】若+ nb 与 Ina + 4mb 共线，则存在唯一实数2 ,使得ma +怎=X(2疝+ 4?Z?) = 2Ana + 4Amb ,因为向量刁

13、= (2,3), 6=(1,4),所以向量6, 6不共线，m = 24一万.<，解得="，则生=土. =427n 2故答案为：立.2【点睛】本题考查向量共线定理，以及向量相等的性质，属于基础题.12 .在 A3c中，角% 3, C所对的边分别为叫 b, c,已知csin A +J记cosC = 0 ,则角C=,若NAC3的角平分线交48于点。，且CO = 1,贝h心的最小值是【答案】手：4【解析】根据正弦定理可得sinCsin A +JJsin AcosC = 0，从而求得tanC = -"，即可求出角c；利用s418cnS&tm+SAse即可解出。8=/?

14、+ 4,再结合基本不等式，即可求出的最小值【详解】因为csinA +JSacosC = 0,所以 sinCsin A + V?sin AcosC = 0，又 sinAwO ,可得 sinC + /cosC = 0,即 tanC = -JJ ，因为0<Cv/r,所以C = E.3如图，即 LcxsinlZO ='xlxsin6。+-ax 1 xsin60 222整理得：ab = b+a ,所以ab之2而，解得病之2所以，心24.故答案为：?：4.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用而积相等，属于中档题13 .某宾馆安排4、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1

15、人，则共有 种不同的安排方法,（用数字作答）【答案】15。【解析】先将五人分成三组，每组至少1人，然后将三组分配给三个房间，利用分步乘 法计数原理可求得不同的安排方法种数.【详解】将五人分成三组，则三组人数分别为3、1、1或2、2、1,则分组方法种数为C"等= 25,a2再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为25x = 150.故答案为：150.【点睛】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.14 .已知等差数列可的前/项和S“ > 0 ,且满足S2 s3 Sn =（片-。（d-。-也一。，（之 2且 eV ）

16、,若叫（,zeND,则实数，的取值范围是.【答案】（。,1s【解析】先利用己知条件解得,，再利用等差数列公式构建关系，得到%,""之间的 n关系，解得参数，再计算/的取值范围即可.【详解】当"之2时，S? 邑S” =T）（a； T）（片-/）©邑 （叱一）设% =4+5-1）4,因为S“>0,所以一得 4 = 42Tq+（T）”】Tn 一1一1”2又因为子 故 1而 + - - = d2n + 2ad -d2 +-, y = 2ad d21; pd =(T2a； T = 021 21-11或 ，若"=0时，由5,=2伍2一。知d = -

17、d = UV -7224=2(42-1) = 0,则=o, s=o,与己知矛盾，因此，/=o不符合题意，舍去，/.an = «, + (/?-1)J = y/t + -_-<,得f<l,又4=>01.22故答案为:（0,1.努力的你，未来可期！【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前前项和公式的综合应用，属于难题.三、双空题15 .我国南北朝时期的数学家祖随提出了著名的祖咽原理：“寨势既同，则积不容异”. 意思是如果两等高的几何体在同高处截得的两几何体的截面面积相等，那么这两个几何 体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖唯原理的条件，若枝锥的体积为3江，圆锥 的侧

18、面展开图是半圆，则圆锥的底面半径长是,母线长是.【答案】耳2抠【解析】易得圆锥的体枳为3%，由圆锥的侧而展开图得圆锥的母线长是R半圆的弧 长是/rR,圆锥的底而周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是，则 R = 2r,圆锥的高力=J(2疔一产=而,由此能求出圆锥的母线长.【详解】现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体枳为3江，圆锥的体积为3乃，圆锥的侧而展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R,半圆的弧长是4R, 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是，则得到2m = /?，；? = 2r,工圆锥的高力=一产=，圆锥的体积V

19、Z =1x%，x技 =3乃， 3解得，=",则圆锥的母线长为R = 2，= 2j?，故答案为：、万，2JJ.【点睛】本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面而间的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力，属于中档题.16 .某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积是,最长的棱的长度是.【答案】y6【解析】利用三视图作出原几何体，既可以求解.【详解】原几何体如图：AB图为一个底面为等腰直角三角形直三棱柱截去一个三棱锥得到,AC = A3 = 4且AC_LA8,侧棱44=4, BE = 2所以体积为，x4x4x4 Ix'x4x4x2 = , 23 23最长的棱为GE

20、= J(4何+2, = 6，QA故答案为：y： 6【点睛】本题主要考查了由三视图求原几何体的体积和最长的棱长，关键是找出原几何体，属于 中档题.(xnx-2x x > 017 .已知函数/(x) = ， , 5 八，若/=0,则实数。的值是：尸十x x<04若f(X)的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y = -2的对称点在直线"一），-3 二 0上，则实数片的取值范围是.5（3、【答案】/或0或一7一8二U（l，+s）4I4；【解析】（1）分段讨论代入。即可求解：（2）求出直线人一），-3 = 0关于直线> =-2对称的直线/的方程"+ y + l=。，

21、然后将问题转化为直线/与函数丁 = /（工）的图象有两个交点，构造函数lnx + -2,x> 0i “5将问题转化为直线丁 二 一攵与函数y = g（x）的图象有两x + + ,x<0x 4个交点，利用数形结合思想可求出实数k的取值范围.【详解】（1）当a>0时，f（a） = ana-2a = 0,解得 = /,当时，/（。）=/+*。=0,解得。=0或一）， 44综上，"=J或。或一与： 4（2）直线依一）3 =。关于直线> =-2对称的直线/的方程为履_（-4一y）-3 = 0,即Zx + y + l = O,对应的函数为y = -"一 1.所以

22、，直线/与函数y = /（不）的图象有两个交点.对于一次函数y = -履-1,当x = o时，y = -i,且/（。） = 0.则直线/与函数y = /（x）的图象交点的横坐标不可能为。.当xrO时，令一米一1 = /（犬），可得必=/（"） + 1 X此时，令g（x） = "hlnx + -2,x>0 x15 八x + + ,x<0x 4I 1（当 x>0时，g'（x） = = = -,当 Ovxvl 时，g'（x）vO；当x>l 时，g'（x）>0. x 尸 片此时，函数y = g（x）在区间（0,1）上单调递减,在

23、区间0，+8）上单调递增，函数y=g （%）的极小值为g（l）=-l；1_ 1当x<0时，g'(x) = l 一7 = -.当xv-l时，g'(x)>0：当TvxvO时, 厂 厂g'（x）v。.此时，函数y = g（x）在区间（口,一1）上单调递增，在区间（1,0）上单调递减, 函数）'=g（X）的极大值为g（T）=.作出函数y = k和函数），=g（x）的图象如下图所示：33由图象可知，当一出_1或一时，即当女三或%1时，直线y = -Z与函数 44y = g（x）的图象有两个交点.因此，实数k的取值范围是（s,|）u（L+s）.故答案为：/或&#

24、176;或一：；（一°°,：jua,+s）.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解 题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用， 属于中档题.四、解答题此设函数十） = 80 +升cos 2K并+ 的最大值为L精品努力的你，未来可期!(I)求。值及/(X)递增区间；(ID若将函数y = /(x)图象向右平移2个单位，得到函数)，=g %的图象，求满足g(x°)g ,%+12三的实数%的集合6)2【答案】(【)a = 0； k加一冷，k九+三(ZreZ)： (II) 1乙1乙九 k九, 一

25、九 攵江, 丁< x + < xiA W + 3 k e Z)，12 2° 42【解析】(【)先利用三角恒等变换化简整理/(X)，再利用最大值求参数，并求递增区间即可：(H)先平移得到函数y = g X解析式，再解不等式即可.解(I ) /(x) = cosj 2x + - -cosj 2x- + x 6) k2 )= sin! 2x + +，A f(x) = + a = 1, ：( 3八小令2x +工 t + 2k7r, + 2k ,k wZ得xw 322，乃、-5力./(x) = sin 2x + g的单调递增区间ki一三 (ID向右平移看个单位，得g(x) = si

26、n卜"(/用卜+看=sin2xu-sin2A0+j = l1 .)o.勺05/3 .-=sin" 2x0+ sin 2x0 cos2x0 = -sin 4x0 - g(x°)g(xo+6 卜 2 即-sin4" 6 )+4 2解得三十 2k乃W 4% 三W2+ 2kkk eZ ,666a = sin 2x + - cos2x + a227 = 0:一k7r- - .k7V + ,k eZ1212j乃+, 仕 wZ)； 1乙2| x IH = sin 2x ,I 6J 3j 2 0 .csin 2x0+ sin 2x0 cos 2x()"与 +

27、；=飙(4%一看卜5：2'得.，。飞上2'【详解】故实数小的集合为什行十3玉)1 +刁-水七2>.【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的应用，属于中档题.19.如图，在多面体ABC。石尸中，四边形A3CO为菱形，且的。= 60。，在四边形 ADE尸中,AF/DE, ZDAF=90° , AD = DE = 2AF = 2, BE = 20, M为AB 的中点.(1)证明：直线尸M平面E4C；(2)求直线B/与平面E4C所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析：(2) 1.【解析】(1)连接3。交AC于S,取AE中点R，连接心,证明Mf7/SR即可；(2)取中

28、点N,连接CV,则面7/CN,连接8。交AC于S,连接成，作£>G_LSE 于G, NHLSEH,可知NNC”为直线CN与平面E4C所成角，求出其正弦值即 可.【详解】(1)如图，过E作EQA。，与A/延长线交于Q, 丁 AF/DE,可知四边形AOE。为平行四边形，连接80交AC于S,连接。交AE于心 连接RS,9： MS = -AD9 MSHAD， 2 AQ = 24尸=2, .在"£> 中，FR = -ADt FRHAD , 2:.MSUFR、MS = FR, 四边形MFRS是平行四边形，.Mf7/SA.又 MF（Z 平面 £4C, SR

29、 u 平面 EAC, 直线FM平而石4C（2）取OE中点N,连接CN，则8尸 CN,连接80交AC于S,连接ES，,/ DE2 + BD1 = BE2.； BD上DE,又AO _L £>石，I. OE !平而 A8CQ,.4。=平面438,.4。_1。£,又AO_LO8，BDcDE = D, ；. AC 上平面 BDE, 平而8£应_1_平面4CE，作。G_LSE于G, NH LSE干H,则_1_平面E4。， . ZNCH为直线CN与平面EAC所成角，等于直线BF与平面EAC成角8,nh = ；dg = 士, cm = B： sin 0 = sin 4NCH

30、 =.CN 5【点睛】本题考查线而平行的证明，考查线面角的求法，属于较难题.20 .已知正项数列%满足：卬=1,%=7 ,且=(仁1)二、”+1)( eN , ，*+1/? > 2 ).(I)证明：数列q+1是等比数列，并求%的通项公式：(H)令q=q-8 + 3,求数列同的前项和丁“.t4/?2+2/? + 2-2h+1,h<5【答案】证明见解析，f g_2+94,>5,【解析】(I)由递推公式证明&m+1乂1+1)=卜，“+1即可，然后由条件计算出公比，即可求出通项公式：(2)先求出卜“的前项和为S“，可知当<5时，当5时，T=Sn-2S5.【详解】(I)由

31、题知：.(%+1) = &+1)2-(+1)+ 1) + (% +1) = (。”+ if 即(4+1 +1)(% +1) =(4 + 1)2所以数列q+1是等比数列设等比数列q+1的公比为夕，/=片 = 4，又.9>0,. q=2,.%+1 = 2”，.。”=2"-1(II)因为% =勺-8 + 3 = 2"-8 + 2,设qj的前项和为S”,则S” =2 1 - 2" n -6-8/7 4-2+1-2二2.一42一2一2所以当<5时，%<0,当 >5时，的>。，所以当W5时，Tn= -S = 42 + 2 + 2-2川精品

32、当 > 5 时，Tn= S“- 2s5 = 2-4/r-2n + 94故数列除|的前项和1_ '42+2" + 2-2"%45- 2"*-422 + 94,>5 【点睛】 本题考查等比数列的证明，考查含绝对值数列的前项和的求法，属于中档题.21 .产是抛物线C：x2=2N>0)的焦点，"是抛物线C上位于第一象限内的任意3一点，过三点的圆的圆心为。，点。到抛物线C的准线的距离为二. 4(1)求抛物线C的方程；(2)若点”的横坐标为近，直线/：y =匕+ !与抛物线c有两个不同的交点A, B,/与圆。有两个不同的交点。，E,求当时，IABF+IOEF的最小值.13【答案】(1)x2=2y (2) y3【解析】(1)根据抛物线上的点到抛物线的准线的距离为二列方程求解：4(2)联立直线与抛物线的方程得到一元二次方程，利用韦达定理结合点到直线的距离 公式与两点间距离公式、函数的性质求解最值.【详解】/ (1)抛物线C:/=2py(p>0)的焦点F ,设。(/)，由题意可知 = ，4则点。到抛物线C的准线的距离为0+? = g4=W=w，解得 =1,于是