材料力学弯曲变形要点

1、第六章第六章弯曲变形6-1概述6-2挠曲线的近似微分方程6-3用积分法求弯曲变形6-4用叠加法求鸾曲变形6-5简单超静定梁6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 6T概述 6-1概述6-2挠曲线的近似微分方程1 .基本概念挠曲线方程：w = hx)挠度牝截面形心 在昉向的位移W向上为正转角8：微面绕中性轴转过的角度。8逆钟向为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：6 k tan 6 =-dx 6-2挠曲线的近似微分方程2：挠曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响1 M(x)推导弯曲正应力时，得到：p(x)Ml6-2挠曲线的近似微分方程由数学知识可知:.W( r) 01+(

2、略去高阶小量，得1 ,d2y=T p dx-所以土心二M(x) dx2 - EL6-2挠曲线的近似微分方程由鸾矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：dzw M(x)EL由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。 6-2挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程为:d2w M(x) 一 SBdxi EI.7 r=M(x)dx-积分一次得转角方程为:E/ 牛=EI)，M (x)dx + C再积分一次得挠度方程为:EI.w = j | A/(x)dxdx+Cx + Dto 6-3用积分法求弯曲变形积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件

3、确定。位移边界条件光滑连续条件=0WA =A-弹簧变形6-3用积分法求弯曲变形例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的/已知。1）由梁的整体平衡分析可得：/心=，/”=（T），=尸 G）2）写出通面的弯矩方程M(x) = -F(l-x) = F(x-l)3）列挠曲线近似微分方程并积分 2（br再积分一次积分一次 EI = EI0 = - F（x-/）2+C dx 2EIw = F(x-iy +Cv + ) 6 d 4)由位移边界条件确定积分常数 x=0,d=0.x = 0, w J = 0代入求解 C = _l Fl1 D = -F/265)确定转角方程和挠度方程76= 1

4、.(.。21尸小22Elw = - F(a-/)j-FI2x + -F136266）确定最大转角和最大挠度 一。练上器132）弯矩方程段:并求最大转角和最大挠度,6-3用积分法求弯曲变形例2求梁的转角方程和挠度方程, 梁的/已知，/nt+dab.解1）由梁整体平衡分析得：“4 2 4 /CB段:3）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：0 VEI ， = M (Xj) = -tjdxI小匕 门.八, 、 Fb、 cEI= E!O(x)=尸+ C.A 12/ 117=E：+g*+a笫段： a W x2 W /El - -2- * Af (x,) x2 - F(x, - a) dx； */IS6-3

5、用积分法求弯曲变形 4丁由边界条件确定积分常数位移边界条件r=0,tv,（0） = 0（/=/,iv,（/） = 0光滑连续条件fXj =x2 =4,伍（。）=6式。）I X, = x2 = a. %（a）=吗（a） 代入求解，得rc. =c,=-+ I 1266/D, =D, =05）确定转角方程和挠度方程a6/1X-3 I 世，&6/ O = =_入二_耳一厂I 九 % T&, 卜K| T r x2r u 4- b 176-3用积分法求弯曲变形积分法求变形有什么优缺点? 6-4用叠加法求弯曲变形设梁上有个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x),转角为0 ,挠度为帆则有：d2wEl , =

6、EIwf9 = M(x)dv若梁上只有第7个载荷单独作用，鼓面上弯矩为此，转角为4 ,挠度为叱，则有：Elwf, =M(x)由弯矩的叠加原理知：M(x) = M(x)，二1所以, E/fw： =/(w,=M(x) /w，m口京 ,6-4用叠加法求弯曲变形炉=（%）”由于梁的边界条件不变,此/=1/=1重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和0 这就是计算鸾曲变形的叠加原理。216-4用叠加法求弯曲变形例3已知简支梁受力如图示， 八八国均为已知。求C戳面 的挠度，c；制面的转角解1）将梁上的载荷分解wc = wc + wC2 + wC38 =

7、 % +%2 + “832）查表得3种情形下逑面的 挠度和感面的转角3）应用鲁加法，将简单载荷 作用时的结果求和5。： 54 讨 384E/ 48E/ 16/II3X4E7（1）6-4用叠加法求弯曲变形例4已知：悬臂梁受力如图 示，q, /, 7均为已知求C 威面的挠度”和转角出1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布教荷延长至梁的全长，为 了不改变原来栽荷作用的效 果，在四段还需再加上集 度相同、方向相反的均布栽 荷. 6-5简单超静定梁1 .基本概念：超峥定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言，多余的约束

8、超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统2 .求解方法：解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变 形协调条件一由物理关系建立补充方程利用 静力平衡条件求其他约束反力。 6-5简单超静定梁4）由物理关系，列出补充方程F（2a）2、14/“（”） 二 .，门% 2）二.,6EI3EI8 k3（“），=8 0 3EI所以4）由整体平衡条件求其他约束反力 6-5简单超静定梁例6梁48和勿在8处蛟接，4 C两端固定，梁的抗鸾刚度 均为7, F= 40kN, q = 20kN/m.画梁的剪力图和弯矩图。解从8处拆开，使超静定结构变 成两个悬臂梁代入得补充方程：”

9、4， Rx43 Fx22 .0 Rx43 十 -(3x4-2)-f：l El 6/El3(40x10 20 x442 1 6 x 428 x 43=-8.75 kN确定4端约束力汇户,=0, FH = 0匕=/ + ,1 =4x20-8.75 = 71.25 kNZ W,=0, M、+4qx2 川% =0吃=x2-4分= -4x20x2-4x(-8,75)=-I25 kN m31 6-5简单超静定梁确定8端约束力2Z=0, & +6一尸=。Fc=F -r肥=4()-(-8.75)=48.75 kN=(). Mc + IF -4Fr = 0Afc=4Fr-2F= 4x(-8.75)-2x40 =

10、 -115 kN.m6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3）采用超静定结构限 6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1 .刚度条件建筑钢梁的许可挠度:机械传动轴的许可转角:250 1000I3(XX)精密机床的许可转角:500035例7已知钢制圆轴左端受力为尸6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施=20 kN, (I I m, 1=2 m, 后206 GPa.轴承班的许可转 角勾=0.5 根据刚度要求 确定轴的直径4解根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承8处转角不超过许用数值。1)由挠度表中查得承受集中我荷的外伸梁8处的转角为:6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施A 你 1 厘2)由刚度条件确定轴的直径：的 4旬例7已知钢制圆轴左端受力为尸=20 kN, (i= I m, 1=2 m.斤206 GPa.轴承班的许可转 角，=0.5 根据刚度要求确定轴的直径4Fla 180 1 Ffaxl80W4 Ffaxl803E/ J3EnG64 3Ed 164Ffaxl80 _ j64 x 20xl(Vx2xlxl80X 执 N 3 x 206 x 10 x / x 0.5= lllx0_3m = lllmm 6-6梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.提高梁刚度的措施1）选择