15全概率公式和贝叶斯公式精编版

1、第第1章章 概率论基础概率论基础 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是事件的概率，这种方法就是 全概率公式全概率公式 第第1章章 概率论基础概率论基础 1.5.1 1.5.1 全概率公式全概率公式 引例：引例： 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装

2、有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某某人从中人从中随机取一罐随机取一罐，在从中，在从中任意取出一球任意取出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率. 1 2 3 如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？ 1.5.1 全概率公式全概率公式 定理定理1.2 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为? ? ,A1,A2, ,An为为E的的一组事件，且满足：一组事件，且满足： (1) A1,A2, ,An两两互不相容，两两互不相容， P(Ai)? ?0 ,i = 1,2, ,n； (2) ? Ai? ? ?i? ?1n则对任一事件则对任一事件B，有，有 (1.7)

3、 P(B)?P(Ai)P(B Ai) (1.7)称为称为全概率公式全概率公式 i?1n称满足称满足(1)和和(2)的的A1，A2，An为为完备事件组完备事件组 或或样本空间的一个划分样本空间的一个划分 AA21A3?An? ?1An1.5.1 全概率公式全概率公式 证明：证明：因为因为 B? ?B? ? ?B(? Ai)? ? (BAi)i? ?1i? ?1由于由于A1，A2，An两两互不相容，两两互不相容， 由有限可加性由有限可加性 nnn P(B)? ?P(? (BAi)? ? ?P(BAi)i? ?1i? ?1n由假设及乘法公式得到由假设及乘法公式得到 P(B)? ? ?P(BAi)?

4、? ?P(Ai)P(BAi).i? ?1i? ?1nn 利用全概率公式求事件利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完的概率，关键是寻求完备事件组备事件组A1，A2，An; 寻求完备事件组寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致相当于找导致事件事件B发生的所有互不相容的事件发生的所有互不相容的事件 1.5.1 全概率公式全概率公式 再看引例再看引例 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随机取一某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率

5、求取得红球的概率. 解解 记记 Ai = 取到的是取到的是 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致的发生都会导致B 发生，发生， A1,A2,A3构成完备事件组构成完备事件组 3i? ?11 2 3 由全概率公式得由全概率公式得P(B)? ? ?P(Ai)P(B|Ai)依题意依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, P( Ai )=1/3, i=1, 2, 3 代入数据计算得：代入数据计算得：P( (B) ) 0.639 . 1.5.1 全概率公式全概率公式 【例【例1.15】假设有假设有

6、3箱同种型号零件，里面分别装有箱同种型号零件，里面分别装有50件、件、30件、件、40件，而且一等品分别有件，而且一等品分别有20件、件、12件件和和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率；先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率两次取出的零件均为一等品的概率 解解: 设设Ai =“任取的一箱为第任取的一箱为第i箱零件箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第第j次取到的是一等品次取到的是一等品”，j = 1，2 由题意知由题意知 A1、A2和和A3构成完备事件

7、组，构成完备事件组， 1 且且 P(A1)? ?P(A2)? ?P(A3)? ?31.5.1 全概率公式全概率公式 2012 (1) P(B1|A1)? ? ?0 .4 ,P(B1|A2)? ? ?0 .45030 24P(B |A )? ? ?0 .613 40由全概率公式得由全概率公式得 P(B1)? ? ?P(Ai)P(B1Ai)i? ?131? ?(0 .4? ?0 .4? ?0 .6)? ?0 .467 .31.5.1 全概率公式全概率公式 2 (2) 因为因为 C 20P(B1B2|A1)? ?2? ?0 .1551 C50 C? ?0 .1517P(B1B2|A2)? ?CCP(

8、B1B2|A3)? ?C224240212230? ?0 .3538由全概率公式得由全概率公式得 P(B1B2)? ? ?P(Ai)P(B1B2Ai)31? ?(0 .1551? ?0 .1517? ?0 .3538)? ?0 .223i? ?11.5.1 全概率公式全概率公式 引例：引例： 某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率. 这是这是“已知结果求已知结果求原因原因”的问题是求一的问题是求一1 2 3 个条件概率个条件概率. 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：下面就介绍为解决这类问题而引出的公式

9、： Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 1.5.2 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理1.3 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为? ? ，B为为E的事件，的事件，A1，A2，An为完备事件组，且为完备事件组，且P(B) 0， P(Ai) 0，i = 1，2，n，则，则 PP(AAiiBB) ? ? ?P(AA)PP(BBAA)? ?Pii? ? ?11iiiinnPP(AAii)PP(BBAAii),ii ? ? ?11,22,?,nn (1.8) (1.8)式称为式称为贝叶斯公式贝叶斯公式 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 证

10、明证明 由由条件概率公式条件概率公式、乘法公式乘法公式及及全全概率公式概率公式知：知： P(BAi)P(AiB)? ?P(B)? ?P(B Ai)P(Ai)? ?P(B A )P(A )jjj? ?1n,i? ?1 ,2 ,?,n. 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观它是在观察到事件察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原发生的每个原因的概率因的概率. 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 再看引例再看引例 某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自求该球是取自 1号罐的概

11、率号罐的概率. 解解 记记 i = 取到第取到第 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球取得红球 1 2 3 1,2,3是完备事件组是完备事件组 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得P(A1|B)? ?3i? ?1P(B|A1)P(A1)ii? ?P(A)P(B|A)其中其中 P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4, P(|3 )=1/2, P(i)=1/3, i=1,2,3 代入数据计算得：代入数据计算得： P(A1|B)? ?0 .3481.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 特别有：特别有： 设事件设事件A、B为试验为试验E的两事件，由于的两事件，由于A和和 A 是一个完备事件组，若是一

12、个完备事件组，若P(A) 0， )? ? 0， P(AP(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为，贝叶斯公式的一种常用简单形式为 P(AB)? ?P(A)P(BA)P(A)P(BA)? ?P(A)P(BA)1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱只，假设各箱含含0，1，2只残次品的概率分别是只残次品的概率分别是0.8，0.1和和0.1，某，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻

13、璃杯，否则退回，试求：买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率顾客买下该箱的概率? ?； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率概率? ? 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 解：解：设设B =“顾客买下该箱玻璃杯顾客买下该箱玻璃杯”， Ai =“ 抽到的一箱中有抽到的一箱中有i件残次品件残次品”，i = 0,1,2 (1) 事件事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有箱中没有残次品、有1件残次品或有件残次品或有2件次品。件次品。 显然显然A0，A1，A2是完备事件组是完备事件组

14、 由题意知由题意知 P(A0)? ?0 .8 ,P(A1)? ?0 .1 ,P(A2)? ?0 .1444CC4C12201918 P(BA0)? ?4? ?1 ,P(BA1)? ?P(BA )? ? ?,? ?244C20C205C2019由全概率公式得由全概率公式得 ? ? ?P(B)? ?P(A0)P(BA0)? ?P(A1)P(BA1)? ?P(A2)P(BA2)? ?0 .941.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 (2) 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 ? ? ?P(A B)? ?P(A0)P(BA0)0P(B)0 .8? ?1? ? ?0 .850 .941.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 【

15、例【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95对自然人群对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？率为多少？ 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 解解: 设设A =“某人确有肝炎某人确有肝炎”， B =“ 某人做此试验结果为阳性某人做此试验结果为阳性”

16、； 由已知条件有由已知条件有 P(BA)? ?0 .95 P (B A ) , P ( .005 A) ? ?0? ?0 .95从而从而 P(A)? ?1? ?P(A)? ?0 .995 P(BA)? ?1? ?P(B A)? ?0 .05由贝叶斯公式，有由贝叶斯公式，有P (AB)? ?P(A)P(BA)P(A)P(B A)? ?P(A)P(BA)0 .005? ?0 .95? ? ?0 .0870 .005? ?0 .95? ?0 .995? ?0 .051.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 本题的结果表明，虽然本题的结果表明，虽然 P(BA)? ?0 .95 , P(B A)? ?0 .95

17、这两个概率都很高但是，即试验这两个概率都很高但是，即试验阳性的人有肝炎的概率只有阳性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意这如果不注意这P(BA)和和 一点，将一点，将 P(AB)搞混，将会得出错误搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果诊断，造成不良的后果 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，事件在贝叶斯公式中，事件Ai的概率的概率P(Ai)，i = 1，2，n，通常是人们在试验之前对，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习的认知，习惯上称其为惯上称其为先验概率先验概率若试验后事件若试验后事件B发生了，在发生了，在这种信息下考察这种信息下考察Ai的概率的概率 P(Ai|B),i? ?1 ,2 ,.,n它反映了导致它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常发生的各种原因的可能性大小，常称为称为后验概率后验概率 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯公式是英国哲学家贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于于1763首先提出首先提出的，经过多年的发展和完善，