常微分方程试题及答案

1、常微分方程试题及答案第十二章常微分方程（A）一、是非题1 .任意微分方程都有通解。（X ）2 .微分方程的通解中包含了它所有的解。（X ）3 .函数y = 3sinx-4cosx是微分方程y" + y =。的解。（O ）4 .函数），= /./是微分方程y-2）/ + y = 0的解。（X ）5 .微分方程W-lnx = O的通解是尸;（inxF+C （C为任意常数）。（O ）6 . y' = siny是一阶线性微分方程。（X ）7 .+不，不是一阶线性微分方程。（O ）8 . ）'"一2），' + 5），= 0的特征方程为/一2，+ 5 = 0。（

2、 O ）9 .半= 1 +、+）+冲2是可分离变量的微分方程。（O ） ax二、填空题1 .在横线上填上方程的名称（y-3）-ln xdx-xdy = 0是可分离变量微分方程。（4，2 + 4/x+（y-x2y>/y = 0是可分离变量微分方程。是齐次方程。 dxxa/ = ysin x是一阶线性微分方程。），” +）， 2y = 0是二阶常系数齐次线性微分方程。2 .+ sin冷，'-x = cosx的通解中应含 3 个独立常数。3 .）严=63的通解是）口+。/ + 0,。7. 3，=所满足的微分方程是），'+），2=。 X8. < =卫的通解为），= C?。

3、X9. 空+包=0的通解为一+产=。）'X10. = （x + l）L其对应的齐次方程的通解为.v = c（x + l）2.ax x + 1.111. 方程*y'一（1+/卜=0的通解为），=以理。12. 3阶微分方程）严=/的通解为）,=+ Qi + C2x + C, o三、选择题1 .微分方程切"My'）、），” =（）的阶数是（d ）。A. 3B. 4C. 5D. 22 .微分方程黄-/）,一 ,/=1的通解中应含的独立常数的个数为（人）0A. 3B. 5C. 4D. 23 .下列函数中，哪个是微分方程分，-2xdx=0的解（B ）。A. y = 2x

4、B. y = x2 C. y = -2x D. y = -x4 .微分方程V = 3/的一个特解是（B ）oA. y = x3 +1B. y = （x + 2）C. y = （x + C）2 D. y = C（1 + x）35 .函数），= 8SX是下列哪个微分方程的解（C ）。A. y' + >' = 0B. y' + 2y = 0C. yn + y = 0D.yH + y = cosx6 . ），= 6"+。2，'是方程¥"7 =。的（A ），其中g, C2为任意常数。A.通解 B.特解 C.是方程所有的解D.上述都不对7

5、 .），' =），满足），1皿=2的特解是（B ）。XA. y = ex +1 B. y = 2ex C. y = 2-e2 D. y = 3- eA8 .微分方程），” + ），= sin x的一个特解具有形式（C ）。A. y = a sin xB. y =6/ cosxC. y = x（asinx + bcosx）D. y, = acosx + bsinx9 .下列微分方程中，（A）是二阶常系数齐次线性微分方程。A. yn -2y = 0B. y1" -xy' +3y2 =0C. 5y"-4x = 0D. /-2/ + l = 010 .微分方程y&#

6、39;-y =（）满足初始条件y（O）=l的特解为（A ）oA. e、 B. ex- C. ex+ D. 2-ex11 .在下列函数中，能够是微分方程），" +,，=。的解的函数是（C ）。A. y = 1 B. y = x C. y = sin x D. y = ex12 .过点（1,3）且切线斜率为2x的曲线方程），=），（x）应满足的关系是C ）<>A. y' = 2x B. y" = 2x C. y1 = 2x , y（l） = 3D. y" = 2x, y（l）= 313 .下列微分方程中，可分离变量的是（B ）o+）= eB. 3

7、=4一斓一）（3方是常数）xax-sin y = xD. yf + xy = y2 - ex14 .方程y'-2y = 0的通解是（C ）。A. y = sin x B. y = 4- elxC. y = C elx D. y = ex15 .微分方程虫+生=。满足）=3=4的特解是（A ）« y xA. x2+y2 =25 B. 3x + 4y = C C. x2 +y2 =C D. x2->'2 =716 .微分方程半-L），= o的通解是y = （ B ）o dx xC1A. B« Cx C« + C D. x + C xx17 .微分

8、方程，'+），=。的解为（B ）。A.， B.C. /+6-、 D. -"18 .下列函数中，为微分方程x"x+Wy = 0的通解是（B ）。A. x + y = C B. x2 +y2 =C C. Cx + y = 0 D. Cx1 +y = 019 .微分方程八=0的通解为（A ）,A. y1 -x = C B. y >x = C C. y = x + C D. y = -x + C20 .微分方程cosydy = sin的通解是（D ）。A. sin x +cosy = CB. cosy - sin x = CC. cosx-sin y = CD. co

9、sx + sin y = C21 . ）= / '的通解为 y = （ C ） oA. -Lr B.C. e-x +C1x + C2 D. -e-x+C1x + C222 .按照微分方程通解定义，），"=由”的通解是（A ）。A. -sinx + CjX + QB -sinx + G+gC. sinx + Crv + C2D. sinx + Cx +C2四、解答题1 .验证函数y = c 63+ e-2x（c为任意常数）是方程3=e-2' _ 3），的通解, dx并求出满足初始条件），1.= 0的特解。2 .求微分方程1心一"+ '一厂"=

10、"的通解和特解。 ）=0 =1解：=X = C，2x2+y2=l7-3 .求微分方程半=2+tan上的通解。 dx X X解：sin = Cx 0x/ = i + Z4 .求微分方程y x的特解。Jk=2解：y2 =2A-2（lnx + 2）o5 .求微分方程）/ +广8$工=6-仙的通解。解：y = e-y + c)6 .求微分方程半+)= sinx的通解。 dx x解：y = (sinx-xcos x + C) x7 .求微分方程1(工+ 1»-2y-(x+i)”。的特解。jk=i"o 、31 "I )解：>=q(x+i)"q (x+

11、i)-8 .求微分方程y = 2五满足初始条件x = 0, y = l,)，' = 3的特解。 厂+1解：y = Xs +3x+9 .求微分方程y = 2»，满足初始条件工=0, y = l, y' = 2的特解。解：arctan)'= x + ?或了 = taix +7 ：10 .验证二元方程f-町+)，2=C所确定的函数为微分方程 &-2)犷=21_)，的解。11 .求微分方程("+'' -"口+(靖+、+/"，= 0的通解。解：(+ip-i) = c12 .求华-y tanx = s8X , 丁1*闻

12、=0的特解。 C<wA解：y =cos X13 .验证)，=cosm,乃=sinm都是y" + G、=。的解，并写出该方程的 通解。14 .求微分方程)，' =的通解。 X解：y = Cx1 -x1 Inx15 .求微分方程了+与+/ =0满足初始条件M1）=O的特解。 X解：y = -ex X16 .求微分方程勺-y = （x+l）3的通解。 dx x +1解：-2号止+ C 乙17 .求微分方程小八-4"）=0满足条件），（0）=1的特解。1 + y + x解：2（y3 T3）+302-2） = 518 .求微分方程）， + ），'-2），= 0的

13、通解。解：y = Qex+C2e-2x19 .求微分方程）'"+ 2）/ + 5），= 0的通解。解：y = eA（C| cos2x + C2 sin 2x）20 .求微分方程），"+ 4）/ + 4），= 0的通解。解：y = （Cl+C2xy2x21 .试求y" = x的经过点M（0,l）且在此点与直线y = ： +1相切的积分曲线。解：y=%+:1+1 o 2（B）一、是非题1 .可分离变量微分方程不都是全微分方程。（X ）2 .若y/x）,），2（外都是丁' +尸（力， =。3的特解，且M（力与为线性无关，则通解可表为）6=>1（6+

14、。民（工）一乃（刈。（。）3 .函数），=6祈+63是微分方程），（4+4» + 44），=。的解。（o）4 .曲线在点（x,y）处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是），'=/+。仁是任意常数）。（X ）5 .微分方程.>，' ="满足初始条件认力=。的特解为，'=:小+1。（X ）二、填空题1 .乃=cosx与乃=sinx是方程>，* + > = 0的两个解，则该方程的通解为 y = C, cosx + C2 sin x。2 .微分方程y"-2/-3y = 0的通解为y =。广、+ Qe33 .微分

15、方程），"-2/ + y = 0的通解为 y =（C, + C2x）ex o4 .微分方程r = jx的通解是y = ： / + G/ + gx + c3。85 .微分方程y* = y'的通解是v = G。' + C?。6 .微分方程g = 2冲的通解是），= C。ax三、选择题1 .微分方程y"-4）/+4），= 0的两个线性无关解是（C）0A. e"与 2 e" B.口与x。/"C. e"与x e" D. e'4 e2x2 .下列方程中，不是全微分方程的为（C ）。A.（3/ + 6xy?2lx+

16、（6x2y + 4y2ly = 0B. e dx+ （x-ev 2yly = 0C. y（x- 2y）clx-x2dy = 0D. 6-y"x-xdy=03,下列函数中，哪个函数是微分方程$（，） = -g的解（C ）oA. s = -gt B. s = -gr C. s = -gt2 D. s = gt2224 .下列函数中，是微分方程），"-7）/ + 12y=。的解（C ）。A. y = x3 B. y = x2 C. y = e" D. y = e2x5 .方程（1-/卜-外'=0的通解是（D ）«IQ1-lx2A. y = Cyl-x2

17、 B> y = ' tv = - -x3 +Cx D. y = Cxe 2Vl-x226 .微分方程满足），k=l的特解是（A ）«A. In2 x = ln2 yB. ln2x + ln2 y = C. in2 x + ln2 y = 0D.In2 x = In2 y + 7 .微分方程(1 + 1" + (1 +)，2疝=0的通解是(a )。A. arctanv + arctanv = C B. tanx +tanv = CC. lnx + In y = CD. cotx + coty = C138 .微分方程)，” = sin(-x)的通解是(C )oA

18、. y = sin(-x)C. y = -sin(- x) + C1x + C29.方程3，'+)，= 3的通解是(Ar3A. y = +3 B. v = - + C xx四、解答题B. y = -sin(-x)D. y = sin(- x)+Cx + C1)o ccC. )' = 3 D. y = 3 xx1 .求微分方程 + 9y =(24x- 6)cos3x - 2 sin 3x 的通解。解：y =(G +x)cos3x +(C2 + lx1 x)sin x3x9 .求微分方程y"-7)+ 6y = sinx的通解。解：y = Ce('x + C2ex

19、+ -(7cos x + 5sin x)10 求微分方程(3-2xy)/y =。的通解。 r解：y2 _母 _ / = 一 x(C)一、是非题1 .只要给出阶线性微分方程的个特解，就能写出其通解。X2 .已知二阶线性齐次方程)， +p(。)，'+。(6)，=0的一个非零解F，即可 求出它的通解。(O ) 二、填空题L 微分方程 y" + 4y + 5y = 0 的通解是 y = elx(C cosx + C2 sin x) o2 .已知），= 1,），= x, y =/某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 y = e2x (C| cosx + G sin x)。

20、3 .微分方程)严-2yf + 2y = ex 的通解为 y = ex(C cosx + C2sinx + l)o三、选择题L微分方程"! = /可的通解为（）。C) C. arctan x + Cx2.微分方程了-丁 = 1的通解是（）。3.A. y = C ex B. y = C/+lC y = CeK -1D.y = (C + l)-exB.xj）。C. y = l- xD.4.微分方程半=2+tan）的通解为（dx x x）。A. sin = Cx B. sin = xxCxC. sin - = CxyD.V 1sin =y CxA. arctan x + C B. (arc

21、tan x + x57 z 75.已知微分方程丁'+（小=（丹咬的一个特解为=9',+ 1）"则此微分方程的通解是（ ）oA.7 .7(1V +T(X + 1)J a+1)- 3n C 2，岸 B.GT可+打(”+»77D. (x + 1)7 C. C(X+1)2 +-j-(x + l)2+-(x + 1)26.微分方程r- y = / +1的一个特解应具有形式（式中a ,b为常数）（）oA. aex +b B. axex + b C. aex +bx D. axex + bx四、解答题I.设），=/是微分方程冲'+（x）y = x的一个解，求此微分方程满足条件 y lv=ln2=。的特解。解：代入y =，到方程+= x中，得(x) = xe-x-x原方程为个'+ (xv -x)- y = x丫 = /(1 +。尸)，y+(-i).y = iIV x = In 2 , y = 0 C = e 2 <&g