2021届高考数学人教B版一轮考点测试47空间向量及其应用229

1、考点测试47空间向量及其应用本考点是高考必考知识点，考查题型为选择题、填空题、解答题，中 高考概览等难度1 .了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2 .会简单应用空间两点间的距离公式3 . 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空考纲研读间向量的正交分解及其坐标表示4 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5 .掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直第0.步 狂刷小题基础练一、基础小题1 .给出下列命题：若向量明力共线，则向量明力所在的直线平行；若向量明力所在的直线为异面直线，则向量明力一定不共面；若三个向量明 b, c两两共面，则

2、向量明 b, c共面；已知空间的三个向量明九c,则对于空间的任意一个向量P总存在实数3y, z 使得 p = X” + yb + zc.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案A解析“与共线，心力所在的直线也可能重合，故错误；根据自由向量的意义知，空间任意两向量明力都共面，故错误；三个向量明 b, c中任两个 一定共面，但它们三个却不一定共面，故错误；只有当叫 b, c不共面时，空 间任意一向量P才能表示为P=必+地 + zc,故错误.综上可知四个命题中正确 的个数为0,故选A.2 .已知“ 二 (2,1, -3), 5 = (1,2,3), c = (7,6, 2),若a

3、, b, c 三向量共面， 则 2 =()A. 9B. -9C. -3D. 3答案B解析 由题意知 c =xa + yb ,即(7,6, 2) =x(2,l , - 3) + y( - 1,2,3),所以 f2x-y = 7, <x+2y = 6, 解得 2二一9.L - 3x + 3y = x,3 .分别以棱长为1的正方体48。-4丛。1的棱AB, AD,所在的直线为X, 丁，z轴，建立空间直角坐标系，则四边形448山的对角线的交点的坐标-2 1 - 2O 1-2-n-V2 B.a答案B解析 设所求交点为。，在空间直角坐标系中，点4(OQO), !(0,0J), 5(1,0,0),则彳

4、& = (1,0,0),箱 二(0,0,1),故历二 (g, 0,5，即对角线的交点坐标为1 2, 0, 2P故选B.4 .若直线/的方向向量为“=(1。2),平面a的法向量为 = (-2,0, -4), 则()A. III aB. /J_aC. /CaD. /与a斜交答案B解析 .4二(1,0,2), 二(一2,0, -4),即二一加，故 a/，./JLa.5 .。为空间任意一点，若次二+"访+ "沅，贝IJA, B, C,尸四点()A. 一定不共面B. 一定共面C.不一定共面D.无法判断答案B31 i1 - 81 - 83-4 且B, C四点共解析因为标为+ W

5、历+ W沆, 面.6 .在空间直角坐标系中，已知48C的顶点坐标分别为A(l, -1,2), 8(5, -6,2), C(l,3, -1),则边 AC 上的高 8。=()A. 5B. 4C. 4D. 24答案A解析 AD = aAC, AC = (0,4, -3),则病=(0,4尤-32),初二(4, -5,0), 瓦) 二 (-4,42 + 5, -32).由公筋二0,得2二-2 所以及)=-4, 1, yj,所以 I丽1二5.故选A.7. 如图所示，在正方体A8CO-48C0I中，若点E为8c的中点，点尸为 的中点，则异面直线A方与。石所成角的余弦值为()C.答案BD.解析 如图，以A为原

6、点，AB所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，44所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系,设正方体ABCO-Ai'。的棱长为2,则 4(0, 0,0),产(2,1,2), G (2,2,2), E(2,1,0), ,舒二(2,1,2), C?F=(0, - 12),设异面直线A尸与GE所成角为区nI 八 L4F-GEI 54则2嬴而3异面直线A厂与GE所成角的余弦值为半，故选B.8. 如图所示，在三棱柱ABC 48cl中，底面ABC, AB = BC = AAi, NA8C = 90。，点E,尸分别是棱A8, 8囱的中点，则直线EF和BQ所成的角是答案60。解析 如图所示，建立空间直角坐标系

7、.由于AB = 8C = A41,不妨取/W = 2, 则 E(0,l,0),尸(0,0,1), Ci(2A2), 8(0,0。)，所以存=(0, - 1,1),比1 = (2,0,2),所ef bC i以cos <EF, BCi>二_ 二二5,故直线痔和BQ所成的角是60。.IEFIIBC1I卜8、局考小题9. (2014.广东高考)已知向量二(1。-1),则下列向量中与a成60。夹角的 是()A. (-1,1,0)B. (1, - 1,0)C. (0, - 1,1)D. (-1,0,1)答案B解析 经检验，选项B中向量(1, -10)与向量“二(1,0, 一 1)的夹角的余弦值

8、即它们的夹角为60。.故选B.10. (2015浙江高考)已知s, 02是空间单位向量，的9二;.若空间向量力满足 b e 二 2, b ei = |,且对于任意 x, y R, b - (xe + yei)b 一 (xoei + yoe2) = 1 (xo, yo R),贝lj xo =, yo =, b =.答案1 2 2啦解析 .0, 62是单位向量，e-e2 = J,.cos但，e2> =；,又。y 但，e?>W180。，. 3, e2> =60。.不妨把幻，e?放到空间直角坐标系Qxyz的平面xOy中,设幻二 (1,0,0),再设08 = /> = (?，再由

9、9 二2得7 二 2, =小，贝= 小,r).而+)6是平面xOy上任一向量，由心- (xei +yei)知点8(2,小，r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1,则5 = (2,5, 1), . .族1 = 2姆,又由历一(如+将2)1力力一。,+)/2)1= 1知XM +y(逐2 = (2,小,0), 解得 xo= 1, yo = 2.三、模拟小题11. (2019成都诊断)如图所示，在平行六面体A8CO-A山中，加为4。与8。的交点.若前=”,历5,后尸。，则下列向量中与成相等的向量是()HA. 一于+乎+ c答案A解析 由题意并根据向量运算的几何运算法则，得嬴=丽1+而=京|十)+ C

10、.(AD - AB) = c + /( 一 “)= 一 乎 十12. (2019 厦门模拟)已知 = (2+1,0,2), = (6,2/- 1,22),若 a 11b,则;I 与" 的值可以是()2*A1-2B.C.3,2D. 2,2答案A解析 因为 a II b,所以 b = ka ,即(6,2 - 1,22) =42+ 1,0,2),所以解得,3-1一2- - 一一或6 = k(A + I), 2 一 1 二 0, 22 = 2k,13.(2019-河南商丘高三质检)在空间四边形ABCD中,若A8 = ( - 3,5,2), CD =(-7, -1, -4)，点心歹分别为线段8

11、C, A。的中点，则前的坐标为()A. (2,3,3)B. (-2, -3, 一3)C. (5, -2,1)D. (-5,2, -1)答案B解析 因为点M f分别为线段8C, 4。的中点，。为坐标原点，所以存二而 -OE, OF = OA + db), OE = OB + OC).所以寿二；屈 + 历)一+ 衣)1 . /,一5, -2) + (-7, -1, -4)=5(一4, -6, 一6)二(2,-3, 一 3).14. (2019大庆一模)如图，在大小为45。的二面角A -砂-。中，四边形ABFE,四边形COE/都是边长为1的正方形，则8,。两点间的距离是（）A.WC. 1答案D解析

12、因为防二肝+龙+防，所以I防F = BF2 + IF£I2 + IEDI2 + 2BF-FE +2FEED + 2BFEb= + 1 + 1=所以I茹 1= 3-2.15. （2019攀枝花模拟）正方体A8CO-4丛。功的棱长为明点M在AG上且刀力二；庆1, N为囱8的中点，贝业加1为（）A叵“B色/A 6 C'D 6 ”.一行C返C.北一。D七一ao3答案A解析 以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dr”，则4ao0）, G（0, a, a）, a, ?.设 M（x, yt z）,因为点 M 在 4cl 上且屐f =颉3 ,所以（x-a,f, f）,所以疝v16. （20

13、19东北三省高三第三次联考）已知四面体ABC。中，平面A3。_L平面BCD, ZX/W。为边长为2的等边三角形，BD = DC, BD±CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案坐解析 如图所示，取的中点E,连接4M因为aAB。是等边三角形，且 平面A8O1平面8c。，所以4E1底面BCD如图建立空间直角坐标系,贝IJ 4(0,0, 曲,8(1,0,0), C(-1,2,0), D(-1AO),所以公二(-1,2, -回 防二(-2。0),cos公 BD> _ACBb_2 LACIIBbl 2X2 4第2.步精做大题能力练一、高考大题1.(2019浙江高考)如图，已知三棱

14、柱A8C-4SG ,平面4ACG JL平面ABC, /ABC = 90。，ZBAC=30°, AiA=AiC = AC9 E,b分别是AC, A向的中点.(1)证明:E-IBC;(2)求直线EF与平面A IC所成角的余弦值.解解法一：(1)证明：如图1,连接因为A3=AC,三是AC的中点，所以4ELAC又平面4ACG1平面ABC, 4EU平面4ACG,平面4ACG n平面A8C 二AC,所以4E1平面ABC,所以4E18C又因为 4F/A8, ZABC = 9009 故 8C_LAiR又 AiEGAiF = Ai,所以 8C_L 平面 AiEF因此E/IBC用I（2）如图1,取8c的

15、中点G,连接EG, GF,则四边形EG/i是平行四边形.由于 AiEl平面 A8C,故 AiEJ_EG,所以平行四边形反汨41为矩形.由（1）得8C_L平面EGEh,则平面4山C_L平面EGFA,所以EF在平面A出C上的射影在直线4G上.连接4G交所于点O,则Z EOG是直线EF与平面AxBC所成的角（或其补角）.不妨设AC = 4,则在 RtZXAiEG 中，AiE = 2® EG = p4G 、/13由于。为4G的中点，故EO = OG = h =亍，EO2 + OG2 - EG2 3所以 cos/ EOG =2EO OG 二 5,3因此，直线七月与平面A/C所成角的余弦值是不解

16、法二：证明：连接小石.因为AA=AC, E是AC的中点，所以4EL4C又平面4ACG1平面ABC, 4EU平面4ACG,平面44CG n平面ABC 二AC,所以A|E_L平面ABC如图2,以点E为坐标原点，分别以射线EC,时为），轴、z轴的正半轴，建 立空间直角坐标系Exyz.用2不妨设 AC = 4,则 凤0,0,0), 4(0,0,25),不小,1,0), 5】(小,3,2小),C(0,2,0).因此,EF =由存册=0,得E/18C设直线EF与平面A山C所成角为夕由可得比=（-小，1,0）, 疵 =（0,2, -2回设平面A/C的法向量为 = （x, y, z）.BC n = 0,- x

17、 + y = 0,由_得V厂CACn = 0,lEF-wl 4八 3 = 7,所以 COs6 = E.取 二（1,小，1）,故 sin8=lcos （EF,EFn ""3因此，直线Ef与平面A/C所成角的余弦值是亍2 . （2018全国卷III）如图，边长为2的正方形A8C。所在的平面与半圆弧也所 在平面垂直，M是也上异于C,。的点.（1）证明：平面AMOL平面8WC;(2)当三棱锥M - ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.解(1)证明：由题设知，平面CMO1平面48C。，交线为CD因为 8clC。，BCU平面 A8CZ),所以 8C_L平面 CM。

18、，故 8C_LOM.因为M为上异于C,。的点，且。C为直径，所以。Ml CM.又8CGCM=C,所以。M_L平面BMC而OMU平面AMD,故平面AMD 1平面BMC.(2)以。为坐标原点，醇的方向为入轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系 Dxyz.当三棱锥M-ABC体积最大时，M为a的中点.由题设得。(。,。,0), 4(2,00), 8(220), C(020), M(o, 1,1),瓶=(-2,1,1),猫= (020), DA = (2,0,0).一 2x + y + z = 0, 2y = o.设 = (x, y, z)是平面MAB的法向量，则= 0, _ 即， n-AB = 0,

19、可取 =(1,0,2).D4是平面MCO的法向量，因此,cos <n, DA> ="当二噂'sin <n, DA>MDA所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是手.3 .(2018全国卷II)如图，在三棱锥P 48C中，AB=BC = 2&, PA = PB =PC = AC = 4,。为4c的中点.(1)证明：PO_L平面ABC;(2)若点M在棱8c上，且二面角M-%-C为30。，求PC与平面以M所成 角的正弦值.解(1)证明：因为以二PC二AC=4,。为AC的中点，所以POL4C,且尸。 二 2yj3.连接08.因为A8 = BC =坐A

20、C,所以48C为等腰直角三角形，ROB1AC,1OB = AC=2.由 PO2 + OB2 = PB2,知尸。_L OB.由 PO1OB, PO1AC, ACQOB = O,知尸。_L平面 ABC(2)如图，以。为坐标原点，改的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系Oxyz.由已知得 0(0,00), 8(2,0,0), 4(0, 一 2,0), C(0,2,0), P(0,0,2小),则成二 (0,2, 2小)，取平面布C的法向量历二 (2,0,0).设 M(a92 一 4,0)(04W2),贝IjAM = (,4 一0).设平面以M的法向量为 = (x, y, z).由Q = o

21、2y + 26z = 0, ax + (4 - a)y = 0,可取 n =(小(- 4),小u, 一 a),-一2品a - 4)所以 cos08, /> = 一/、；2yj3(a - 4厂 + 3。- + cr由已知得Icos <OBt n> I=净.、2 小 la-41.所以 213(a - 4)2 + 3/ + a? 24解得4= - 4(舍去)，4=g.而2(83 434所以=- 3)-又无二(0,2, -25)，所以cos 屁，邛.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为坐二、模拟大题4. (2019宿迁模拟)如图所示，在四棱柱ABC。-48C0I中，底面为平行四 边形

22、，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。.()求AG的长；求证：4Gl8。；(3)求85与4c夹角的余弦值.解 (1= a, AD = b, AA =c,则 lai = I6I = Icl = 1, <a, b> = <.b, c=<c, a> = 60°.所以“力二8c二c4 =5.lACil2 = (“ + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + be + ca) = 1 + 1 + 1 + 2X2 + 2)所以二班，即AG的长为的.(2)证明：因为公 1=“ + +c, BD = b-a.所以ACrBO = (a +b

23、+c)(b - a)= ab + b2 + bc - lai2 -a b -ac-be-ac=Iftllclcos60° 一 k/llclcos60O = 0.所以 cos <BD, AC)BDrAC y6IBDilLACI所以彷，所以AG1.8D (3)因为诟 i =b + c-aAC = a+b, 所以I防il二近，IACI = V3, BD AC = b +c - ay (a + ) 二2 一 ir + a c + bc - 1.所以BDi与AC夹角的余弦值为平.5.（2020衡阳高三阶段测试）如图，正ABC的边长为4, CO为A8边上的高,E,6分别是AC和8c边的中点

24、，现将aABC沿 8 翻折成直二面角试判断直线A8与平面OE尸的位置关系，并说明理由；BP在线段8C上是否存在一点P,使401。£?如果存在，求出元的值；如果 不存在，请说明理由.解(1)AB II平面DEF,理由如下：在48C中，由E,尸分别是AC, 8c的中点，得EFIIAB.又因为ABQ平面。ER EFU平面DEF,所以A8/平面DEF.以点。为坐标原点，直线。8, DC, D4分别为x轴，)，轴，z轴，建立空 间直角坐标系(如图所示)，则。(0,00), 4(00,2), 8(2,00), C(0,2小,0), E(0,小, 1),故无=(0, y/3, 1).假设存在点P(X, >2)满足条件,贝lj4P = (x, y, - 2), AP-DE =-2 = 0,所以y=¥.又丽二(x-2, yO