2021届江苏省南通市高三上学期新高考期中备考数学试卷Ⅰ(解析版)

1、2021届江苏省南通市高三上学期新高考期中备考数学试卷I数学1注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1-i31 .

2、若复数Z = r为纯虚数，则实数”的值为()2-aiA. -1B. 1C. -2D. 2【答案】Dr , ,. . . .11 + i (l + i)(2 + ai)2 + t/i + 2i ci 2 c/ + (2 +，/)i “【解析】由Z = 7 = -一7 =-一-=-,一；= 1一；为纯虚数，2 2-6/1 (2 41)(2 +，“)4 + -4 + 2 4=0可得，解得4 = 2.2 +。2.已知集合人=#3 + 2)。-2)l,eN),若“1止=0，则。的可能取值组成的集合为()A. 0B. 1C. 0,1D.(-qoJ)【答案】A【解析】A = x (x + 2)(x-2) 5

3、) = xI -3 x 1, e N = xl 4 + 2,4 N,因为AC|B = 0,所以4 = 0.3.为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随 机抽取500名客户的评分,评分均在区间客0,100上,分组为50,60), 60,70), 70,80), 80,90),90,100,其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为()A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间50,60)上的频率为1 - (0.

4、007 + 0.02 + 0.03 + 0.04) x 10 = 0.03,所以评分在区间50,60)上的客户有0.03x500 = 15 (人)，即对该公司的服务质量不满意的客户有15人.4 .已知定义在R上的奇函数/)在(8,0)上单调递减，且/(-1) = 0,若 = /(log38),2h = f(-o24), c = /(2J),则，b, c 的大小关系是()A. cab B. abc C. acb D. cb1,所以。=/(2?)-log3 8-log2 4 = -2 ,所以所以ccacb.5 .已知四边形ABC。中，E ,尸分别为BC, CD的中点，AB = 2DC , 而丽=0

5、 ,若I而1=21高1=2,则A户。左=(【答案】A【解析】依题意，可知四边形A8CD为直角梯形，AB/DC , ABAD,且历=1 而+ L（而 + 反）=-1而+ 魂 AF = AD + -AB,22244所以衣诙=（而+ 1丽）（一，而+巳而）=-1 而。+分而。=1. 42421646 .已知在正方体A8CD 4与GA中，N分别为4。，AC上的点，且满足4Q = 3MO,AN = 2NC,则异面直线MN与所成角的余弦值为（）A 2/5/途口5534【答案】A【解析】取线段A上一点石，使A = 2。，连接ME, NE,如图所示,a 7口、1CN DE 1AN = 2NC,所以=一,AD

6、AC AD 3所以 NECD, NE/AA, 又CDCQ,所以易知NMNE为异而直线A/N与G。所成的角.21设该正方体的棱长为3。，则EN = 8 = 2a，所以在Rt/XMNE中，MN = 1ME? +EN? =+(2a=国,所以 cosNMNE = 5 = * =拽MN岛 57.已知双曲线=的渐近线分别为6一点A是，轴上与坐标原点。不重合的一 点，以04为直径的圆交直线人于点。，B,交直线人于点。，C,若218cl= JJlQAl,则该双曲线的离心率是（A.正或出 B. 2C.空或2 D. 633【答案】c【解析】由题意，不妨设=)：y =上X,a a设ZB(9A = e,则tan =

7、2, a设1041= 4?。0),由218cl=6lOAl,得 14cl=2右，由对称性知，BCL0A,且线段8c被04平分.如图，设与04交于点O,则1801=/，连接48.由于。4为直径，所以08_LA3,则 I AB 1=1 OAI sin 8 = 4?sin 0 , I OB 1=1 OAI cos 0 = 4? cos 8,由 I OA I I BD 1=1 CM I - I AB I,得 4?尸=16ni2 sin 6cos 0 , sin 26 =, 2因为0v6v2,所以28 = 2或26 =，即6 =巴或26 = 2.23363又tan。= 2 ,所以2 = a a 3 a当

8、=*-时，a2 = 3b2,则 / = 3/ 3cJ ,离心率 0 =匚二； a 33当 9 = 时，b2 = 3a2,则 6/=32,离心率 e = 2.8 .若函数/(x) = tx + /-2恰有两个不同的零点，则实数用的取值范围为()A. (l,e)B. (1,1)C. (L+O0)D.(e,+oo)ee【答案】c【解析】由题意知，fx) = -m + ex-2,当加40时，/(x)0,函数/(x)在R上单调递增，没有两个不同的零点：当团0时，/(X)= -加+ e=0,得/ = 2+lnz,v-2x2 + nm, fx) 0 函数 /(x)在(2 + In in, +s)上单调递增：

9、x2 + nm, fx) ,2 + lnm)上单调递减,故/(x)在x = 2 + lnz处取得最小值，所以/ (2 + Inm)= 一加(2 + Inm) + elnm 1, e所以用的取值范闱为(L+8). e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9 .已知(3/+,)4的展开式中各项系数之和为A ,第二项的二项式系数为8,则()xA. A = 256B. A + B = 260C.展开式中存在常数项D,展开式中含/项的系数为54【答案】ABD【解析】令x = l,得(3/ + 1

10、)4的展开式中各项系数之和为44=256,所以A = 256, X选项A正确：(3/+ 1)4的展开式中第二项的二项式系数为C； =4,所以8 = 4, 4 + 8 = 260,选项B正确： x(3/ +1)4的展开式的通项公式为二| =/)4Tdy =31丁-, XXQ令8-3r= 0,则/=-，所以展开式中不存在常数项，选项C错误： 3令8 3r= 2,则r=2,所以展开式中含/项的系数为34C：=54,选项D正确.10 .已知函数/(x) = sin(3x + 2)(00,所以勺叫一葭标声=2空=心券, 由于不。，所以 -）；上）/（土产）恒成立,故A不具有性质了:对于B,函数/（x）的

11、定义域为R,取N=1-JL &=1 + &，则%产=1,2所以/（为）=/（）=/（然乜）= 1，所以/（号土）=/至;/ （3成立,故B具有性质T；对于C,函数/*）的定义域为（0,+s）,当七0, 90时，=22/它， 由于内工，所以 ： Jx】Y，易知/（X）= lgx在（0,+s）上单调递增， 所以/（Z）+ /（）V /（上上士）恒成立,故C不具有性质了：22对于D,函数/（x）的定义域为R,易知为奇函数, 取勺=_2。0,则211 = 0,所以/(占)+ /(再)= 0，/(4) = /(0) = 0,22所以/(a也)= ./%)-9成立,故D具有性质7. 22第II卷三、填空题

12、：本大题共4小题，每小题5分.13.周髀算经记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把 可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6, 7, 8, 9, 10这5个正整数中随机抽 取3个数，则恰好构成勾股数的概率为.【答案】10【解析】从6, 7, 8, 9, 10这5个正整数中随机抽取3个数，可能的情况有(6,7,8), (6,7,9), (6,7,10), (6,8,9), (6,8,10), (6,9,10), (7,8,9), (7,8,10), (7,9,10),(8,9,10)共 10 种,其中恰好构成勾股数的情况有1种，为(6,8,

13、10),所以所求概率为1014.已知6，F,分别为椭圆二+二=1(4人0)的左、右焦点，且离心率e = 2,点尸是椭圆上位于 r3第二象限内的一点，若凡是腰长为4的等腰三角形，则尺的而积为.【答案】V15【解析】由题意知2r = 4,则c = 2,c 2又e =,.。=3,由椭圆的定义得IP6 1 + 10居1=2。= 6,a 3又。大乃是腰长为4的等腰三角形，且点尸在第二象限，.1。入1=4, 1尸耳1=2,过鸟作5O_LP”于点。，则IPOI=1, ID/s 1=715,. /XPFE的面积为x 2 x 6= 厉.215 .已知正实数4,。满足。/(。+ 2b)=4 ,则4+Z?的最小值为

14、.【答案】2【解析】由，山2（。+ 2）= 4,得。（。+ 2与=：, b-故(a +0)2 =aa + 2b) + b2 = . + / 2=4 （当且仅当b =a = 2 疵时取等号）,所以。+人的最小值为2.16 .已知数列4的前项和为S”，且6=2, 47=!与+白，则S“ 二 22立，则实数/的取值范围为.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】+ 2（1-二），4,+s）T【解析】由=2, %- 1 = 1,所以数列%-1是首项为1,公比为L的等比数列, 2an = r +1， 2t八1 IS“ =%+/+ 4=+(1 + 耳 +至 + +1-F1-2= 77 + 2(1)又 nan

15、 =n + 所以;f 之 S“一= + 2(12）一（ +）=2（1 -券）恒成立.乙乙即d4(1 一2）,恒成立.令勾=黑，则%-，=n+2 n+ n2川 V 2r0,所以他是递减数列，所以022 sin(A 一 C) = 0，因为 0A兀，0C兀，所以一7T sin(A 一 C) = 0 ,因为0A兀，0C兀，所以一兀 sin(A-C) = 0 ,因为0A兀，0C兀，所以一ticA。 2),可得 = 2sg + 2( 3),一 S- S_ = 2(S_ 一 S,.)，所以 an = 2a”_i (n 3)，又42+4=24+2, % =2,所以或=4,所以2=2q,故4是首项为2,公比为2

16、的等比数列，故为=2.(2)由题意得打“一名“=1, %一%=2，所以“2一%1T=1 + 2，则41一/%-3=1 + 21，氏_3一3_5=1 + 22,，44 = 1 + 22, &-4=1 + 21所以41一4 =-1 +(2、22+ 27) = 一1 + = 2+一3(22),1 2所以 2一1 = 2 + 一 2(77 N 2),所以 b2n = 2 + 一 1( 2)，所以2 +&I = 2* +2-3( 2),易得A+层也适合上式,所以2的前10项和为4+h+4+瓦)=(22+23+.+ 26) + (1 + 1 +.+ 7) = 139 .19. (12分)在一场青年歌手比赛

17、中，由20名观众代表平均分成A , 8两个评分小组，给参赛选手评分, 下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：T组8.39.39.69.48.59.68.88.49.49.73组8.69.19.28.89.29.19.29.38.88.7(1)分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；(2)在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记X为这2个人评分之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)臬=9.1, 5/ = 0.266 ：%=9.0, sJ=0.056； 8组的评分更集中一些：(2)分布列见解析：EX=.

18、280【解析】(1)=-(83 + 9.3 + 9.6 + 9.4 + 8.5 + 9.6 + 8.8 + 8.4 + 9.4 + 9.7) =9.1：=_L(8.6 + 9.1+9.2 + 8.84-9.2 + 9.1 + 9.2 + 93 + 8.8 + 8.7) = 9.0.5/ = (8.3-9.1)2 + (9.39.1尸 + (9.7-9.1)2 = 0.266 ;sj =(8,6-9.0)2 +(9.1-9.0)2 + + (8.7-9.0)2 = 0.056 .根据方差的概念及实际含义可知，B组的评分的几种程度更高一些.（2）从3组评分中去掉一个最高分9.3,去掉一个最低分8.

19、6,易知X的所有可能取值为0, 0.1, 0.3, 0.4, 0.5.从8人的评分中任取2人的评分，共有C； = 28种等可能的结果,把8组成绩按照从大到小排成一列为8.7, 8.8, 8.8, 9.1, 9.1, 9.2, 9.2, 9.2,则 P(X=0) =C；+C；+C；_，p（x=o,i）=2828P(X=0.3) =2828P(X=0.4) =CR+C _ 8 _22828 7C；C；+CC _ 8 _22828 7Ct1 3P(X=0.5) = & = , 2828所以X的分布列是X 的数学期望EX =0xA + 0.1x- + 0.3xl + 0.4x- + 0.5x =-28

20、28 280X00.1030.40.5P528277n732820.（12分）如图，在多而体A3CQP中，AA3C是边长为4的等边三角形，PA = AC, BD = CD = 2,PC = PB = 4及，点、E为BC的中点、,平面8OC，平而ABC.（1）求证：。七平而P4C：（2）线段BC上是否存在一点丁，使得二面角丁一ZM 8为直二而角？若存在，试指出点了的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析：（2）当丁为线段8c上靠近点C的八等分点时，二面角7DA 8为直二面角.【解析】（1）因为BD = CD = 20, AA5C是边长为4的等边三角形，所以 BD2 + CD2 =

21、（275? +（2点尸=16 = BC2,所以3OC是等腰直角三角形，NBDC = 90。.又点E为BC的中点,所以OE_L3C,因为平面BQC_L平而4BC，平面6QCn平而ABC = BC,所以。石_L平面ABC.因为PC = PB = 46, PA = AC = AB = 4,所以 PA? + AC?=不+ 4? = 32 = PC2, PA2 + AB2 =42+42 =32 = PB2,所以R4_L4C, PAYAB,又 ACnA8 = A,所以 R4_L 平而 ABC,所以 DEPA,因为P4u平面P4C，QEu平而P4C,所以OE平面尸AC.Z轴，建立（2）存在满足题意的丁，连接

22、A以E为原点，EC, EA,石。所在直线分别为x, y, 如图所示的空间直角坐标系，设存在7（0,0）,使得二面角T DA 8为直二面角，易知一2W/IW2,X + Z = 0 岛+ & =0设平面84。的法向量为=（X，X，Z），则由丽= (2,0,2), 而=(0,-2/2),得V令Z = 1,得苔=-1, j| = 故=(-1,4/)：设平面74。的法向量为2=（4，%，Z2）,则由方=（九0,-2）, AT = （/l2/3,0）t无、- 24=。? J7 2 J3.二 ,令Z2=l，得左=一，%=二，故凡=（，=），1/看一2 底，2=0.4-3-2 32小节、x + 1 23由co

23、s %=4 33=0,得+ 1 = 0，故4 = 2,(7 R r3 42所以当丁为线段8c上靠近点。的八等分点时，二而角7 D4 B为直二而角.222221. （12分）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆G：5 +;=1和椭圆C）：二+二 cr b-厂 lracb0, a2=b2+c2, C., C）的离心率分别为q, %,且满足句：/=2:1 Q圆。2的右、下顶点，直线A3与椭圆C的另一个交点为。，且IP3I=1, IMN1= 6 2 = 2-2（1-1）2+| , 2乎，所以当1 = 4,即攵=1时，IMNI最大,且最大值为以2.22. (12 分)已知函数/(x) = xlnx a/+a,其中wR.(1)若/(X)在定义域内是单调函数，求。的取值范围；(2)当。