2021学年北京市首师大附中高二(上)月考数学试卷(附详解)

1、2021学年北京市首师大附中高二（±）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50 名同学按01，02,50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字 开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随 机数表的第1行与第2行）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62977424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676A. 24B. 36C. 46D. 472 . 一个容量为100的样本，其数据分组与各

2、组的频数如表：组别(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70频数1213241516137则样本数据落在（10,40上的频率为（）A. 0.13B, 0.52C. 0.39D. 0.643 .从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成 对”（） A.是对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.都是不可能事件4 .甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面 的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌， 并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件

3、中断游戏，以后 他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（） A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张5 .袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，取到1个 黑球得1分，设得分为随机变量八 则寸 8的概率P（， 8）等于（）6.如图，在等腰直角力8c中，斜边|就| = 6，且万？= 2前，点P是线段A。上任一点，则褊.万的取值范 围是()A. 0,4B. -4C 0点D.奈+87 .海伦公式是利用三角形的三条边的边长"，。直接求三角形而积S的公式，表达式为:S = Jp(p a)(p b)(p

4、 c)，p = 手;它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了 “三斜求枳术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公 式.现在有周长为10 +2b的力8c满足sinA： sinB： sinC = 2： 3：花,则用以 上给出的公式求得 A8C的面积为()A. 8/7B. 4«C. 6怖D. 128 .如图，在平行六而体力BCD-4m中，AC与3。的交点为O,点M在Bb上，且8M = 2MC。则下列向量中与血相等的向量是()A. -AB + -AD +-AArB. -AB + -AD + -AAr263

5、263C-超+乙而+三定D-布一布2632639.在空间直角坐标系。一工/中，记点4(1,2, 3)在xOz平而内的正投影为点从 则OB =()A. V5B. V10C. V1310.如图：在平行六面体力BCD ABiJDi中，加为4cl与 的交点,彳'；力8 =4，AD = AAi = 则卜列 向量中与嬴相等的向量是()A It . 1工 t A. -a+-b + cC. -1a-lb + cD. a-b+c第12贞，共16页17 . 2019年下半年以来，各地区陆续出台了 “垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃 圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境,

6、 某部门在某小区年龄处于20,45岁的人中随机地抽取x人，进行了 “垃圾分类”相 关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”， 得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.求x, y, z的值；(2)根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值(同一组数据用该区间的中点值 代替，结果按四舍五入保留整数)：(3)从年龄段在25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并 在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在30,35 中的概率.第#页，共16页18 .将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A： “两数之和为8

7、”，事件昆“两数之和是3的倍数”，事件C： “两个数均为偶数”.(I)写出该试验的基本事件空间。，并求事件从发生的概率:(U)求事件8发生的概率：(田)事件A与事件。至少有一个发生的概率.19 .某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了 “书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生 入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的 概率依次为八2 ，已知三个社团他都能进入的概率为卷，至少进入一个社团的 324概率为：，且m>n.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“书法”社的

8、同学增加校本选修学分1 分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增 加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分 的概率.20 .如图所示，菱形A5CO与正三角形BCE的边长均为2,它们所在的平面互相垂直，DF L平面A8C。且DF =技(1)求证：EF/TffH ABCDt(2)若乙力BC =乙BCE,求二而角力一 BF - E的余弦值.21 .如图，在长方体ABCD-A/iG%中，|力8| =4,AD =3, 144/ = 5, N为棱CG的中点，分别以AB, AD, AA1 所在直线为八轴丫轴、Z轴建立空间直角坐标系.(1)求点力

9、，B, C, D,力1，比，J,小的坐标；(2)求点N的坐标.第12贞，共16页答案和解析1 .【答案】A【解析】【分析】由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出 答案.本题主要考查的是简单随机抽样的随机数表法，依次选取要注意超范围和重复的要跳过, 是道基础题.【解答】解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43, 36,47, 46, 24.故选:A.2 .【答案】B【解析】解：由频率分布表知，样本数据落在（10,40上的频率为：区空至= 0.52.100故选：B.由频率分布表计算样本数据落在（10,40上的频率值.本题考查了利

10、用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题.3 .【答案】A【解析】解：从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件.故选:A.利用对立事件、互斥事件的定义直接求解.本题考查对立事件、互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题.4 .【答案】A【解析】【分析】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获 胜的概率，为中档题.由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局, 用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，

11、乙）， （乙，甲），（乙，乙）.其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率.【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜, 于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）.其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是：，乙获胜的概率是44所以甲得到的游戏牌为12 X1=9,乙得到圆心牌为12 X 1 = 3；44当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌， 故选A.5 .【答案】B【解析】解：袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分

12、为随机变量已由题意得得分小于8分的只有两种情况：取到1红3黑，计6分，取到4黑，计4分，根据互斥事件概率得：则寸 > 8的概率P（，> 8） = 1 - P = 6） + PR = 4） = 1 -色芋= b故选：B.由题意得得分小于8分的只有两种情况：取到1红3黑，计6分，取到4黑，计4分, 根据互斥事件概率得：则q> 8的概率PR > 8） = 1 - P（e = 6） + PG = 4）.本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题.6 .【答案】B【解析】解:AB = AC = 3应，布就=0, -， »

13、;, -1 f - -1, o > -1 ,AD =AB + BD = AB + -BC = AB + -AB) = -AB+-AC, 3333设= a而 =«病+ 就，则而=/_就 =u宿+ (2-1)就， 3333.-.AP - CP = (-AB+AC) yB + (1- 1)AC=沿- 1)就2 + 竽获2 = 10A2 -62,v 0 < A < 1,.当工撩时，荏取得最小值一看当;I = 1时，荏石?取得最大值4.故选：B.设赤=2万，用漏，前表示出刀，扇，得到前方关于；I的函数，根据;I的范围计算函数的值域得出答案.本题考查了平而向量的基本定理，数量积

14、运算，属于中档题.7 .【答案】C【华析】解：sin4： sin& sinC = 2： 3： V7,a： b： c = 2： 3：近，/8C周长为 10+ 277，即a +b + c = 10 + 2行，a = 4，b = 6, c = 2p7， p = -6+-7 = 5 + 近，248。的面积S = J(5 + V7)(l + 6(巾-1)(5 -V7) = 673-故选：c.由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可.本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了 计算能力和转化思想，属于基础题.8 .【答案】C【解析】解：在AOBM中

15、，OM = OB + JM, »1 1»»7*?*9 »* 而OB =3DB = (48力D), BM =-4D'=二(4D + 力H),Z Z333一一 t 1 -9?1 1,7' OM = -(AB - AD) + j(AD + AAf) = -AB +-AD + jAA1.故选：C.利用向量的加减法运算的三角形法则，结合数乘运算，即可解决问题.本题考查空间向量的线性运算的几何意义及应用.属于基础题.9 .【答案】B【解析】解：根据题意，点4(1,2, 3)在xOz平而内的正投影为点B,则8的坐标为(1,0, 3)，贝 lj|08|

16、=Vl + 9 = V10:故选：B.根据题意，求出8的坐标，进而由空间两点间距离公式分析可得答案.本题考查空间两点间的距离公式，涉及空间点的坐标，属于基础题.10 .【答案】A【解析】解：丽？=瓯+瓦前= c + lFD2= c + (BA +BC)= c + 1(-a+K)故选：A.利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出丽.本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的 问题转化为基底间的关系解决.11 .【答案】3【解析】【分析】本题考查空间两点间距离公式的应用，是基本知识的考查.直接利用距离公式求解即可.【解答】解:空间两点用(一1,一2,4)

17、,川(1,一1,2)间的距离河川=V(-l - I)2 + (-2 + I)2 + (4 - 2)2 = 4+1 + 4 = 3.故答案为：3.12 .【答案】120°第12页，共16页【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系则4(凡0, 0), B(a,a, 0), C(0，0), A1(af09 a) BA1 = (0, -a,a), AC = (a,。，°)ACBA2 -a21，cos < 8力 1，AC >= 一J = -7=-k =- 1ACxBAlV2aXV2a2即V BAV AC >= 120°故答案为：120° 先建立空

18、间直角坐标系，求出向量应与前的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行 运算即可.本题主要考查了利用空间向量求夹角，解题的关键熟练掌握空间向量的夹角公式，属于 基础题.13 .【答案】g【解析】解:设直线PA与平而a所成的角为仇则s讥6 = Ic°sa| = * =J肃j会,2，直线PA与平面a所成的角为， 故答案为:设直线PA与平面a所成的角为依贝心标6 =匕"| = 喀，即可得出.nPA本题考查了线面角的计算公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题.14 .【答案】3【解析】解：直线/与平面a垂直，:直线，的一个方向向量为五=(l,3,z),向量E =

19、(3,2,1)与平面。平行，J-v = 3 6 + z = 0*解得z = 3.故答案为：3.由直线，与平而a垂直，得到直线/的方向向量与平面a的方向向量垂直，由此能求出结果.本题考查实数值的求法，考查线而垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础本题考查茎叶图，平均数，列举法求概率等，属于基础题.(至% = -=200_ R _ 0 625''_ 200X0.04X5 一 z = 200 X 0.03 X 5 X 0.2 = 6(2)根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：% = 22.5 X 0.06 X 5 + 27.5 X 0.04 X 5 + 32.5 X

20、0.04 X 5 + 37.5 X 0.03 X 5 + 42.5 X 0.03 X 5 = 30.75.(3)从年龄段在25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，25,30)中选：9乂一生一=5人，30,35中选：9x1= 4人，l /25+20°25+20在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n = C, = 36,选取的2名记录员中至少有一人年龄在30,35包含的基本事件个数：m = CCi + Cl = 26,选取的2名记录员中至少有一人年龄在30,35中的概率p =巴=言=焉H ，b 10【解析】(1)由频率分布直方图和频数分布表能求出x, y,1.(

21、2)根据频率分布直方图，能估计这A-人年龄的平均值.(3)从年龄段在25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，25,30) 中选5人,30,35中选4人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数 =C； = 36, 选取的2名记录员中至少有一人年龄在30,35包含的基本事件个数m =己或+或= 26,由此能求出选取的2名记录员中至少有一人年龄在30,35中的概率.本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、 古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.18.【答案】解：(/)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数, n

22、 =(14), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),共有 36 个基本事件, 事件4 “两数之和为8”，事件A包含的基本事件有:(2,6), (3,

23、5), (4,4), (5,3), (6,2),共 5 个基本事件,第1页，共16负.，事件A发生的概率为P(4) = 36()事件3： “两数之和是3的倍数”，事件8包含的基本事件有12个，分别为：(1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (3,3), (3,6), (4,2), (4,5), (5,1), (5,4), (6,3), (6,6),.事件B发生的概率P=卷=上 363(1)事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：(2,2), (2,4), (2,6), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,3), (6,2), (6,

24、4), (6,6),，事件A与事件。至少有一个发生的概率为P(A U C) = ?.【解析】(1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，利用列举法能求出。，再求出 事件A "两数之和为8包含的基本事件有5,由此能求出事件A发生的概率.()利用列举法求出事件B： ”两数之和是3的倍数”包含的基本事件个数，由此能求 出事件3发生的概率.(1)利用列举法求出事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件个数，由此能求 出事件A与事件。至少有一个发生的概率.本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.【答案】解：(1)由题意列出方程组，得：(11-mn =一32

25、41x解得m =7n = 1m > n(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为,获得样本等候课学分分数不低于4分为事件A,则 P(%4)= gx£x，= a,P(X6)=|xixi = ,P(/) = P(%) + P(X。+ P(*6)=纭+/+2=也【解析】(1)由相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求 出结果.(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为4,获得样本等候课学分第12页，共16页分数不低于4分为事件A,利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能 求出结果.本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘

26、法公式、对立事件概率计算公式和互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.20.【答案】解：（1）过点E作E” JLBC,连接HD, EH =4,因为平而A8CD JL平面BCE, EH u平面BCE,平而力BCD n平面BCE = BC,所以EH L平面ABCD,因为尸。工48CD, FD = M，所以FDE”，FD = EH,故平行四边形EHDF,所以EFHD,由EF 0 平面 ABCD, HD u平面 ABCD.所以EF平面A8CQ：（2）连接HA,根据题意，AH1BC.以以为原点，HB, HA, HE为x, y, z轴建立空间直角坐标系,则4（0,、氏0），8（1，。，0），E（0,VXV5），尸（2,西,6）, 贝IJ褊=(_1,悔,0), B