2020届上海市虹口区高考数学二模试卷(有答案)(已审阅)

1、/2019年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题(16题每小题4分，712题每小题4分，本大题满分54分)1 .集合 A=1, 2, 3, 4, B=x| (x 1) (x-5) < 0 , WJ A A B=.2 .复数所对应的点在复平面内位于第象限.1+1(a )23 .已知首项为1公差为2的等差数列an,其前n项和为Sn,则=.4,若方程组1 丁产尸：无解，则实数a=.2x+ay=25 .若(x+a) 7的二项展开式中，含x6项的系数为7,则实数a=.26 .已知双曲线它的渐近线方程是y=±2x,则a的值为.au ； Ki 9 A7 .在4ABC中，三边长分别为a=2,

2、 b=3, c=4,则詈署=.8 .在平面直角坐标系中，已知点 P (-2, 2),对于任意不全为零的实数 a、b,直线l： a (x-1) +b (y+2) =0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.'I x I,1、9 .函数f (x) =，?,如果方程f (x) =b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4,(k-2) , X>1贝U Xi+X2+X3+X4=.10 .三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于 .11 .在直角 ABC中，NA$,AB=1 ,AC=2,M是4ABC内一点，且小得，若氤二儿屈

3、+ R菽, 则在2仙的最大值.12 .无穷数列an的前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有SnCk1, k2, k3,，k10,则 a10的可能取值最多有 个.二、选择题(每小题5分，满分20分)13 .已知a, b, c是实数，则“4b, c成等比数列”是“2=ac”的()/A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14 . 11、12是空间两条直线，a是平面，以下结论正确的是（）A .如果 11 / a, 12 / a,则一定有 li / I2B.如果 li XI2, I2X a,则一定有 liX aC.如果 li X12, I2X a,则一定有 li

4、/ aD.如果 li X a, l2 / a,则一定有 li X l2 x -xi5.已知函数 二巳一巳,Xi、X2、X3 R,且 Xi+X2>0, X2+X3>0, X3+Xi>0,则 f（Xi） +f 2（X2）+f（X3）的值（）A. 一定等于零B. 一定大于零C. 一定小于零D.正负都有可能i6.已知点M （a, b）与点N （0, - i）在直线3x- 4y+5=0的两侧，给出以下结论： 3a-4b+5>0；当a>0时，a+b有最小值，无最大值；a2+b2>i ；当a>0且awi时，”的取值范围是（-8 u （弓，+8）.aT44正确的个数是

5、（）A. i B. 2 C. 3 D. 4三、解答题（本大题满分76分）i7.如图ABC - AiBiCi是直三棱柱，底面 柱的高等于4,线段BiCi的中点为D,线段（i）求异面直线AD、EF所成角的大小；（2）求三棱锥D-AEF的体积.ABC是等腰直角三角形，且 AB=AC=4 ,直三棱BC的中点为E,线段CCi的中点为F.i8.已知定义在（-号，方）上的函数f（X）（i）求f （x）在区间（-g, ?）上的解，TCt anx是奇函数，且当xC （0,下）时，f （x） =tanx+1 .式；(2)当实数m为何值时，关于x的方程f (x) =m在(-修，修)有解.19.已知数列4是首项等于

6、表且公比不为1的等比数列，&是它的前n项和，满足卬(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=logaan (a> 0且a*1),求数列bn的前n项和Tn的最值.2220.已知椭圆C片+J =1(a>b>0),定义椭圆C上的点M(xo,yo)的伴随点”为田，生)./ 1/a b(1)求椭圆C上的点M的伴随点” N的轨迹方程；(2)如果椭圆C上的点(1,卷)的伴随点”为(,，去)，对于椭圆C上的任意点M及它的伴随点” N,求赢,示的取值范围；(3)当a=2, b=加时，直线l交椭圆C于A, B两点，若点A, B的 伴随点”分别是P, Q, 且以PQ为直径的圆经过坐标原点

7、O,求4OAB的面积.21.对于定义域为R的函数y=f (x),部分x与y的对应关系如表：x-2-1012345y02320-102(1)求 fff (0) ;, 、一 一一，一. . . * 4 .、, -(2)数列xn酒足Xi=2,且对任意nCN，点(xn, xn+1)都在函数y=f (x)的图象上，求Xi+X2+x4n；(3)若y=f (x) =Asin (肝协+b,其中A>0, 0<必< 兀，0V小< 兀，0<b<3,求此函数的解析式，并求 f (1) +f (2) + +f (3n) (nCN*)./2019年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与

8、试题解析一、填空题(16题每小题4分，712题每小题4分，本大题满分54分)1 .集合 A=1, 2, 3, 4, B=x| (x 1) (x-5) < 0,则 A A B= 2, 3, 4 【考点】1E:交集及其运算.【分析】解关于B的不等式，求出A、B的交集即可.【解答解：A=1, 2, 3, 4,B=x| (x1) (x 5) < 0 =x| 1 <x<5,则 AAB=2, 3, 4；故答案为：2, 3, 4.2 .复数公所对应的点在复平面内位于第四 象限.1+1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解：复数工

9、磊二解延长=3-i所对应的点(J*在复平面内位于第四象限.故答案为：四.(4) 23 .已知首项为1公差为2的等差数列an,其前n项和为Sn,则二上廿8%【考点】【分析】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和.由题意，an=1+2 (n-1) =2n- 1, Sn=n+辿9' X 2=n；即可求极限.解：由题意，4=1+2 (n1) =2n- 1, Sn=n+n'"J)X2=n2,2(%)7- G 1 2:一！ =4,L8 Sn L8 故答案为：4.ax+2jr=34 .若方程组qx+a尸2无解，则实数a=q【考点】54：根的存在性及根的个数判断.【分析】根据题

10、意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定 方法分析可得a的值，即可得答案.【解答】解：根据题意，方程组“2尸:无解，2x+ay2则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有 axa=2X 2,且 ax2*2X3,即 a2=4, aw3,解可得a=± 2,故答案为：± 2.5 .若（x+a） 7的二项展开式中，含x6项的系数为7,则实数a= 1 .【考点】DB：二项式系数的性质.【分析】（x+a） 7的二项展开式的通项公式：Tr+i=；xra7r,令r=6,则aC；=7,解得a.【解答】解：（x+a） 7的二项展开式的通项公式：T

11、r+i=；xra7,令r=6,则 乳;=7,解得a=1.故答案为：1.6 .已知双曲线?-l（a>0）,它的渐近线方程是y=±2x,则a的佰为 2 . a【考点】KC:双曲线的简单性质.【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=±ax,结合题意中渐近线方程可得a=2,即可得答案.2【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：/上f1仁>0）,其焦点在x轴上，a其渐近线方程为：y=+ ax,又有其渐近线方程是y=±2x,则有a=2；故答案为：2.> .,. . . ., It > r“ 2 A7 .在ABC中，二边长分别为a=2, b

12、=3, c=4,则宣 丁【考点】HP:正弦定理.【分析】由已知利用余弦定理可求cosA, cosB,进而利用同角三角函数基本关系式可求 sinA, sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解.【解答】解：在4ABC中，=2=2, b=3, c=4, .8认=暧|孥驾,可得：SinAW-gJ产隼， /DC 45O8sB=晨+£*=养,8nB=也_“5=,2X逗乂工. sin=2sinAcosA=_ 8_8.=2.sinB sinB 3Vf 616-故答案为： o8 .在平面直角坐标系中，已知点 P (-2, 2),对于任意不全为零的实数 a、b,直线l： a (x -1)

13、+b (y+2) =0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是 0, 5 .【考点】IT：点到直线的距离公式.【分析】由题意，直线过定点 Q (1, -2), PQH时，d取得最大值(1+2 2+"2-2产=5, 直线l过P时，d取得最小值0,可得结论.【解答】解：由题意，直线过定点Q (1, - 2), PQL时，d取得最大值#1+27=5, 直线l过P时，d取得最小值0, d的取值范围0, 5,故答案为0, 5.'| K | , /Cl9 .函数f(x)=J5,如果方程f(x)=b有四个不同的实数解X1、X2、X3、X4,I (x-2)S X>1贝U Xi+X2

14、+X3+X4= 4 .【考点】54：根的存在性及根的个数判断.【分析】作出f(X)的图象，由题意可得y=f(X)和y=b的图象有4个交点，不妨设XKX2 <X3<X4,由X1、X2关于原点对称，X3、X4关于(2, 0)对称，计算即可得到所求和.'| 乂 | ,【解答】解：作出函数f(X)=1、的图象，I (x-2) , X>1方程f (x) =b有四个不同的实数解，等价为y=f (x)和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为xi、X2、X3、X4,且 X1<X2<X3<X4,由XI、X2关于原点对称，X3、X4关于（2, 0）对称,可得

15、Xl+X2=0, X3+X4=4,贝 U Xl+X2+X3+X4=4.故答案为：4.10 .三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为 2的等腰三 角形，则主视图的面积等于 当 .【考点】L7:简单空间图形的三视图.【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等.根据俯视图可得，底 面是边长为2的等边三角形.利用体积法，求其高，即可得主视图的高.可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB, SBC, SAC）且边长相等为加，其体积为V=y ；7：只把飞匹X：二:一根据俯视图可得，底面是边长为 2的等边三角形.

16、其面积为：加.设主视图的高OS=h,则羡父伤止雪.收逅3主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为近.3故答案为一 得面积 S=i-xXS.S11.在直角 ABC中，/A号,AB=1 ,AC=2,M是4ABC内一点，且颔弓，若氤:h标+日戢, 则/+2 n的最大值亨 .【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.【分析】建立平面直角坐标系，则A (0, 0), B (0, 1), C (2, 0), M (cosO , Sine ),IT11(0 < 0 < ), 由已知可得入用"sinB , 2乩口白8 , 则后2小卷(式口 8+cos 9白+=),即可求解.【解答】解

17、：如图建立平面直角坐标系，则 A (0, 0), B (0, 1), C (2, 0)11冗M (ycos0 , 5sin日)(0<9<-),AM=1：AB+UK, ( cosO, ysiriQ )=X (Qt l)+p 0：.九芸sin 8 ,贝U 2+2 n ,(sin 8+cow 6 )=51口( 9),u乙3，当8个时，/+2p最大值为平， 上riLa故答案为：12 .无穷数列an的前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有SnCki, k2, k3,，kio,则 ai0的可能取值最多有 91个.【考点】8E：数列的求和.【分析】根据数列递推公式可得aio=Sio-S9,而S1

18、0, S9Cki, k2, k3,，kio,分类讨论即 可求出答案.【解答】解：aio=Sio - S9,而 Sio, S9 ki, k2, k3,，kio,若 Sio*S9,贝有 Aio2=iOX9=9O种，若 Sio=S9,则有 aio=O,根据分类计数原理可得，共有 90+i=9i种，故答案为：9i二、选择题（每小题5分，满分20分）13 .已知a, b, c是实数，则“4b, c成等比数列”是“2=ac”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定

19、义进行判断即可.【解答】解：若a, b, c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0,满足b2=ac, la, b, c不能成等比数列，故） b, c成等比数列”是“2=ac”的充分不必要条件，故选：A.i4.li、12是空间两条直线，a是平面，以下结论正确的是（）A.如果 li / a, I2 / a,则一定有 li / I2B.如果 li XI2, I2X a,则一定有 liX aC.如果 li Xl2, 2.L a,则一定有 li / aD.如果 li X a, l2 / a,则一定有 li X l2【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】由空间中直线与直线、直线与平

20、面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案.【解答】解：若li/ a, l2/ %则有 /匕或1与l2相交或li与l2异面，故A错误；如果li±l2, l2± &则有li / a或li? %故B、C错误；如果li X a,则li垂直a内的所有直线，又l2 / a,则过l2与a相交的平面交a于a,则l2 / a, .-.li±l2,故 D 正确.故选：D.i5.已知函数 £（工）二“；,xi、X2、X3 R,且 Xi+X2>0, X2+X3 > 0, X3+Xi>0,则 f （Xi） +f（X2） +f（X3）的值（）A. 一定等

21、于零B. 一定大于零C. 一定小于零D.正负都有可能【考点】57：函数与方程的综合运用.【分析】先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自变量的关系得到函数关系，然后三式相 加得解.【解答】解：函数f（Q=*邑;，f （-X）=-f （x）,函数f （x）是奇函数，根据同增为增，可得函数f（X）是增函数， Xi+X2>0, X2+X3 >0, X3+Xi>0,:.Xi > X2, X2> X3X3> Xi ,f（Xi） >f （-X2, f（X2）>f （ - X3）, f（X3）>f （-Xi）f （Xi） +f（X2） >0, f（

22、X2） +f（X3） >0, f（X3） +f （Xi） >0,三式相加得：f （Xi） +f（X2） +f（X3） >0,故选：B.i6.已知点M （a, b）与点N （0, - i）在直线3x- 4y+5=0的两侧，给出以下结论： 3a-4b+5>0；当a>0时，a+b有最小值，无最大值； a2+b2>1 ；当a>0且aw 1时,的取值范围是(-00,一誉)U (-1, +°°).正确的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【考点】2K：命题的真假判断与应用.【分析】根据点M (a, b)与点N (1, 0)在直线3x

23、 - 4y+5=0的两侧，可以画出点M (a, b) 所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论.【解答】解：;点M (a, b)与点N (0, -1)在直线3x- 4y+5=0的两侧， (3a- 4b+5) (3X0+4+5) <0,即 3a-4b+5<0,故错误；当a>0时，a+b>5, a+b即无最小值，也无最大值，故错误；设原点到直线3x 4y+5=0的距离为d,贝U d=) z"'、产,贝a2+b2>4,故错误； 铲+"4)*当a>0

24、且aw 1时，詈表示点M (a, b)与P (1, - 1)连线的斜率.Eh+1 +13当a=0, b=5时，吟 =4 ,9,又直线3x 4y+5=0的斜率为5，4 4故詈的取值范围为- 1) U (1, +8),故正确.正确命题的个数是2个.故选：B.y ,个二J/ 3x-4y-5=0三、解答题(本大题满分76分)17.如图ABC - A1B1C1是直三棱柱，底面 ABC是等腰直角三角形，且 AB=AC=4 ,直三棱 柱的高等于4,线段BiCi的中点为D,线段BC的中点为E,线段CCi的中点为F.(1)求异面直线AD、EF所成角的大小；(2)求三棱锥D-AEF的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥

25、、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角.【分析】(1)以A为原点建立空间坐标系，求出近，邪的坐标，利用向量的夹角公式得出AD,EF的夹角;(2)证明AE，平面DEF,求出AE和Smef,代入体积公式计算.【解答】解：(1)以A为坐标原点，AB、AC、AAi分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系.依题意有 D (2, 2, 4), A (0, 0, 0), E (2, 2, 0), F (0, 4, 2), 所以标二(2, 2, 4)7"丽二(-2, 2, 2).设异面直线AD、EF所成角为%则二|AD,EF I|Y+4+g|V2I AD H而 i =a+4+16 W4+4+4

26、=丁'所以 1 =arcco 普 即异面直线AD、EF所成角的大小为 arccos"：.(2) V AB=AC=4 , ABLAC, . BC=4 加，AE 二 2的，DE=AA 1=4,Sdef=：X 4 X 2M=4加,由E为线段BC的中点，且AB=AC ,.AEXBC,又 BBiXW ABC ,AE ±BBi, .-.AE±H BB1C1C,116%-AEF 二，4EF WS4DEF 皿二至，46.2«,三棱锥D-AEF的体积为著.018.已知定义在(-冷)上的函数f(X)是奇函数，且当xC (0,冷)时，f (x)二篮%.(1)求f (x

27、)在区间(-?，浮上的解析式；IT 1T(2)当实数m为何值时，关于x的方程f (x) =m在(-丁，方)有解.【考点】3L：函数奇偶性的性质.【分析】(1)利用奇函数的定义，结合 x (0,号)时，f (x)=自备，求f(乂)在区间IT 7T上的解析式；(2)分类讨论，利用函数的解析式，可得结论.【解答】解：(1)设义<冗<0,则0<r<三,. f (x)是奇tans函数，贝Mt二一尸(飞1二+1 an1一算 J +1 l-t anxtant an 1+1.f (x) = 0, x=0tanLl-tanx0<“<十三<x<02(2)设0<

28、x<，令仁匕”,则t>°,而尸久乂)二潦m4r二*1+t>1,得 0<击<1,从而 0<1 告"<1,. .y=f (x)在。的取值范围是0<y<1.又设 T<k<。，则 0<r<£,由此函数是奇函数得f (x) =-f (-x), 0<f (-x) <1,从而-1<f (x) <0.综上所述，y=f (x)的值域为(-1,1),所以m的取值范围是(-1, 1).19.已知数列an是首项等于 专且公比不为1的等比数列，Sn是它的前n项和，满足Sf4s2噎.(1)求

29、数列an的通项公式；(2)设bn=logaan (a> 0且awl),求数列bn的前n项和Tn的最值.【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式.【分析】(1)根据求和公式列方程求出q,代入通项公式即可；(2)对a进行讨论，判断bn的单调性和首项的符号，从而得出 Tn的最值.【解答】解：(1)7T，: q4，: q.aQ 1印丫力(一口)容.161-q1-Q16整理得q2-3q+2=0,解得q=2或q=1 (舍去).(2) bn=logaan= (n - 5) loga2.1)当a> 1时，有loga2>0,数列bn是以loga2为公差，以-4loga2为首项的等差数列, ；

30、bn是递增数列， Tn没有最大值.由 bn0 0,彳nr n W 5 .所以(Tn) min=T 4=T 5= - 10loga2 .2)当0<a< 1时，有loga2<0,数列bn是以loga2为公差的等差数列，bn是首项为正的递减等差数列.一. Tn没有最小值.令 bn> 0,彳n W 5, (Tn) max=T4=T5= - 10loga2 .20.已知椭圆C：%+% =1(a>b>0),定义椭圆C上的点M(xo,yo)的伴随点”为田，均. a b0 b(1)求椭圆C上的点M的伴随点” N的轨迹方程；(2)如果椭圆C上的点(1, 1)的伴随点”为(宗主

31、)，对于椭圆C上的任意点M及它的伴随点” N,求而,示的取值范围；(3)当a=2, b=g时，直线l交椭圆C于A, B两点，若点A, B的 伴随点”分别是P, Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点 O,求4OAB的面积.【考点】K4：椭圆的简单性质.'z0=ax【分析】(1)由二by，代入椭圆方程即可求得椭圆 C上的点M的伴随点” N的轨迹方程；(2)由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得而示的取值范围；(3)求得椭圆方程，设方程为y=kx+m,代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2,弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得 OAB的面积，直线

32、l的斜率/不存在时，设方程为x=m,代入椭圆方程，即可求得 OAB的面积.【解答】解：（1）设N （x, y）22又飞 +牛 l(a>b>0), 上 L d a b从而得x2+y2=119(2)由方，得a=2.又下+ 2 口,得b=V.£ a 4b丁点M（X0, yo）在椭圆上,om?oS= （xo, yo）（孝,碧）号+患=耳短2谷, 由于兰普C,而示的取值范围是无，2设 A (xi, yi), B (x2, y2),则 p(上尸k"m1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m,由,工2得(3+4k2) x2+8kmx+4 (m2-3) =0；有.A=48

33、(3+4k2-ni2)>0-8kmx 1 + x。=t12 3+4kJk1x2=3+41/由以PQ为直径的圆经过坐标原点 O可得：3xix2+4yiy2=0；整理得：（3+4 k?） x 肛+物爪勺+笈2）+4#:°将式代入式得：3+4k2 =2m2,3+4k2>0,贝U m2>0, =48m2>0,又点。到直线y=kx+m的距离/I ABI = ；1 + 厂 J 二 j . r'一 '；： :=而x刊需工标x2)当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m ( 2< m<2)2联立椭圆方程得)；代入3xix2+4yiy2=0,得3产-4弘与1rl)4,解得m2=2,从而y2=,Saoab=- I AB I x d=- | m | | yi - y2 I 二班, 综上：zO