人寿保险精算现值

1、 精算现值（精算现值（Actuarial present value）是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴纯保费（纯保费（Net single premium） 。 保险费又称为总保费或毛保费，可以分为保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净保费（纯保费）和附加保费。净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿净保费是补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分，保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分，附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要的缴费部分。生的费用需要的缴费部分。本节考虑如下险种的精算现

2、值：本节考虑如下险种的精算现值： 终身寿险终身寿险 Whole life insuranceWhole life insurance 定期寿险定期寿险 Term life insuranceTerm life insurance 生存保险生存保险 Pure endowment insurancePure endowment insurance 两全保险两全保险 Endowment insuranceEndowment insurance 延期保险延期保险 Deferred insuranceDeferred insurance 变额保险变额保险 Varying insuranceVarying

3、 insurance 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加签约时的整值剩余寿命加1。 记 为 岁投保人的整值剩余寿命，下面计算( )K xkx( )xxAxA 死亡年末死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随单位元赔付在投保时的现值随机变量为机

4、变量为 ，它的期望就是其精算现值，它的期望就是其精算现值.因为因为所以所以1111001( )xxkkxxx kkkkxAE Zvqdvl 1KvZxkkxxkqqpkKP)(赔付现值随机变量的方差：赔付现值随机变量的方差：22(1)2 (1)00()kkxxkkkkE Zvqeq 相当于以计算趸缴净保费利息力相当于以计算趸缴净保费利息力的两倍计算的趸缴净保费。的两倍计算的趸缴净保费。22)()()(ZEZEZVar2()E Z 记记有有 赔付现值随机变量的方差赔付现值随机变量的方差反映赔付现值反映赔付现值随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承担的赔付风险

5、程度。担的赔付风险程度。)(22ZEAx22)()(xxAAZVar 2.定期寿险定期寿险 对对(x) 的的1单位元死亡年末赔付单位元死亡年末赔付n年定期寿险，年定期寿险，其现值随机变量为其现值随机变量为精算现值以精算现值以 表示，有表示，有, 1, 01, 2, 1 , 0,1nnknkvZk1:x nA111:0( )nkxkx nkAE Zvq12122(1):012 (1)0()nkxkx nknkxkkAE Zvqvq2112:( )()x nx nVar ZAA Z的方差为的方差为其中其中 例例1: 某某40岁的人投保了岁的人投保了5年年10000元定期寿险，元定期寿险，保险金在死

6、亡年末给付，根据中国人寿保险保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险业经验生命表（业经验生命表（2000-2003）（男性表）计）（男性表）计算趸缴纯保费（利率算趸缴纯保费（利率5%）。44114040140:35%004011.05kkkkkkdAvql 例例2: 某人在某人在50岁时购买了保险金额为岁时购买了保险金额为10万万元元的终身的终身寿险，假设生存函数为寿险，假设生存函数为 保险金在死亡年末给付，保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保，求这一保单的精算现值。单的精算现值。( )1,105xs x 注注: 在符号在符号 中，令中，令n=1，即得，即得 ，在，在人寿保险中又称为自然保

7、费，它是根据每一人寿保险中又称为自然保费，它是根据每一保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡亡率计算出来的该年度的死亡纯保费，用符纯保费，用符号号cx 表示，即表示，即11xxxxdcvqi l1:x nA1:1xA 3.两全保险两全保险：定期寿险与生存保险的合险。定期寿险与生存保险的合险。 对对(x) 的的1单位元单位元n年两全保险，死亡年末年两全保险，死亡年末1单位元赔付单位元赔付现值随机变量为现值随机变量为1,0,1,2,1,1,knvknZvkn n(x) 的的1单位元单位元n年两全保险的精算现值为年两全保险的精算现值为1

8、1:011:nknxnxkx nkx nx nAvqvpAA 其中其中 表示表示1单位元给付单位元给付纯生存险的纯生存险的精算现值。精算现值。1:x nA 设设Z为两全保险现值随机变量，为两全保险现值随机变量，Z1为为n年年定期现值随机变量，定期现值随机变量，Z2为为n年纯生存保险现值年纯生存保险现值随机变量，则随机变量，则Z1和和Z2不会同时发生，我们有不会同时发生，我们有121212( )()()()2 ()()Var ZVar ZZVar ZVar ZE ZE Z两全保险现值随机变量的方差两全保险现值随机变量的方差22222222()() ()nnnxnxnnxnxVar ZE ZE Z

9、vpvpvpqZ2 的方差为的方差为 例例3: 设（设（35）投保投保5年两全保险，保险年两全保险，保险金额为金额为1万元，万元， 保险金死亡年末给付，保险金死亡年末给付，按附表按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。示例生命表计算其趸缴纯保费。1135:535:535:541535535041535400351()kkkkkkAAAvqvpvdv ll 4.延期延期m年终身寿险年终身寿险 对对(x) 的的1单位元死亡年末单位元死亡年末赔付赔付 m年延期年延期终身寿险，现值随机变量为终身寿险，现值随机变量为10,0,1,2,1,1,KKmZvKm m 其精算现值以其精算现值以 表示，有表示，有 显

10、然有显然有xmA11( )xkxxmkk mAE Zvq 1:xxmx mAAA 5.延期延期m年的年的n年定期寿险年定期寿险 延期延期m年的年的n年定期寿险是指从年定期寿险是指从x+m岁起岁起的的n年定期寿险。对年定期寿险。对(x) 的的1单位元延期单位元延期m年年n年定期寿险，其赔付现值随机变量为年定期寿险，其赔付现值随机变量为1, 1,1, 2, 1 , 0, 01nmmmKvmKZK其精算现值以其精算现值以 或或 表示，有表示，有xnmA1111:( )m nkxxm nkk mx m nx mAE ZvqAA 1:mx nA 6.标准变额寿险标准变额寿险 如果保险契约规定的赔付数额随

11、着死亡时如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时间的变动而不同，这样的寿险称为间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。变额寿险。 如果赔付额如果赔付额 ，K是从投保开始到是从投保开始到死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为标准递增的变额寿险。标准递增的变额寿险。 11KbKxx+1x+2x+n-1x+n1111111111标准递增的终身寿险标准递增的终身寿险1(1),0,1,2,KZKvK其精算现值以其精算现值以 表示，有表示，有00100101) 1()()(mxmmmkxkkkkmxkkkxkkxAqvqvqvkZEIAxIA)(标准递减的定期寿险标准

12、递减的定期寿险xx+1x+2x+n-1x+n1111111111KnbK1 以以 表示标准递减的定期寿险表示标准递减的定期寿险精算现值，有精算现值，有11111:00()()nnkxkx nx n kkkDAn k vqA1:()x nDA例：设例：设计算计算 。100,0100,0.05,xlxxi40()IA终身寿险终身寿险延期延期m年的年的n年定期寿险年定期寿险延期延期m年的年的终身寿险终身寿险n年期两全年期两全保险保险11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:mx nx mnx mAAA111100 xxkkxxkxx kkkkAvqvp q 延期延期m年的年的n年期两

13、全保险年期两全保险递增终身寿险递增终身寿险递减递减n年年定期寿险定期寿险111:mmmx nx nx nx mx m nAAAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kxnx n jkjDAn kvp qA 例：计算保险金额为例：计算保险金额为10000元的下列保单，在元的下列保单，在30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为在保单年度末，利率为6%。（1）终身寿险）终身寿险（2）30年定期寿险年定期寿险（3）30年两全保险。年两全保险。例：现年例：现年35岁的人购买了一张终身寿险

14、保单。岁的人购买了一张终身寿险保单。该保单规定，被保险人在该保单规定，被保险人在第第1年内死亡，给付年内死亡，给付1000元，以后每年的死亡赔付额以元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长的增长率递增率递增。假设死亡给付发生在保单年度末，利。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为率为6%。试求其趸缴纯保费。试求其趸缴纯保费。 死亡即付就是指如果被保险人在保障死亡即付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。赔付。 死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机死亡即刻赔付时刻是一个

15、连续型随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。被保险人签约时的剩余寿命。 1.终身寿险终身寿险 对对(x) 的的1单位元终身寿险，死亡即付现值单位元终身寿险，死亡即付现值随机变量为随机变量为T的概率密度为的概率密度为 ，其精算现值，其精算现值 为为0,TvZT00( )( )ddttxTtxx tAE Zvf ttvptxAtxxtp直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表注注:面的积分进行变换。面的积分进行变换。提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上

16、被保险人存活函数给出时该精算现值才能被保险人存活函数给出时该精算现值才能01010011100( )ddddtxtxx tkttxx tkks ks kxx s kkkskxsx kx k skAE Zvptvptvpsvpvps 在死亡均匀分布假设下，有在死亡均匀分布假设下，有11111000ddkssxkxx kxxkiAvpqvsAvsA, 01sxkxksxkpqs 假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。复利计息时复利计息时单利计息时单利计息时1/2(1)xxAiA(1

17、/2)xxAiA2222)()()()(xxAAZEZEZVar2220()dtxtxx tAE Zept Z的方差为的方差为其中其中例：设例：设(x)投保终身寿险，保险金额为投保终身寿险，保险金额为1元，元，保险金在死亡即刻赔付，利息力为保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ，签单时，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为的剩余寿命的密度函数为计算计算 (1) ； (2) ； (3) 满足满足 的的 。 1 , 060(t)600 , Ttf 其它xA( )Var Z0.9()0.9P Z0.9例：设例：设(x)投保延期投保延期10年的终身寿险，保险金年的终身寿险，保险金额为额为1万元，保

18、险金在死亡时立即给付，利万元，保险金在死亡时立即给付，利息力为息力为 ， 。 试求（试求（1）其精算现值）其精算现值 ; （2） ； （3）中位数）中位数 .0.04( ),0 xs xex0.0610 xA( )Var Z0.5解：已知解：已知0.04( ),0 xs xex0.060.041010100.1110( )0.040.040.4tttxTtAeft dteedtedte0.060.04()0.040.04d()d( )0.04( )x ttTxes xttftes xe （万元）（万元）2.定期寿险定期寿险1单位元死亡即付单位元死亡即付n年定期寿险年定期寿险的精算现值为的精算现

19、值为1:00( )ddnnttTtxx tx nAv fttvpt在死亡均匀分布假设下，有在死亡均匀分布假设下，有假设死亡集中发生在每个年龄的中间假设死亡集中发生在每个年龄的中间复利计息时复利计息时单利计息时单利计息时11:x nx niAA11/21:(1)x nx nAiA11:(1/2)x nx nAiA例：设例：设计算计算 和和 .解：解：( )1, 0100,0.1100 xS xxi 130:10 A()1( )( )100TSxtftS xx 1013030:100010100( )1.1111.1 0.0927070 ln1.1tttAv ft dtdt( ) Var Z3.两

20、全保险两全保险1单位元死亡时赔付的精算现值单位元死亡时赔付的精算现值11:x nx nx nAAA在死亡均匀分布假设下，有在死亡均匀分布假设下，有11:1:(1)x nx nx nx nx niAAAiAA例：某例：某30岁的人投保了岁的人投保了30年两全保险。如果年两全保险。如果契约规定在投保的前契约规定在投保的前10年死亡赔付年死亡赔付10000元，元，后后20年死亡赔付年死亡赔付30000元，满期存活给付元，满期存活给付20000元，假设赔付在死亡时发生，利率为元，假设赔付在死亡时发生，利率为6%。求这一保单的趸缴纯保费。求这一保单的趸缴纯保费。例：设利息力和存活人数分别为例：设利息力和

21、存活人数分别为求求0.2,75,1 0.05txlxt14040:2040:20,xAAAA 4.标准变额寿险标准变额寿险 对于死亡即时赔付的寿险，如果赔付额对于死亡即时赔付的寿险，如果赔付额 ，称为标准递增的变额寿险。，称为标准递增的变额寿险。 （1）标准递增终身寿险的精算现值为）标准递增终身寿险的精算现值为0()1dtxtxx tIAtvpt1tbt 死亡均匀分布假设下，有死亡均匀分布假设下，有如果赔付额标准连续递增，即如果赔付额标准连续递增，即 ，则，则()()xxiIAIAtbt0()dtxtxx tIAtvpt2 ,100,0100,txt lxx例：设例：设计算计算()xI A（2）标准递增）标准递增n年定期寿险的精算现值为年定期寿险的精算现值为在死亡均匀分布假设下，在死亡均匀分布假设下，1:0(