有电介质存在时高斯定理和环路定理

1、2009.10北京大学物理学院王稼军编有介质存在时的有介质存在时的Gauss定理和环路定理定理和环路定理) , ( 0qPE0 EEE描述极化的几个物理描述极化的几个物理量是互相影响、互相量是互相影响、互相制约，一个知道则都制约，一个知道则都知道，而一个不知道知道，而一个不知道均不知道均不知道 n有介质时，场和真空中的场有何异、同？有介质时，场和真空中的场有何异、同？n库仑定律库仑定律+ +叠加原理叠加原理 仍成立仍成立 n静电场性质（有源、无旋）？静电场性质（有源、无旋）？不变不变n为什么？因为极化电荷也是静电荷（只是不能动）为什么？因为极化电荷也是静电荷（只是不能动） EPe02009.1

2、0北京大学物理学院王稼军编考虑关系考虑关系n把静电场把静电场Gauss定理变换一下定理变换一下 SSqSdP内SSSSSSdPqqqSdE内内内00000111SSSqSdPSdE内0001SSqSdPE内00)(PED0电位移矢量电位移矢量 SSqSdD内0S面内包面内包围 的 自围 的 自由电荷由电荷电位移矢量电位移矢量通量通量2009.10北京大学物理学院王稼军编电位移矢量电位移矢量 nD的的Gauss定理定理：有电介质存在时，通过电：有电介质存在时，通过电介质中任意闭合曲面的介质中任意闭合曲面的电位移通量电位移通量，等于，等于闭合曲面所包围的闭合曲面所包围的自由电荷的代数和自由电荷的代

3、数和，与，与极化电荷无关极化电荷无关n公式中不显含公式中不显含P、q、E，可以掩盖矛盾，可以掩盖矛盾，但没有解决原有的困难但没有解决原有的困难n若若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求已知，只要场分布有一定对称性，可以求出出 D，但由于不知道，但由于不知道P，仍然无法求出，仍然无法求出ESSqSdD内0PED0辅助矢量辅助矢量2009.10北京大学物理学院王稼军编EEPEDre000)1 (n需要需要补充补充D和和E的关系式，并且需要的关系式，并且需要已知已知描描述介质极化性质的极化率述介质极化性质的极化率 en对于各向同性线性介质对于各向同性线性介质,有有EPe0n真空中真空中 EDr0

4、1 ，n有介质的问题总体上说，比较复杂有介质的问题总体上说，比较复杂n但就各向同性线性介质来说，比较简单。但就各向同性线性介质来说，比较简单。re1相对介电常数（与真空相对）相对介电常数（与真空相对）介介电电常常数数2009.10北京大学物理学院王稼军编有介质时有介质时D的的通量通量与闭与闭合面内合面内自由电荷自由电荷的关系的关系n理论地位：描述场的性质，有源无旋场理论地位：描述场的性质，有源无旋场n可以用来计算某些场分布（由对称性决定）可以用来计算某些场分布（由对称性决定）n利用利用D- Gauss定理按以下路径求定理按以下路径求 ) ( EqPEDSSqSdD内0n利用电容定义和串并联公式

5、按以下路径求利用电容定义和串并联公式按以下路径求 ) ( EqPDEC2009.10北京大学物理学院王稼军编例题：例题：n求相对介电常数为求相对介电常数为 r的无限大均匀电介质的无限大均匀电介质中点电荷中点电荷 q的场分布，用的场分布，用D-Gauss定理，是定理，是球对称场，作球形球对称场，作球形Gauss面面 SqSdD24 rD24 rqD0002004EDErqDErrr00,CCUUrrn 介质内场强削弱了介质内场强削弱了 倍倍n电容增加了电容增加了 倍倍r1r2009.10北京大学物理学院王稼军编特殊情况下，特别是在各向同性线性介特殊情况下，特别是在各向同性线性介质中质中 D D

6、与与E E之间关系简单之间关系简单 n从理论上可以证明从理论上可以证明 n当均匀介质充满整个电场空间，或均匀介质当均匀介质充满整个电场空间，或均匀介质是等势面时有介质部分内，下述关系式成立是等势面时有介质部分内，下述关系式成立 rEEED000,等势面等势面n这种情况下可以把有介质部这种情况下可以把有介质部分与真空部分看成两个电容的分与真空部分看成两个电容的串、并联串、并联 p76p76例例4 4自己看自己看2009.10北京大学物理学院王稼军编n各向同性线性介质各向同性线性介质D 正比于正比于 En普遍情况下普遍情况下,两者关系不简单，不一定成正比关系两者关系不简单，不一定成正比关系SSqS

7、dD内0小结：小结： 真空真空 有介质有介质0Ll dESSqSdE内010Ll dE静电荷静电荷（自由、极化）（自由、极化）自由自由电荷电荷2009.10北京大学物理学院王稼军编均匀介质内部极化体电荷密度均匀介质内部极化体电荷密度 0n利用利用 DGauss定理证明：定理证明：n在介质内部取任意高斯面在介质内部取任意高斯面S，则有，则有0SSdD无自由电荷无自由电荷EPe0EDr0DPre0SreSSdDSdPq命题得证命题得证2009.10北京大学物理学院王稼军编电介质的击穿电介质的击穿n一般情况下一般情况下n电介质中的载流子（离子、电子或空穴、电咏）在外电场电介质中的载流子（离子、电子或

8、空穴、电咏）在外电场作用下也会运动，一般情况下，这些运动电荷数量有限，作用下也会运动，一般情况下，这些运动电荷数量有限，作用是微弱的，可以忽略，此时电介质是绝缘体作用是微弱的，可以忽略，此时电介质是绝缘体 n外电场增加到相当强时外电场增加到相当强时n在电介质内会形成电流，介质也会有一定的电导在电介质内会形成电流，介质也会有一定的电导 n当电场继续增加到某一临界值时，电导率突然剧增，电介当电场继续增加到某一临界值时，电导率突然剧增，电介质丧失其固有的绝缘性能变成导体，作为电介质的效能被质丧失其固有的绝缘性能变成导体，作为电介质的效能被破坏破坏击穿击穿n击穿场强击穿场强Em：电介质发生击穿时的临界

9、场强：电介质发生击穿时的临界场强n击穿电压击穿电压Vm： 电介质发生击穿时的临界电压电介质发生击穿时的临界电压 2009.10北京大学物理学院王稼军编例例题题 n球形电容器内外半径分别为球形电容器内外半径分别为R R1 1与与R R2 2其间充以相其间充以相对介电常数为对介电常数为 1和和 2的均匀介质，两介质界面的均匀介质，两介质界面半径为半径为R R。求：。求：1 1）容器的电容；）容器的电容；2 2）若内外两）若内外两层电介质的层电介质的击穿场强击穿场强分别为分别为E E1 1和和E E2 2, ,且且E E1 1 E E2 2，为合理使用材料，最好使两种介质内的电场强为合理使用材料，最

10、好使两种介质内的电场强度度同时达到其击穿值同时达到其击穿值，求此时，求此时R R的大小的大小。n求电容：求求电容：求DEUC220222102114,44,4, 0rQErQDRrRrQErQDRrRoEDRrCCBBAA2009.10北京大学物理学院王稼军编n求求 R：要求两种介质内的电场强度：要求两种介质内的电场强度同时达到同时达到其击穿值，其击穿值，且且E1 B ，则，则B 内的电子容易向内的电子容易向A转移，则转移，则A表面形成多表面形成多余的负空间电荷余的负空间电荷（不是极化，而是由对方转移而来的）（不是极化，而是由对方转移而来的）nB表面层将因失去电子而出现等量的正空间电荷表面层将

11、因失去电子而出现等量的正空间电荷；于是两；于是两接触面之间产生一个接触面之间产生一个偶电层偶电层,其厚度为其厚度为 n在接触面两侧电荷转移达到平衡时，在接触面两侧电荷转移达到平衡时，偶电层偶电层产生的电势产生的电势差恰好抵消了两侧差恰好抵消了两侧功函数之差功函数之差n此时如果此时如果迅速分离迅速分离两物体，则偶电层两边的电荷两物体，则偶电层两边的电荷来不及来不及完全消失，而使完全消失，而使A面带负电，面带负电，B面带正电面带正电接触起电接触起电n接触面上所带电荷面密度取决于两物体的功函数差接触面上所带电荷面密度取决于两物体的功函数差 2009.10北京大学物理学院王稼军编例题例题n如图如图金属

12、金属与与电介质电介质的接触面，均为无的接触面，均为无限大平面，设金属上的空间限大平面，设金属上的空间电荷面密电荷面密度为度为 m，功函数为，功函数为 m 。转移到电介。转移到电介质一侧的空间电荷近似假设为质一侧的空间电荷近似假设为均匀分均匀分布于厚度为布于厚度为 的表面层内的表面层内，体密度为，体密度为 。求介质表面层单位面积上的空间。求介质表面层单位面积上的空间电荷（面电荷密度）电荷（面电荷密度） 。 m作高斯面作高斯面 SSxSxSdDSm)()()()(0 xExDr介介2009.10北京大学物理学院王稼军编n偶电层产生的电势差恰好抵消了两侧功函偶电层产生的电势差恰好抵消了两侧功函数之差

13、数之差 0000dxxdxl dEerm介rr02220221)(20mre000mmn介质表面积累了导体转移过来的负电荷，介质表面积累了导体转移过来的负电荷，而导体表面因失去电子而出现正电荷。而导体表面因失去电子而出现正电荷。2009.10北京大学物理学院王稼军编n类似地可以得到两种电介质相接触时的偶类似地可以得到两种电介质相接触时的偶电层电荷面密度的大小为电层电荷面密度的大小为 2211210)2rre212121、rr依次为两侧电介质功函数、依次为两侧电介质功函数、相对介电常数和空间电荷相对介电常数和空间电荷的厚度的厚度 电 子 由 功电 子 由 功函 数函 数 小小 的的一 侧一 侧

14、转 移转 移至 功 函 数至 功 函 数大大的一侧的一侧。n 接触起电虽然是静电现象，但是有时也会造接触起电虽然是静电现象，但是有时也会造成严重的不良后果成严重的不良后果 2009.10北京大学物理学院王稼军编接触起电的危害和应用接触起电的危害和应用n人体放电人体放电n人体对地人体对地电容电容约为约为100200pf，人坐在人造革，人坐在人造革椅子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生椅子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触静电电荷造成人体的静电电压可以达到的接触静电电荷造成人体的静电电压可以达到104V空气的击穿场强空气的击穿场强，有时会出现瞬间放电，有时会出现瞬间放电现象现象 n航天工业航天工业n静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行器的运行飞行器的运行 2009.10北京大学物理学院王稼军编n绝缘液体的流动也会造成大量接触起电静电荷绝缘液体的流动也会造成大量接触起电静电荷n油轮的船体与油之间也有接触起电的可能油轮的船体与油之间也有接触起电的可能n美国从美国从1960年到年到1975年由于静电引起的火灾爆炸事故年由于静电引起的火灾爆炸事故达达116起起 n1969年底在不到一个月的时间内荷兰、挪威、英国三年底在不到一个月的时间内荷兰、挪威、英国三艘艘20万吨超级油轮洗舱时产生的