-s函数的连续性与间断点

1、第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 二、二、 函数的间断点函数的间断点一一 、 函数连续性函数连续性一、函数的连续性一、函数的连续性1 1、函数增量定义、函数增量定义 设变量设变量 从它的初值从它的初值 改变到改变到终值与初值之差终值与初值之差 ，称为变量，称为变量 的的增量增量，记作，记作21.xxx 注意注意：1 1、增量增量可以是正的，也可以是负的；可以是正的，也可以是负的；2 2、记号、记号 并不表示某个变量并不表示某个变量与变量与变量 的乘积，的乘积，而是一个整体不可分割的记号而是一个整体不可分割的记号. .x2x1x21.xxxx 设有函数y=f(x),当自变量

2、x从x0改变到 时，函数y相应的增量为 ，xx0y00()().yf xxf x xy00 xxx 0 x y )(xfy . 00)(0yxxxfy时，函数的增量当自变量的增量言表示就是处连续不断，用数学语在点曲线2 2、连续函数的定义、连续函数的定义 定义定义1 1：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数y=f(x)在点x0连续., 0)()(limlim0000 xfxxfyxx),()(= )()(= , 0,00000 xfxfxfxxfyxxxxxx时即当设).()(lim , 0 )()( 000 xfxf yyx=fxfxx有即 定义定义2 2：设函数y

3、=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在x0点处连续.)()(lim00 xfxfxx00001( )2( )3( )xf xxf xxf xx由定义知：函数在点 连续包含三重含义、在 处有定义；、在 处有极限；、在 处的极限值等于函数值。例例1 11sin,0,( )00,0,.xxf xxxx 试试证证函函数数在在处处连连续续证证01limsin0,xxx (0)0,f 又又( )0.f xx函函数数在在处处连连续续0lim( )(0),xf xf -1-0.50.51-0.20.20.40.60.83.3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续

4、在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续在函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf4.4.连续函数与连续区间连

5、续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 例如：例如：(,). 多项式函数在区间内是连续的有理分式在定义域内是连续的例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2c

6、os( xx2 sin,2xyx 故 0. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy,),(cos内连续在同理可证xy.),(内连续在xay处处连续。为何值时，：设例)(1cos11)(4xfaxxaxxxf连续，连续，当解：当xaxfxxxfxcos)(, 01)(, 0111(1 0)limcos,(1 0)lim1xxfaxa fx 又.1)1(f而则可连续，只要在故要使11)(axxf处处连续。时)(,1xfa练习：练习：.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim

7、)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a(2)(2)若若( )f x在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续, , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 . . ,.C a b例如例如01( )nnP xaa xa x在在上连续上连续 . .( ( 有理整函数有理整函数 ) )又如又如, , 有理分式函数有理分式函数( )( )( )P xR xQ x 在其定

8、义域内连续在其定义域内连续. .在闭区间在闭区间 , a b上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作(,) 00000lim( )()()()()xxf xf xf xf xf x(1)(1) 说明说明: : (3)(3) 连续函数的图形是一条连续不断的曲线。连续函数的图形是一条连续不断的曲线。二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并

9、并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf1.1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例例5 5.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy2.2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存

10、在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx是可去间断点存在，但没有定义，在例如：01sinlim01sin)(0 xxxxxxxfx解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(

11、处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性

12、在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间11219( )21xxf x例求函数的间断点,并判断其类型.:0.x 解为间断点110021lim( )lim1,21xxxxf x因为110021lim( )lim1,21xxxxf x 0( )xf x所以为的第一类间断点(跳跃间断点跳跃间断点)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可

13、去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的定义小结小结xy0为其为其无穷间断点无穷间断点. .为其为其振荡间断点振荡间断点. .为为可去间断点可去间断点. .xoy11sinyx 例如例如(3) tanyx 2y 1(2) sinyx 0 x 21(1) 1xyx 1x xyotanyx 2 11lim( )1(1).xf xf显然显然1x 为其为其可去间断点可去间断点. .xoy211xyo11为其为其跳跃间断点跳跃间断点 . .(4)(4),1( )1,12xxyf xx 1,0( )0,01,0 xxyf xxxx (5)(0 )1,f (0 )1f 0 x 可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考题思考题若若( )f x在在0 x连续，连续，( )f x在在0 x是否连续？是否连续？|( )|f x、2( )fx在在0 x连续，连续，又若又若|( )|f x、2( )f