高等数学数列极限

1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：易学军 欢迎观看第 二 章 极 限本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。第 二 章 极 限第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的

2、收敛准则 . )( 为定义域的函数是以正整数集设Znf , )( | )( NnnfxxZffnn的值域将 , 增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn 得到的一串数： , , , ,21nxxx称为一个数列, 记为 xn .1. 定义一、数列及其简单性质 数列也称为序列公式法图示法表格法 运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1 ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 ) 1 (nn .2 :nnx 通项xnx2x1n214121x0 x381 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通项011nx212nxx,) 1( ,

3、 , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )3(11nn.) 1( :1nnx通项xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )4(nnnn.) 1(1 nxnn通项：1xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通项3. 数列的性质单调性有界性则称满足若 , 21nnxxxx(1) 数列的单调性 . , nnxx记为严格单调增加则称满足若 , 21nnxxxx . , nnxx也记为单调增加数列单调减少的情形怎么定义？则称满足若 , 21

4、nnxxxx . nnxx记为严格单调减少则称满足若 , 21nnxxxx . , nnxx也记为单调减少严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗 ？, | )(| , I , 0 成立有时使得当若MxfxM . I )( 上有界在区间则称函数xfOxyMMMy My()I)(xfy , , | , 0 成立使得若NnMxMn . . 是无界的否则称有界则称数列nnxx数列的有界性的定义如何定义数列无界？ 有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：| xn | 0,

5、不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始, 以后的所有项都落在 U(0, ) 中. 0 010) 1( |0 | nnnx , 0 N（在 U(0, ) 外面只有有限项） , 时当Nn 0 010) 1(nn , 0 N , 时当Nn :010) 1(limnnn其中,是描述点 xn 与点 0 无限接近的0度量标准, 它是预先任意给定的, 与xn的极限存在与否无关. . , 本身取决于数列是否存在nxNNN , ; ,则数列无极限存在则数列有极限不存在. , , NN所有大于则其不唯一存在如果 , .有关与并且的正整数均可取作为NN , , ),( 则值越小一般说来

6、可记为NN . 的值越大N由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0 ,N = N().不等式010) 1(nn称为目标不等式.limaxnn一般地, 如果数列xn 当 n 时, 列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数此时, 也称数列是收敛的.例4nn21limnnn)1(1lim1limnnn001若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.,0若,0N时,使当 Nn |axn记为 ,limaxnn或. )( naxn此时, 也称数列 xn 是收敛的. , ,时的极限当为数列则称数成立nxan数

7、列极限的定义：例5 . 021lim nn证明：). 1 | ( 0lim aann一般有例6 . 0sin1lim nnn证明：例7 .lim , : aaaaaxnn证明设例8. | |lim ,lim :axaxnnnn则若证明例9 . ,lim ),12( lim ),2( lim Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中则满足证明：如果例10 . 1lim : , ,1, ,1 nnnxnnnnnnx证明为奇数当为偶数当设若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一.想想, 如何证明它？设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：证证运用 . ,lim ,limbabxaxnnn

8、n , 0 ,于是 ; | , , 0 11axNnNn时当 ; | , , 0 22bxNnNn时当 , , ,max 21时则当取NnNNN2 | | |bxaxbxxabannnn任意性常数由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . lim axnnnx的任何一个子数列都收敛,且均以 a 为极限 . 充分必要条件 在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为 .knx例11.) 1(lim 1nn求例12 . 8sin 的敛散性判别nxn:limaxnn有时当 , 0,

9、 , 0 NnN |axn | |axaxnn | |axn , 则似乎可以得到如果固定? 有界的结论nx 回想数列的极限 若数列 xn 收敛, 则 xn 必有界.证证1,limaxnn设则由极限定义, 取时, 0N, 时当Nn 1|axn|1|axn即有| ,|,| |,|, |1max 21NxxxaM取则NnMxn ,|由数列有界的定义得：数列 xn 收敛, 则必有界. 该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, (1) n .即 无界数列的极限不存在 .例13 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn无极限发散无界,无极限发

10、散无界,发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n . 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. . ) 1( :nnx反例:limaxnn有时当 , 0, , 0 NnN |axnaxn 即axan?,论你认为可能得到什么结由此 回想数列的极限 , 0 ),0( 0 ,lim Naaaxnn则若 ).0( 0 , nnxxNn有时当证证 , , 0 ,lim 则由极限的定义且设aaxnn有时当时取 , , 0 , 02 NnNa,2 | |aaxn由绝对值不等式的知识, 立即得.20nxaa , )0( 0 nnxx若 , lim 存在且axnn . )0(