专题复习五、求最短路径问题

1、专题三、求最短路径问题最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切.类型1利用“垂线段最短求最短路径问题如下图，AB是一条河流，要铺设管道将C, D两个用水点，现有两种管道的方案方案一：分别过 C , D作AB的垂线，垂足分别为 E , F,沿CE , DF 铺设管道； 方案二：连接 CD交AB于点P,沿PC、PD铺设管道问：这两种铺【思路点拨】 方案一管道长为C&-DF,方案二管道长为p(-pq利用一?-去卡 垂线段最短即町比拟出人小.心A (0 , 0) B(-22,22)(-，22)在直角坐标系中,点P落在直线 x 2y + 6= 0 上,C(2

2、021 杭州模拟标省材料那么 为什的最小值为()3 . (2021 内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A (13 , 0),直线y= kx3k + 4与O O交于B、C两点，那么弦BC的长的最小值为4 . (2021 碑林区期中)如图，平原上有 A, B , C , D四个村庄，为解决当地缺水 问题，政府 准备投资修建一个蓄水池(1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池最小；H 点的位置，使它到四个村庄距离之和(2) 方案把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据类型2利用“两点之间线段最短求最短路径问题2021 乐陵模拟1如图1,直线同侧有两点A, B,在直线MN上

3、求一点C , 使它到A、 B之和最小；保存作图痕迹不写作法知识拓展：如图 2,点P在/ AOB内部，试在 OA、OB上分别找出两点 E、F , 使厶PEF周长 最短；保存作图痕迹不写作法 解决问题：如图 3，在五边形 ABCDE中，在BC , DE上分别找一点 M , N , 使得 AMN周 长最小；保存作图痕迹不写作法假设/ BAE = 125 ,Z B =Z E = 90 , AB = BC , AE = DE，/ AMN + /ANM 的度数为MN QB円陲】图2K3 I【思路点拨】根据两点之间线段最短，作 A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C,即可解决；作P关于OA、OB的

4、对称点 C、D，连接 CD交OA、OB于E、F,此时 PEF周长有最小值；取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交 于点N, PQ的长度即为 AMN的周长最小值；根据三角形的内角和等于180。求出/ P +/ Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知 识运用整体思想解决.“两点 直线同侧 一线型在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知 识作一点关 于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点； “一点两线型求三角 形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对 称点与两直线分别有两个交点，顺“两点两线型求四边次连接所给的点与两交

5、点即可得三角形；形的周长最短类比“一点两线型即可.1 .2021 内江如图，正方形 ABCD的面积为 12 , ABE是等边三角形，点 正方形ABCD内，在对角线 AC上有一点P,使PD + PE最小，那么这个最小值为B. 2 3C. 262 .2021 遵义如图，在四边形 ABCD中，Z C = 50 , Z B =/A. 50 B . 60C. 70 D . 80=90分别是BC、DC上的点，当 AEF的周长最小时，Z EAF的度数为 3. 2021 攀枝花如图，在边长为2的等边 ABC中，D为BC的中点，才、E是AC边上一点，那么 BE + DE的最小值为 .7!黑一4. 2021 鄂州

6、如图，Z AOB = 30 ，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP 平分Z AOB，且OP = 6，当 PMN的周长取最小值时，四边形 PMON的面积为5 . 2021 凉山菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B 2，0，Z DOB = 60 ， 点P是对角线 OC上一个动点， E 0，- 1，当EP + BP最短时， 点P的坐标为 .m0 ) 与 x 轴6. (2021 广元改编)如图，抛物线 y =- m (x + 2)(x m) 相交于点 A, B,与y轴相交于点 C,且点A在点B的左侧.( 1 ) 假设抛物线过点 G( 2， 2) ，求实数 m 的值；H,使AH +

7、CH最小，3 7(2021 成都改x2在1的条件下，在抛物线的对称轴 上找一点出点H的坐标.编如图，一次函数 y= x + 4的图象与反比例y = x kP，使PA + PB的值最为常数，且k半0的图象交于A, B两点在x轴上找一点 小，求满足条件的点 P的坐标.8 如下图，点 A是半圆上的三等分点， B是AN的中点，P是直径MN上 的一动点，O O的半径为1，请问：P在MN上什么位置时， AP + BP的值最小并 给出AP + BP的最小值.9. 2021 达州如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，/ AOC的平分线交 AB于点D，E为BC的中点， A 0，424、C 5，0，二次函数y=5X2 + bx + c的图象抛物线经过 A，C两点.(1)求该二次