余弦定理学习知识点总结计划及同步练习.doc

1、余弦定理学习知识点总结计划及同步练习 教师：郭庆友语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达1、余弦定理： 在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 余弦定理证明如上图所示，ABC，在 c 上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c 得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明2、余弦定理的推论 ： cosb2c2a2， cosa2c2b2， cosCa2b2c22bc2ac2ab3、设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边，则：若a2 b2 c2 ，则 C 90o；

2、若 a2b2c2 ，则 C90o；若 a2b2c2 ，则 C90o 注：此法可以进行 三角形形状 的判定： 主要判定 最大角 的余弦值的 正负号 ，若最大角的余弦值为 负数 ，也即最大角为钝角 ，所以此三角形为钝角三角形；若最大角的余弦值为0，也即最大角为 直角，所以此三角形为直角三角形；若最大角的余弦值为正数 ，也即最大角为 锐角 ，所以此三角形为锐角三角形；4、余弦定理的适用范围余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：已知三角形 两边及夹角 求第三边；是已知三个边 求角的问题 .若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。注：在两边一对角 的

3、三角问题中， 也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边；余弦定理的应用要比正弦定理范围广泛。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1 在ABC中，已知 a 2 3 ， c62 ， B600 ，求 b 及 A；解析：（ 1） b2a2c22accosB= (23) 2(62) 22 2 3 (62) COS450=12( 62) 24 3( 3 1) = 8b 2 2.求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cos Ab2 c2 a2(2 2) 2(62 )2(2 3) 21,2bc222 (62)20 A 60.解法二： sin Aa sin B23sin

4、45 0,b22又 62 2.4 1.43.8, 2 3 2 1.8 3.6, a c ，即 00 A 900 ,0 A 60.1在 ABC 中，已知 a2 6， b62 3，c4 3，2：求角 A，B，C.思路点拨：由题目可获取以下主要信息：已知三边比例；求三角形的三内角解答本题可应用余弦定理求出三个角已知 ABC 中， a b c 26 (3 1) ，求 ABC各角的度数解题过程 a bc26 (31)，令 a2k，b6k，c (31)k.由余弦定理，有cos Ab2c2a263 12 42，2bc26×3 12A 45°.基本解法是先利用余弦定 题后感悟 此题为 “已

5、知三边，求三角形的三个角”类型问题，2c2b22 61cos B2ac2× ×12，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)B 60°. C180° AB180° 45°60°75°.解析：在 ABC 中，由余弦定理得，cos Ca2 b2 c22 6 2 6 2 3 2 4 3 22ab2× 2 6× 62 33124 2 31 2 .2C 45°， sin C22 .26×2由正弦定理得： sin Aasin C21c4 3 .2acsin

6、30 °本题有两解知33×1由正弦定理，得sin C csin B23b32C 60°或 120°.C 60°时， A 90°由勾股定理 a b2 c2 2 3.C 120°时， A30°， ABC 为等腰三角形 a 3. 题后感悟可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法方法一利用余弦定理列出关于a 的等量关解析：直接运用余弦定理：系建立方程， 运用解方程的方法求出a 边的长， 这样可免去判断取舍的麻烦方法二直接运a2 b2 c2 2bccos

7、A 32 (23)2 2× 3× 23×cos用正弦定理，先求角再求边30°3，从而 a3，2222226 1，cos B a c b 3 2 332ac2× 3× 2312 22若将题中条件改为“ b3，c2，A30°”，应如何求解三角形？B60°，C180°A B180°30°60°90°.方法二 ：在 ABC中，由正弦定理得sin B bsin Aa26× 212 ，因为 b0，所以 c33.方法二 ：将已知2等式变形为22bc cos B cosC

8、；边角之间的关系： bsin 2Cc sin 2Bb2(1 cos2C)c2(1 cos2B) 2bccos Bcos C， 2 分确定三角形的形状222222222ab c22a c b2·(·()即有 b c b2ab)c2ac解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；a2 c2 b2 a2b2 c2， 4 分 2bc··然后由边的关系确也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，2ac2ab定三角形形状 a2b2 c22 c2 b2222 a即 b c4a2abc 规范作答 方法一 ：由 sin A sin B

9、sin C2R，则条件转化为4R2·sin2C·sin2B 4R2 ·sin2C·sin2 B 8R2·sinB·sin C·cos B·cos C，sin B·sin C 0，sin B·sin C cos B·cos C，6 分即 cos(BC)0.8 分又 0°b>a 且 ABC 为钝角三角形， C 为钝角此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一2222由余弦定理得 cos Ca b c k 4k 122ab2k k2k2 4k 12

10、0，此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出故由知 0b>a 且 ABC 为钝角三角形，C 为钝角由余弦定理得cos Ca2 b2 c2k2 4k 122k k 2k 4， k>2，由可知2k 4，即 k>2，而不是 k>0.余弦定理同步练习一、选择题1在 ABC中， a 2c2b2ab ，则角为（） 30 0 60 0 45 0 或1350 120_在 ABC中，已知46 ， cos B6 ，边上的中线5 ，则 sin 36的值为（）7070701017121414在 ABC 中，若 (abc)(bca)3bc ，并有sinA sinBcosC, 那么 ABC 是（）直角三角形等边三角形等腰三角