3.1二元分布-3.2边缘分布独立解析

1、 定义定义: 把n个随机变量 的整体 ( ) 称为 n维随机变量维随机变量 , 1XXn, , 2X, 1XXn, 2X 炮弹命中点的平面位置要由水平距离X和垂直距离Y来确定，则炮弹命中点的平面位置（X,Y)也是二维随机变量yx,XY0 一炉钢的综合质量至少要由钢的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多个变量来描述，则一炉钢的综合质量至少要用三维随机变量（X,Y,Z）来表示 二维分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量重点掌握：二维离散型随机变量的概率分布、重点掌握：二维离散型随机变量的概率分布、 二维连续型随机变量分布函数二维连续型随机变量分布函数 一一 二维分布函数 数为随机变

2、量X的分布函R(实数集），则称定义：对任意的 xXPxFx 分分布布函函数数的的定定义义 复复习习：一一维维随随机机变变量量x X0它表示点（X,Y)落在下图阴影部分中的概率（图1）XY yx ,xy0联合分布函数）二维分布函数（或二维的为随机变量（X，Y）R(实数集），则称,定义：对任意的 yYxXPyxFyx, . 1yxyxyxyxyyxxFFFFYXP111221222121,x1x2y2y10yx法性质得中的概率，可由概率加 矩形点（X，Y）落入任一 2. , 2121yyxxYX 事实上，由图2可看出关系式 yxyxyxyyxxyxYXYXYXYXYX112112212122,则

3、yxyxyxyyxxyxYXPYXPYXPYXPYXP112112212122, 即yxyxyxyxyyxxFFFFYXP1, 11, 22, 12, 22121,y2yx22,0yx（图2）x2x1y1的概率）落入矩形域，求（其它的分布函数为：设随机变量例3 y6 ,4 x0 02 y0 ,2 x0 sinsin),( ),(1YXyxyxFYX3 y6 ,4 x0P解：6 sin0sin3 sin0sin6 sin4 sin3 sin4 sin)6 , 0()3 , 0()6 ,4 ()3 ,4 (FFFF)26(410436XY复习：一维随机变量分布函数的性质 10 xF1)()( ,

4、0)()( FxFFxFlimlimxx)()( , bFaFba则若)()0( xFxF 3. 常用性质，对于任意的对于任意的 x 0, ,yxFxFlimy0, ,yxFFyxlim1, ,yxFFyxlim1,0yxF，对于任意的对于任意的 y0, ,yxFyFlimx)yF(x,)yF(x, 有 时 yy当对于固定的x,y),F(xy),F(x 有 时 xx当对于固定的y,21212121 ),()0,(),(), 0(yxFyxFyxFyxF32,yarctgCxarctgBAyxF 032y,-F yarctgCBA 解：022 , CBAy则则为为取取022 : CBA同理可得同

5、理可得122,F CBA又2C , 2B , 1A 2 解得解得量.则称X为离散型随机变 1,2,3KPXXP ,1,2,3KX的所有可能取值为复习：一维随机变量XKKK离散型随机变量.则称（X，Y）为二维 示为他们的概率分布可表或可数多个孤立的值，Y只可能取有限个定义：若随机变量X和 1., 2 , 1,j ijiYXPPbaiiXYaai1bbbj 2111121 jpppLL12 iiijpppLLMMMMMMLL1 1) ) , , 1 10 0 ( (其其中中j ji i, ,i ij ji ij jp pp pX12 kxxxLL12 kpppLLp1 1) ) , , 0 0 (

6、 (其其中中1 1k kk kk kp pp p 0 0 0 0 0 2 0 -3 5 7 YX2141411611612164132131RxxdttfxXpxF)()()(1.定义:设(X,Y)是二维随机变量,如果存在一个非负的函数f(x,y), 使得对任意的实数x,y,都有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量. 其中f(x,y)称为(X,Y)的(概率)分布密度,或称为(X,Y)的(概率)联合密度. yxdudvvufyYxXPyxF),(),(),(2.二维随机变量分布密度性质： 复习 一维随机变量分布密度性质： 0)( ) 1 (xf1)( )2(dxxfbadxxfaFbFbXap)

7、()()()( )4(0),( ) 1 (yxf 1),( )2(dxdyyxf 1),(dxdyyxf因为连续型随机变量（X,Y）落在整个XOY平面上是必然事件，所以)f()(F xxx 处有：在连续点 (3)(3) 在 的连续点处有 yxf,yxfyxFXY, yxyyYyxxXxPyxf);(lim),( 0y,0 x (4) 二维连续型随机变量（X,Y）落在平面区域D上的概率可用如下公式表示，即 DdxdyyxfDYXP),(),(解：（1）由 可得 1),(dxdyyxfdxdyeecdycedxyxyx0000)(1000cdxecdxeecxyx1c0y0,x e 0 y)(x)

8、,(其他yxf即阴影部分)的概率Y)落在区域(如图3求(X, (3) (2)求分布函数 求常数c; (1) 具有概率密度 Y)设二维随机变量(X, 例5：0y0,x y)(xec 0),( 其它yxf0y21y=2-2x yxdudvvufyxF),(),( dydxeyxFyxyx00)(),()1)(1 (yxee 0y0, x )e)(1e(1 0yx),( 其它yxF在x,y的其它取值处F(x,y)=0, (2) 时当 0, 0 yxdyedxxyx10220)(3) 如图0 xy21y=2-2x3996.0)11(2102edxeexxGdxdyyxfGYXp ),(),(3.二维连

9、续型随机变量的两种重要分布： 为区域G的面积.其中其它则概率密度为匀分布，Y)服从区域G上的均(X,如果二维连续随机变量均匀分布 )( 0G),( )(1),( ) 1 (GSyxGSyxf).,(, 1, 0, 0)()(2 )()1 (21exp121),( 222121212221212222212121212221 )2(，NyyxxyxfY)服从二维正态分布则称(X,且为常数其中Y)概率密度为(X,如果二维连续随机变量二维正态分布 例6：设(X,Y)在 上服从均匀分布，求其分布函数F(x,y). )20,30(yxDDy)(x, 1/6 0),(其它yxf解：由于区域D的面积为6，所

10、以(X,Y)的分布密度为时，且2030yxxydydxyxFxy6161),(00 (2) 当0),(0 0yxFyx时，或 (1) 当yxXY230(x,y)时，且230yx361),(200 xdxdyyxFx (3) 当时，且203yx261),(300ydydxyxFy (4) 当1),( 2 3yxFyx时，且 (5) 当XY230综上所述 2030yx且F(x,y)=0 x0或yX2) 二维随机变量二维随机变量（X,Y）分布函数为分布函数为F(x,y),而而X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为记为FX(x)和和FY(y),依次称为依次称

11、为（X,Y）关于关于X和关和关于于Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。( )()XFxP Xx( )()YFyP Yy(,)( ,)P Xx YF x ()(, )P XYyFy ，1. 连续型 ),(),()(dxxdyyxfxFxF(1).边缘分布函数X 则 ,yx,f其联合概率密度函数为，Y）是连续型的，如果二维随机变量（XdyydxyxfyFy),(),()( FY （二）. 分离散型与连续型两种情况考虑边缘分布密度分别称为关于X，Y的及则记(2).边缘分布密度 )( )( ),()( ),()( YXYXyfxfdxyxfyfdyyxfxf 2)-2(11-exp 121),(2222

12、yxxyyxf),(- yxdy 2)-2(11-exp 121),()( 2222Xyxfxydyyxfx解：222222222)1 () () ( 2 xxyxxxyxyyx)y(- 2-exp 21)( 2Y yyf同理可得：dy )-2(1 x)-(y-exp-11 2)2exp()( 22-22Xxxf)x(- 2exp21 dv 2-exp 2)2exp()( -1 x-y 22-2X2 xxxf则有 令例例2. 设设(X,Y)的分布密度是的分布密度是其它,00, 0,6),()23(yxeyxfyx求求:(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。解解:dyyxfx

13、fX),()(其它, 00,3)(3xexfxX其它, 00,2)(2yeyfyY例例3. 设设(X,Y)在区域在区域G=(x,y)|0yx 1上服从上服从 均匀分布，求均匀分布，求(X,Y)关于关于X,Y的边缘概率的边缘概率 密度。密度。解解:SG=1/22,( , )( , )0,x yGf x y其它02,01( )( , )0,2 ,010,xXdyxfxf x y dyxx其它其它102,01( )( , )0,2(1),010,yYdxxfyf x y dxyy其它其它其它, 0, 10 ,21ydxy其它, 0, 10 ,22yy2. 离散型ppbaiijji为为X的边缘分布列，

14、记 并将1,2,ji, )Y,P(X 是离散型 ，Y）如果二维随机变量（X )1,2,(i )P(X jijipappbjiijj为为Y的边缘分布列，记 )1,2,(j )P(Y 同理称例例8 袋中有袋中有2只白球和只白球和3只黑球，现进行有放回地取球，只黑球，现进行有放回地取球，定义下列随机变量：定义下列随机变量：第一次取出黑球第一次取出白球01X第二次取出黑球第二次取出白球01Y试给出试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。的联合分布与边缘分布。若采用不放回取球，情况又怎样？若采用不放回取球，情况又怎样？ 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件

15、两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立 . 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互相互独立独立 .两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立 . 它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数

16、的乘积 . 若若 (X,Y)是离散型是离散型r.v ，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称X和和Y相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有),(yxf其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互相互独立独立 .对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v ，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去

17、面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立处处成立.分别是分别是X的的)(),(yfxfYX边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 .如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)满足满足,)()(),(yYPxXPyYxXP则称则称X与与Y相互相互独立独立 .连续型连续型)()(),(yfxfyxfYXl随机变量的独立性随机变量的独立性对任意对任意x,y, 有有)()(),(yFxFyxFYX即离散型离散型,.2 , 1,jipppjiij例例4. 设设(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为判断判断X与与Y是否独立。是否独立。2(1)arctan,0,0( , )0,xey

18、xyF x y其它因此，因此， X与与Y是独立。是独立。1,0( )( ,)0, xXexFxF x其它2arctan,0( )(, )0,YyyFyFy其它 解解:例例5.袋中有袋中有5个大小形状相同的球，其中个大小形状相同的球，其中4个白个白 球，球，1个红球。现甲、乙两人轮流随机取个红球。现甲、乙两人轮流随机取 球球(不放回不放回)，直到某人取出红球为止，设，直到某人取出红球为止，设 甲先取球。令甲先取球。令X、Y分别为结束取球时分别为结束取球时 甲、乙取球的次数。求甲、乙取球的次数。求(X,Y)的联合分布的联合分布 列，并判断列，并判断X、Y的独立性。的独立性。 因此，因此， X与与Y不独立。不独立。 解解:例例6.已知已知X、Y独立独立,完成下面表格。完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/611/241/43/41/121/31/43/81/2例例7. 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：的分布密度为：)