人教版八年级上册整式的乘法与因式分解复习知识点典型例题

1、整式的乘法同底数幂的乘法:am.an=am+n幂的乘方：(am)n=amn积的乘方:(ab)n=anbn预备知识1.单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。如4a2yx5.(-3ab2x)2.单项式乘以多项式：转化单项式乘以单项式m(a+b+c)=ma+mb+mc再如（ab2-2ab). ab3221如（-4x2).(2x-y-1)3.多项式乘以多项式：转化单项式乘以多项式(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn如(x-y)(x2+xy+y2)相反变形难点am+n=am.anamn=(am)

2、nan.bn=(ab)n想一想想a2a3a5+=(1)a2aa2=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2( )3=x5(4)47(6)(-5) (-5)=511(-3)233=(-3)5(7)2(5)35a2a=10a6(3)a3a3=2a3练习一练习一1.计算计算(1)100.10m+1.10m-2(2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3(4)(xy3n)2+(xy6)n(5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2) (7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3 (9)(x-2y)2(y-2x)3注意：通过以上练习可知，

3、公式中的a既可以是一个数也可以是一个字母，也可以是一个代数式。2.(1).- x2y2. xyz (2)( a2+ab-0.6b2).(- a2b2)(3)(2x+y)(x-3y) (4)3y(y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n) (6)若ab2=-1,则-ab(a2b5-ab3-b)的值是多少？43322334比一比算计(1)3x2( )3-7x3 x3-x4x2+1( )a2( )-2b2a+2b( )-2ab(a-b)(2)先化简，再求值:其中a=1,b=21.公公 式式 的的 逆逆 向向 使使 用用nmnmaaa? ?mnnmmnaaa?baba

4、ba323210102101710410?）（）（，求下列各式的值，已知（3）已知2m=3，2n=5，求23 m +2 n+2的值.1、若10 x=5,10y=4,求102x+3y+1的值.2、计算：0.251000（-2）20016701004)271()9.(3?注意点：（1）指数：相加底数相乘转化（2）指数：乘法幂的乘方转化（3）底数：不同底数同底数转化（3）（1）012516(8)17；（2）逆用公式即baabnnn?）（）（abbannn?50505050509312443?31515)2(125.0?公 式 的 反 向 使 用试用简便方法计算 :(ab)n =anbn（m ,n都是

5、正整数）反向使用: anbn =(ab)n (1)2353 ;(2)(-5)16 (-2)15(3)24 44(-0.125)4 ;整式的乘法1.单项式乘以单项式2.单项式乘以多项式3.多项式乘以多项式逆运算预备知识aman=am-n当m=n时，规定：a0=1(a 0)整式的除法1.单项式除以单项式2.多项式除以单项式3.多项式除以多项式单项式相除，把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。如20 x4y2z(- x3y2) (-2a2b3c)2a3b241单单转化(a+b)m=am+bm如(0.25a2b-0.5a3b2- a4b3)(-

6、0.5a2b)41初中阶段不学习am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn特例乘法公式1.平方差公式2.完全平方公式(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2相反变形因式分解(1)(-a)(1)(-a)8(-a(-a2) )(2)-5a5b3c5a4b3(4)-3a(4)-3a2x x4y y3(-axy(-axy2) )(5)(4109)(-2103)=-a6=-ac=3ax3y=-2106(3) 6m(3) 6m2n n(-2mn)(-2mn)= -3m(1)(-2a4 4b3 3c)3 3(-8a4 4b5 5c)(3

7、 )(-3.61010)(-2102)2(3102)2=a8b4c2= 10(2)(6x2 2y3 3)2 2(3xy2 2)2 2=4x2y22234)21()212)(4(xxxx?练习1.计算(1).x15x6 (2). (-xy)10(-xy)8 (3)a2m+4am-2 (4).(x-2y)4 (2y-x)3 (5).(-a)5a32.计算(1).-3a7b4c9a4b2(2)28x4y27x3y (3)4a3m+1(-8a2m-1)(4).8(m+n)5(-(m+n)3) (5).(8a2+ab+a)a(6).已知一个多项式除以多项式a2+4a-3所得的商式是2a+1,余式是2a+

8、8,求这个多项式。?计算（一）：?（1） （2x3）（2x3）?（2） （x2）（x2）?（3） （2xy）（2xy）?（4） （yx）（xy）?( 5 )19982002填空(1).(a+ )2=a2+6a+ 。(2).(2x- )2=4x2-+25(3).a2+b2=(a-b)2+ 。(4).(x-y)2+ =(x+y)2想一想想一想下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？(-x+6)(-x-6) =- x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1) =(2)(3)(-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2计算计算(1).(5a+3)(5b-3) (2).(3m-2)(3m-2)(3)

9、.(3m+4)(3m-4) (4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y)2 (6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2(8).(-2x2-3y)2已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab=( )(1)（A）1（B）-1（C）0（D）1或或-1(C)(D)(2) 如果4x +12xy+k是一个关于x、y的完全2平方式，则k=( )(A)(B)3y29y2y36y2AB（3）如果如果a+a1=3,则则a2+a21=( )(A) 7(B) 9(C) 10(D) 11所以=9a+a1( )2所以a +a1=922+2A故a a1=72+2因为a+a1=3解：解：(a-2b+3)(

10、a+2b-3)的结果是（）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b -12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算=a-(2b-3)a+(2b-3) =a2-(2b-3)2=a2-(4b -12b+9)2=a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：是一个关于x、y的完全平如果4x2+kxy+9y2方式，则k=( )填空22)2)(2()2)(1 (nmnm：?计算因式分解1.运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)=.2).(a+b)(a-b)=.3).(a+b)2=.2.试一试填空:1).ma+mb+mc= m?( )2)

11、.a2-b2=( )( )3).a2+2ab+b2=( )2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?a+b+ca+ba+ba-b一般地，把一个多项式转化成几个整式的 积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做 分解因式。定义理解概念判断哪些是因式分解 ?(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy(3) (5a-1)2=25a2-10a+1(4) x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法)43(43)6(2aaaaa?两者都不是像(1)这种因

12、式分解的方法叫 提公因式法像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为 公式法.1) ma+mb+mc=m( a+b+c )2) a2-b2=(a+b)(a-b )3) a2+2ab+b2=(a+b)2注意事项?1) 首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一个因式再考虑其他方法。x3-4x?2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。?x4-2x2y2+y4?3）因式分解要彻底。?4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。?m4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1)找出下列各多项式

13、中的公因式2231218)3(525)2(1536)1 (babaaabcba?找一找公因式系数字母35a6ab各项系数的最大公约数取每项中含有的相同字母问:多项式中的公因式是如何确定的？指数相同字母的最低次幂易错分析25)()()xyyxy?2 x223 )8 19ab?24 )84xx?34 x1、 把下列各式分解因式：1）18-2b22) x4 126) 43(43 )abab?22)2()1(25)7?xx2.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 4X2 +y2 B. 4 x-(-y)2 C. -4 X2-y3 D. -X2 + y22) -4a2 +1分解因

14、式的结果应是（）?-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)?-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)DD拓展提高拓展提高1.把下列多项式因式分解1). 6x(a+2b)2-3x(a+2b)2). (b-a)2-2a+2b3). a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解提公因式法因式分解1) 13.80.125+86.22) 0.7332-0.32633) 33+112+664)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.巧计妙算183.解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(20

15、05-x)提公因式法因式分解提公因式法因式分解( ) ( ) x216练习：分解下列各式 : （1）x2-16解：(1)（2）9m2-4n2x x () ( )a2b2aabb() ( )2 4242x2(2) 9m2-4n23m 3m() ( )a2aabb2 2(2n)2(3m)2b22n 2n平方差公式的应用题：1、利用分解因式简便计算(1) 652-642(2) 5.42-4.62(3)(4) 22)412()435 (?222248252100?解:652-642=(65+64)(65-64)=1291=129解:5.42-4.62=(5.4+4.6)(5.4-4.6)=100.8=

16、8答案:5答案:28提高题：2、已知, ,求（a+b）2-(a-b)2的值。7522?a4425?b解: (a+b)2-(a-b)2=(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=2a2b=4ab当，时，原式=4=7522?a4425?b75224425323、求证、求证:当当n是整数时，两个连续奇数的平方差是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数。的倍数。? (a+b)2=a2+2ab+b2? (a-b)2=a2-2ab+b2? a2+2ab+b2 =(a+b)2? a2-2ab+b2 = (a-b)2完全平方公式? a2+2ab+b2 =(a+b)2? a2

17、-2ab+b2 = (a-b)2?用他们可以把一个三项式分解因式的特点：?两项是两个数(式）的平方?另一项是加上(或减去)这两个数（式）积的两倍完全平方例题讲解完全平方例题讲解(1)(1)?x2-4x+4=x2-22x+22=(x-2)2?a2+2a+1= a2+2a1 +12=（a+1）2?a2+10a+25=a2+2a( )+( )2=(a+ )2555?X2+12ax+36a2=X2+2x6a +(6a)2=(x+6a)2小练习小练习(2)(2)?4a2+25b2-20ab=(2a)2 -22a5b+(5b)2=(2a-5b)2?-8x2y-2x3-8xy2=-2x(x2+4xy+4y2

18、)=-2x(x+2y)2动手做动手做已知x=a+2b,y=a-2b，求:x +xy+y221 、已知a+b=5 ，ab= -2，求（1）a2+b2 （2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知a2-3a+1=0，求（1）（2）221aa ?1aa?3、已知求x2-2x-3的值3 1x?4.若(x-m)2=x2+8x+n,求mn的值5.若9x2-mx+4是一个完全平方式，求m的值6.若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求5mn的值7.在整式4x2+1中加上一个单项式使之成为完全平方式，则应添。8.在式 子中加上一个单项式使之成为完全平方的形式，则应添

19、。221xx ?9.若(2m-3n)2=(2m+3n)2+A成立，A应为。10.若x2+2mx+36是完全平方式，求m的值11.已知：a+b=5,ab=3,求a2+b2的值12.已知：a-b=3,a2+b2=17，求(a+b)2的值13.已知：ab=12,a2+b2=25, 求(a-b)2的值14.已知：m2+n2+4m-6n+13=0,求mn的值。的值。和求已知442211, 31.15mmmmmm?考查知识点：（当 m,n是正整数时）1、同底数幂的乘法： am an= am+n2、幂的乘方: (am)n= amn3、积的乘方: (ab)n= an bn4、合并同类项:计算：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4-(-x10)(-x)231解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆.计算：计算：(1)(-2a 2+3a + 1) ?(-2a)3(2) 5x(x2+2x +1) - 3(2x + 3)(x - 5)(3) (2m2 1)(m 4) -2 ( m2+ 3)(2m 5)注意点：1、计算时应注意运算法则及运算顺序2、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏乘，以及各项符号是否正确。计算：计算：(1) (1-x)(