四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲三角形等各类变形提高篇(解析版)全国通用

1、第二讲 三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷ 2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不

2、改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，个三角形面积的几倍若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，个三角形面积的几倍那么这个三角形的面积也是另一那么这个三角形的面积也是另一夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD 和 BCD 夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么 S ACD S BCD ；反之，如果S ACD S BCD ，则可知直线AB 平行于 CD 。例题精讲【例 1 】 如右图，求三角形ABC求三角形ABDBD 长 12

3、厘米，的面积是三角形的面积是三角形DC 长 4 厘米，B、 C 和 D 在同一条直线长。ABD 面积的多少倍？ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD、 BC 和 DC 为底时，它们的高都是从A 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形 ABD 的面积=12×高÷2=6×高三角形 ABC 的面积=（ 12+4）×高÷2=8 ×高三角形 ADC 的面积 =4 ×高÷ 2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的 4/

4、3 倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的 3 倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数【例2】 如右图，E 在 AD 上， AD 垂直BC， AD=12 厘米， DE=3 厘米。 求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？分析：因为AD 垂直于 BC，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD是三角形ABC 的高， ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积=BC × 12÷ 2 = BC × 6三角形EBC 的面积=BC× 3÷ 2 = BC × 1.5所以三角形ABC 的

5、面积是三角形EBC 的面积的4 倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形分析：法1：如图（1） ，将 BC 边四等分，连接各等分点，则法 2：如图（2） ， D 是 BC 的二等分点，BDF 、 DCE 、 ADE 法 3：如图（3） ， D 是 BC 的四等分点， FCD 面积相等。ABD 、 ADE 、 AEF 、 AFC 面积相等。E、 F 是 AC、 AB 的中点，从而得到四个等积三角形ADF 、ABD 、 AEC 、 ECF 、E、 F 是 AD 的三等分点，从而得到4】如图，三角形ABC 的面积是24，D

6、 、 E 和 F 分别是 BC、 AC 和 AD点。求：三角形DEF 的面积。分析：三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24÷ 2=12，三角形 ADE 又是三角形ADC 面积的一半12÷ 2=6。三角形 FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积=6÷ 2=3 。【例5】 如右图，三角形ABC 的面积是144 平方厘米，BD=18 厘米， DC=6AE=10 厘米， EC=5 厘米。求：三角形ADE 的面积。厘米，分析： BD 是 DC 的 3倍， 所以三角形ADC 的面积是：144÷ （ 3+1 ） =36（平方厘米

7、）AE 是 EC 的 2 倍，三角形CDE 的面积是：36÷（2+1 ） =12（平方厘米）；所以三角形ADE 的面积是12× 2=24（平方厘米）。AEF 面积的3 倍；又因为平行四边形的面积AFE 面积的（3 × 2）=6 倍因此，平行四边形【例6】 如右图所示，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点，AF=2CF ，三角形 AFE（ 图中阴影部分）的面积为8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米?分析：连结FB. 三角形 AFB 面积是三角形CFB 面积的 2 倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2 倍，所以三角形ABC 面积是三角形是

8、三角形ABC 面积的2 倍，所以平行四边形的面积是三角形8 ×6=48（平方厘米）【例 7】 图中 AOB 的面积为15cm2，线段OB 的长度为OD 的 3 倍，求梯形ABCD 的面积 .分析： 在 ABD 中，因为S AOB 15cm2 ，且OB 3OD，所以有 S AOD = S AOB =5cm 2 ， 3因为 ABD 和 ACD 等底等高，所以有S ABD S ACD从而 S OCD 15cm2 ，在 BCD 中， S BOC 3S OCD 45cm2 ，所以梯形面积：15 5 15 45 80cm 2 。【例8】 （北京市“迎春杯 ”刊赛） 如右图.将三角形ABC 的 B

9、A 边延长 1 倍到D，CB 边延长 2 倍到E， AC 边延长 3倍到F.如果三角形ABC 的面积等于l，那么三角形 DEF 的面积是？分析：连结AE 、 BF、 CD（如右下图）.由于三角形AEB 与三角 ABC 的高相等，而底边 EB=2BC ，所以三角形AEB 的面积是2.同理，三角形CBF 的面积是3，三角形 ACD 的面积是1.类似地：三角形AED 的面积=三角形AEB 的面积 =2.三角形BEF 的面积=2 × （三角形CBF 的面积）=6.三角形CFD 的面积=3 × （三角形ACD 的面积）=3.DEF 的面积等于三角形ABC 、 AEB 、 CBF 、

10、ACD 、 AED 、 BEF 、 CFD 的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18.【例9】 如右图，在ABC 中， BD=2AD ， AG=2CG ， BE=EF=FC ，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？分析：连结BG，在 ABG 中，S ADG +S BDE +S CFG【例10】 如右图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形分析：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，二是改成的三角形与原四如右上图把顶点A 移到CB的延长线上的A 处，边形ABCD 面积也相等A BD 与 ABD 面积相等，从而A DC 面积与原四这样就

11、把四边形ABCD 等积地改成了三角形A DC 问题是A 位置的选择是依据三角形等积变形原则过与 CB 的延长线交于A 点A 作一条和DB 平行的直线具体做法：连结BD ；过A 作 BD 的平行线，与CB 的延长线交于A 11】 如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4 平A CD 与四边形ABCD 等积方厘米求三角形CDF 的面积分析：连结AF 、 CE ， S ADE=S ACE ； S CDF =S ACF；又 AC 与 EF 平行， S ACE=S ACF ；S ADE =S CDF =4（平方厘米）【例12】如右图，三角形ABG 和三角形AB=10 ，

12、BC=7， ED=4。求四边形分析：因为三角形ABC 与三角形所以三角形ABC小三角形DCGECF 是两个完全一样的直角三角形，EDGF 的面积。ECF 的面积相等，三角形ECF- 小三角形DCG ，所以，四边形EDGF 的面积=四边形ABCD 的面积【例13】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？=（ 10+6）×7÷ 2=56 。ABCD 边长为10分析：法1 ：三角形BEF 的面积 = BE× EF÷ 2，梯形EFDC的面积= （ EF+CD）×CE÷ 2= BE× EF

13、47; 2 = 三角形 BEF 的面积 ，而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以 三角形 DHF 的面积 = 三角形 BCH 的面积，进而可得阴影面积= 三角形 BDF 的面积 = 三角形 BCD 的面积 = 10× 10÷2=50（平方厘米）法 2：连接 所以，阴影面积CF，那么CF 平行 BD ，= 三角形 BDF 的面积 = 三角形 BCD 的面积=50（平方厘米）。附加题目1 】 如右图，四边形 ABCD 面积为1 ， 且 AB=AE ， BC=BF ， DC=CG ， AD=DH 求EFGH 的面积分析：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1 与 S2连结F

14、D，有S FBD=S DBC=S2 ，所以S CGF=S DFC=2S2S AEH=2S1，S AEH+S CGF=2S1+2S2=2（ S1+S2） =2× 1=2AC之后，可求出S HGD+S EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）【附2】 如图，在ABC 中， DC=3BD ， DE=EA ，若 ABC 面积是2，则阴影部分的面积是多少？分析：连结FD，由AE=ED 可知：SAFE =SEFD ，SAECSDCE由 DC=3BD ，可知：S DCF=3S BDF因此S ABC=（ 1+3 3）×S BDF=7S BDF【附3】 （北京市“迎春杯

15、 ”数学竞赛决赛）如右图BE=1/3BC ， CD=1/4AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的 .分析：图中，三角形AEC 与三角形ABC 的高相等，而BE=1/3BC ，于是三角形AEC 的面积三角形ABC 的面积又由于三角形AED 与三角形AEC 的高相等，而CD=1/4AC, 于是EC=2/3BC ，AD=3/4AC,S CDES ACD三角形AED 的面积3三角形AEC 的面积4所以，三角形AED 的面积 =3/4 ×三角形 AEC 的面积323 2 三角形ABC的面积.43=1三角形 ABC的面积2【附4】 （北京市“迎春杯 ”刊赛）下图中三角形ABC 的

16、面积为1，其中 AE=3AB ，BD=2BC ，那么三角形BED 的面积是.分析：连接辅C 助线 E.（三角形BCE 的面积） （三角形DCE 的面积 ）=BC CD=1 1，所以三角形BCE 的面积等.于三角形DCE 的面积 .又因为 （三角形 BCE 的面积） l=BE AB=2 1，所以三角形BCE 的面积等于2.因此三角形BDE 的面积等于2+2=4.【附5】 （ 小数报数学竞赛初赛）如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD分成了两部分三角形 BDC 的面积比三角形ABD 的面积大l0 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是5 分米求梯形ABCD分析：如右图，作

17、AB 的平行线DE 三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差（10 平方分米） 从而，可求出梯形高（三角形 DEC 的高 ）是：2× 10÷ 5 = 4 （分米） ，梯形面积是：1/2 ×15×4=30（平方分米）6】 （ “迎春杯 ”决赛）如图，已知AE=1/5AC ，三角形DEF的面积CD=1/4BC ， BF=1/6 AB ，那么三角形ABC 的面积S分析：连结辅助线AD. 因为 CD=1/4BC ，所以 S ACDS ABC从而S 1SS CDE S ABC5连结辅助线BE、

18、CF,同理可证S BDF= 1SABC81S AEF 6SABC所以 S DEFS ABC1111- - -5681611201如图（1 ） ，在 ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连结BE、 CE，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？解答： 3 个。AEC 、BED 、 DEC 。2如图（2） ，在平行四边形ABCD 中， EF 平行 AC，连结 BE、 AE 、 CF、 BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：AEC 、 AFC 、 ABF 。3如图（3） ，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？解答：ABD

19、与 ACD ， ABC 与 DBC， ABO 与 DCO 。4.如图，在梯形ABCD 中， AC 与 BD 是对角线，其交点求证：AOB 与 COD 面积相等证明：ABC 与 DBC 等底等高， S abc =S dbc又S AOB =S ABC S BOCS DOC=S DBC S BOCS AOB =S COD5右图中两个正方形的边长分别是6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。解答： 4 × 4÷ 2=86如右图，D、 E、 F 分别是BC、 AD、 BE 的三等分点，已知解答：S ABC =27 平方厘米，求S DEF数学童话唐僧师徒摘桃子回