高中数学笔记总结【高一至高三

1、 高中数学知识点 -集合 高中数学第一章 点识要逻辑 知§01. 集合与简易: 一、知识结构 分：逻辑三部集合化简）、简易的知识主要分为集合、简单不等式解法（本章 二、知识回顾： 集合（一） . 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用1. . 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法2. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：A?A ；任何一个集合是它本身的子集，记为?A? ；空集是任何集合的子集，记为 空集是任何非空集合的真子集； A = B.如果，同时，那么AA?B?B. 如果CA?B，B?C，那么A? 全体整数 （×） Z =注：

2、Z= 整数（）?，则A=（×）（例：S=N； 已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.NC A= 0）s 空集的补集是全集. . = ）注 ：CB （C CB = C（B）= D =C=若集合A集合B，则A ，?AAASB，. 坐标轴上的点集R，yx =0y）|xy，xR3. （?， R二、四象限的点集. yxxy（xy）|0，R，. 一、三象限的点集RR，y x0xy）（xy|，. 注：对方程组解的集合应是点集- 1 - 3y?x?1). (2， 例： 解的集合?1y?2x?3?2 ）+1 则AB+1 ，y)| y =x B=y|y =x点集与数集的交集是 =. （

3、例：A =(x?nn个元素的非空真子集n1个. n个元素的子集有2个. n个元素的真子集有2 4. n. 有2个2?. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题?. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题. 应是真命题例：若3?2或ba?b?5，则a?. ，成立，所以此命题为真 b = 3，则a+b = 5解：逆否：a = 2且x?1且y?2， . 3?x?y解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2. ,故是的既不是充分，又不是必要条件. 3?x?y2y?x?1?x?1且y?2且3y?x?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若. 25

4、或x?x5，?x?4. 集合运算：交、并、补. IB?x|x?A交：A,且x?BUB?x|x?并：AA或x?B 补：CA?x?U,且x?AU5. 主要性质和运算律 CA?UU,?A,A?,A?AU 包含关系：（1） .BUB?B?A,A,B?AAIB?B;AU?AB,B?C?AC;AIA?B?AIB?A?AUB?B?CAUB?U 等价关系：（2） U (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论 将不等式化为a(x-x)(x-x)(x-x)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为m012

5、 )了统一方便 求根，并在数轴上表示出来； ；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）轴上方的区间；若不等式x,则找“线”在”x的系数化“+”后）是“>0若不等式（. 轴下方的区间则找“线”在x是“<0”,+xxxx-x-xm-2m-3xm-1xm123 （自右向左正负相间） nn?1n?2?a?0(xa?x?xaa0)(a?0)的解可以根据各区间的符号确则不等式001n2. 定- 2 - ax>b解的讨论；特例 一元一次不等式2. 一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论0?0?0? 二次函数 2c?bxy?ax 0a?）的图（ 象 一元二次方程

6、 有两相等实根有两相异实根 20?cax?bxb)xxx,(x?xx? 无实根?212121a2的根0a?2 0?axc?bx?b?x?x或xxx?x?x ?21a2的解集)(a?0? R ab 的解 分式不等式的解法2.)x(x)f(f(x)fx)f 0(或（1）标准化：移项通分化为0)的形式，>0(或<0)； )g(x(g(x)g(x)gx)xf()f(x0?x)f(x)g(?0x)?0;?(?0?f(x)g ）转化为整式不等式（组）2（?0?g(x)?)x(x)g(g 3.含绝对值不等式的解法 )0c?c?ax?bcax?b?(. （1,与型的不等式的解法）公式法：. 2）定

7、义法：用“零点分区间法”分类讨论（. 3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题（ 一元二次方程根的分布4.20) 一元二次方程ax+bx+c=0(a. （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之）根的“非零分布” 三）简易逻辑（ 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 、逻辑联结词、简单命题与复合命题：2“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；“或”、“且”、 “非”构成的命题是复合命题。、由简单命题和逻辑联结词“或”“且”- 3 - 记作p(q” )；非 )构成复合命题的形式：p或q(记

8、作“pq”；p且q(记作“p ”“q ) 。 “且”、 “非”的真值判断3、“或”、 逆互题命题逆原命的真假相Fp”形式复合命题的真假与（1）“非pq则则若pq若互 反；否为逆互互同为真时为q形式复合命题当“p且q”P与（2）否否逆为 真，其他情况时为假；否互题命逆否题否命同为假时为与q”（3）“p或q形式复合命题当pp则若q逆q若p则互 假，其他情况时为真 4、四种命题的形式： ；则原命题：若P则q； 逆命题：若qp ；逆否命题：若否命题：若P则qq则p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (2) 交换原命题的条件和结论，并

9、且同时否定，所得的命题是逆否命题 (3) 、四种命题之间的相互关系：5?) 原命题一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(逆否命题 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。? 的必要条件。qpq那么我们说，是q的充分条件，是p6、如果已知p?q. ?q是的充要条件，记为p若pq且qp,则称p矛盾，从而与已知、公理、定理)(7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出 否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 函数高中数学第二章- 要点识函 §02. 数 知 一、本章知识网络结构：BF:A?

10、定义反函数 图像一般研究映射 性质函数二次函数指数函数指数具体函数对数函数对数 二、知识回顾： 映射与函数（一） 映射与一一映射1. 2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才. 是同一函数- 4 - （二）函数的性质 函数的单调性 x内某个区间上的任意两个自变量的值,x定义：对于函数f(x)的定义域I2,1 f(x)在这个区间上是增函数；f(x)<f(x),则说若当x<x时，都有2211. f(x) 在这个区间上是减函数f(x)>f(x),则说若当x&

11、lt;x时，都有2112在这一区间具有（严格的）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)若函数y=f(x). .此时也说函数是这一区间上的单调函数单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间 2.函数的奇偶性 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：)(xf为奇）定义域在数轴上关于原点对称是函数（1)x?f(f?x)或）函数或偶函数的必要不充分条件；（2)x?f(f(?x)? 是定义域上的恒等式。奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数2轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也的图象关于y 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增3

12、. 减性相反 |)(|x(x)?ff反之亦成立。则，是偶函数，4如果)xf(0)?f(00x? 时有意义，则若奇函数在。 奇函数，偶函数：7. 偶函数：)?f(xf(?x). ）也是图象上一点设（）为偶函数上一点，则（b,aba,? 偶函数的判定：两个条件同时满足2. 在上不是偶函数定义域一定要关于轴对称，例如：1x?y?y)11,?f(x). ，若时，或满足1?0x)?f)?x)f(x?f(x)?(x)0?f(f)x?(f 奇函数：)?(?fx)?f(x. ）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点设（bab?,?,a 奇函数的判定：两个条件同时满足- 5 - 3. 定义域一定要关于原点对称，例

13、如：上不是奇函数在xy?)1,?1)xf(. ，或满足，若时，1?0f(x)x?0)?f(?x)?f(x)?f(?x)?f()x(?f轴对称y ）f（x8. 对称变换：y = ?x）y?f（轴对称x x）y =f（?）?f（x?y原点对称 f（x）y =?）f（?x?y? 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：9. )(x?x?（xx） 22222121?bxx)?x?b?f(x)?f(2211 2222b?x?bx?1x. 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域x与集合A（x）的定义域是B，则集合例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数ffx

14、1?AB? . B之间的关系是 ?. 故，而的定义域解：的值域是，的值域，故，ARB?AB?B?R)xf(x)f(1x?xf(f(x)| 11. 常用变换：)xf(. ?y)?f(x?(yx?)?f(x)fy)f()yf()yf( 证：)(yx?y)fyf(x?)?f(x?y)?y?(?f(x)?f)xf(x )yf(x?y)?f()?()f()?f(x?f(y)?fxyxx 证：)y()?f)?f(?f(x)f(?yyy 熟悉常用函数图象：12. |2x?|x2|?|x|111?|x 关于例：轴对称. 2?yy?yyy?|x|?222? yyy(-2,1)(0,1)xxx y2. 关于轴对称

15、|x?2?1xy?|2|yxx 熟悉分式图象：y71?2x 定义域例：，2?xx|?3,Rx?y23?x3?xx3 值域前的系数之比值域.y,?R2?yy|x? （三）指数函数与对数函数- 6 - x)?1?0且ay?aa( 指数函数的图象和性质a>1 0<a<1 4.54.5 图443.53.5 332.52.5 象221.51.5y=1y=1110.50.5-4-3-2-11234-4-3-2-11234-0.5-0.5 -1-1 (1)定义域：R 性（2）值域：（0，+） 质（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 (4)x>0时，y>1;x<0时，

16、0<y<1 (4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1. （5上是增函数 ）在R上是减函数 （5）在 R: 对数函数y=logx的图象和性质a对数运算： (1)Nlog?N)?logMlog(M?aaaM?logM?loglogNaaaN?12)nM?nMloglog?aa1nMlog?logM aanNlog?aNaNlogb换底公式：logN?aalogb推论：logb?logc?loga?1cab?loga?loga?.?loga?loganaa3a2na1112n? 1?0.aa1,a?且?0,c?0,b?0,a?0,N0,?a1,?M?b1

17、,?c ）（以上n12 - 7 - 0<a<1 a>1 当：注，时0?,bayxy=loga>1a)b)?log(?b?)?log(?alog(a图. 当：Ox0?M象，时，取“+”n是偶数时当x=1a<1，时且0M? 而，n0M?0M?故取， ，+）（1）定义域：（0. “”：例如2x(2log?2logxxlog?R 2）值域：（aaa而x0中2中xxlogy=0 时，（3）过点（1，0），即当x=1a. R）0?y),01x?(),1x?(0xay?性 （4）时 时 0?y）（1a?a?0,0y?)1,?(x? 质与x?logy 时a. 互为反函数),?1x

18、?(，时当1?a的xlogy?ay>0 时 值越大，越a 轴；当靠近x，时1a?0 +）上是减函数在（+5（）在（0，）上是增0，. 则相反 函数 （四）方法总结. .相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同 对数运算：- 8 - )1(NloglogM?log(M?N)?aaaMNlog?logM?logaaaN?)12nMloglogM?naa1n?MMloglog aanNlogNa?aNlogb?换底公式：logNaalogb1c?loga?推论：logb?logcbaalogloga?loga?loga?.?naaa32an1121n?1?0且c?1,a,a.a?c0,?N

19、?0,a?0,a?1,b?0,b?1,?0,M （以上）n21 . 时，注：当0?a,b)?b?log(?a)?log(blog(a?)n0M?. ，而，当，故取“”是偶数时且时，时，取“：当+”n0?M0M?0M?22. 而）中xR例如：中x0xlog(logx?2logxlogx?2aaaax. ）与（互为反函数a?yxy?log1?0,aa?a. 时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反当1a?0?xlogy?x1a?aa. 函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.). 即原函数的值域，注明反函数的定义域(.反函数的求法：先解x,互换x、y函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的

20、不等关系式，求解即可求得函数.；对数的真数；偶次根式中被开方数不小于0的定义域.常涉及到的依据为分母不为0. 零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等大于0，底数大于零且不等于1；反函数法；换元法；“判别式法”.函数值域的求法：配方法(二次或四次). 不等式法；函数的单调性法)x；判定f(xx.单调性的判定法：设,x是所研究区间内任两个自变量，且x22111. 的大小；作差比较或作商比较f(x)与 2之间的关f(x)奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算.f(-x)与f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x)系：f(-x)=f(x)为偶函数；为奇函数；f(-x)-f

21、(x)=0为偶；. 是偶；为奇函数f(x)÷f(-x)=-1为奇；f(-x)/f(x)=1图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的. 图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象 数列第三章高中数学 考试内容： 数列 项和公式等差数列及其通项公式等差数列前n n项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 考试要求：- 9 - ）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能（1 根据递推公式写出数列的前几项项和公式，并能解决简单的实际）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n（2 问题项和公式，井能解

22、决简单的实际）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n（3 问题 要点 列 知识 §03. 数 项数列的定义 项数数列的有关概念 数列 数列的通项 通项 数列与函数的关系 等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 项和等比数列的前n n项和等差数列的前 等差、等比数列：1. 等比数列等差数列 da?a?a 定义nn?1n?1 )0q?q(an ；mda?a?a?d?a公递推nnn?1nm?n?m ；qaa?qaa?mn1n?n 式 d)(n?1a?a?公项通1n1n? （）qa?a0,q?a1n1 式

23、中项aa?kn?kn?A)?0a?aa(aGknkn?knn?k?2* （）0?,n?k?0?n,k?Nkn,k?N,n项前nn)?1na(q? )(aa?S1nn1 和2?n ?Sq?a1qa?a?nn11)q?2?()n1(n?q1?1?q ?nadS?1n2 性要重 质*)q?p?nm?,(a?a?aamnpqN,?,?a?aaaNqpn,m(,? qpmnqpmn)m?qp?n- 10 - 等比数列等差数列 定义a常数）?P?a?a?d(a为A 1?nn1nn?常数）(P?qa为G? nan公项通k?nn?1aadnaaqaq?aa?-d d=+（n-1）d=）+（=n-k+ 11kn

24、kn1 式 公和求)(a?an)(n?1nna1)(q?n1?na?ds?1? 式n122?sn qaa?)?qa(1?ddnn11?1)(q?2?n(?n?)a?q1?q?11?22 ba?公项中22aaa?a?a?aab?G 推广：2=A= 。推广：mnnn?m?mnn?mn?2 式1 性aaa?aa?a?aa? 。若则 m+n=p+q，则 若m+n=p+qqppmqnmn质 2 aNk?kN?kk则成A.P若（其中），成等比数列若 （其中）knnnnn A.P。也为a 则成等比数列。kn3 ss?s?s,?s,s?ss,s,s 成等差数列。 成等比数列。nnn2n33nnn2n2n2n4

25、 aaaaa?a?mn?n?1nn?q?qnm1n ， )n?d?(m? aanm?n?1m1)n(m? 5 看数列是不是等差数列有以下三种方法： )为常数n?2,da?a?d( 1n?n) (22?naa?a?1?nn?n1 (为常数). kn,ba?kn?n 看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,q为常数,且?qa?a(n?2 1nn?2 ，)(aa?a?2n?0?aaan?1n?n11nn1n?、. c等比数列a，是i. 注：abbc成等比的双非条件，即ac?bacb、. （acii. 0等比数列的充分不必要abc）为acb?- 11 - 、. 等比数列的必要不充分iii. 为acb

26、ac?b?、. b等比数列的充要iv. 且为acac?b?0ac?、. ，则等比中项一定有两个注意：任意两数a0c不一定有等比中项，除非有acn). 为非零常数(cq?aq,cn. （）成等比数列正数列成等比的充要条件是数列1x?aalognnx)?1s?a(n?11?a? 与通项数列的前项和的关系：aaSnn)2s?s(n?nnn?nn?1?可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列： （注da?n?1?d?nda?a?d1n1. 也是等差数列）若不为0，则是等差数列充分条件）dddd?22可以为零也可不为零为等差的 n前项和等差 anaS?An?Bn?n?n1n222? 充要条件若为零，

27、则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. dd （不是非零，即不可能有等比数列）非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.2 2. 等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k；倍.S?S,SS?S,k3kk2kk2Sa奇n?，S?ndS? ，则若等差数列的项数为2；Nnn?奇偶aS1?n偶?Sn，且 若等差数列的项数为，则N?2n?1nan?S?12aS?S?奇?n1n?2n偶奇Sn?1偶 . 得到所求项数?1n到2n?代入?1?nn n = 3. 常用公式： 1+2+3 +2?1n?1?2nn2222 ?n1?2?362?1n?n?3333 ?2?3n1?2?

28、?5nn. ，5，55，555；：熟悉常用通项：注9，99，999，110?a?1?10?ann9 4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：n，则每年的产量. 例如，第一年产量为，年增长率为生产部门中有增长率的总产量问题ra1n? 成等比数列，公比为. ，且过年后总产量为：其中第年产量为r1?)?ra(1nnnr)?aa(1?1?2n .?1)1?r?a(?r).?a?)(1?r(?aa)?r1?(1，每月利息按复元，利息为银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存ran 元个月后便成为利计算，则每月的元过. 因此，第二年年初可存款：)1a(?rna- 12 - 12)1?ra(1

29、?r)1?(101211. =)1?r?.?(aa(1?r)?a(1r)?a(1?r)?(1?r1. m为m个月将款全部付清；为年利率分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；ra?mmr1?r1?1arx?m2mmm?1? ?xr?.x?1r?ra?1?r?x?1?rxa?1?x?1?mr1r?1? 数列常见的几种形式：5. 、. 用特证根方法求解q为二阶常数）（pqa?a?pa?n?n?21n22若并设二根写出特征方程具体步骤：）（，对应，x对应qx?Pxxx?xx,axa21n?2121?nnnn. 确定可设；由初始值，若可设x)c(?cna?xcx?a?ca?xa,xcc,1n1221

30、.1n2112212、转化r为常数）（P用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数nra?Pa?1n?n1n?由（公式法），的形式，为再用特征根方法求；Pa?c?caa,aca?Pa,c?qa2n121n2nn?21n?1. 确定r. 转化等差，等比：?xPxa?Pa?xPa?x?(a?x)?nnnn?1?11?Prr1n1?n? 选代法：x)PxP?a?(a?(a?a?Pa?rr)?r?P(Pa?11n2nn?1?n1P?P?12?nn?1. r?Pa?Pr?r?P1rPa?a?n1n?. 用特征方程求解：相减，?Paa?P?a?a?Pa1?Pa）?a?（?1?nn?1?1nnn?nn1ra?

31、Pa?1n?nrrrr1n?n?1由选代法推导结果：. ?c?（a?）P?ca，c?a?，?cP1112n12P1?PP?1P?11? 6. 几种常见的数列的思想方法：值，有两. 如何确定使取最大值时的等差数列的前项和为，在时，有最大值SS0?dnnnn 种方法： dd2的二是由值；一是求使利用二次函数的性质求，成立的nn?)?S?(a0a?0,a?nn1n1?nn22. 值项和可依照求此数列前如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，n111 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：等比数列前,.),.(2n?131?,nn422两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此

32、等差数列的首项就是原两个数列的第. 一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数dd，21 验,2n判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：2. (1)定义法:对于的任意自然数an)(aa?证:验公(3)中项式法。式项(2)数证一为同常。通公法1?nna1?n- 13 - 2a?a?2aN?)(a?aan 都成立。2?1nnn?2nn?1?n0a?maa使3. 在等差数列S中,有关 的最值问题：(1)当的项数>0,d<0时，满足m?n1n0a?1m?0a?mass取最小值。在解含绝对值的项数m得取最大值. (2)当使得<0,d>0时，满足?1mm0a?1m? 的数列

33、最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。1. ?ca部分无是各项不为0的等差数列，c为常数；其中 2.裂项相消法:适用于 ?naa?1?nn 理数列、含阶乘的数列等。?baba 是各项不为0的等比数列。其中3. 错位相减法:适用于 是等差数列，nnnn. n项和公式的推导方法: 4.倒序相加法类似于等差数列前 5.常用结论)?1n(n 1）: 1+2+3+.+n = 22n 1+3+5+.+(2n-1) =2）21?333)1n?n(1?2?n 3 ）?2?12222)12?3n?n?(nn?1)(21? 4 ）

34、 61111111)?(? ）5 n?22?)n?1n2(nnn(n?n1) 1111)q()p?(? 6）qpqqp?p -三角函数高中数学第四章考试内容： 角的概念的推广弧度制正弦、余弦的诱导.任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式 公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切的图像正切函数的图像)y=Asin(正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数x+ 和性质已知三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法- 14 - 考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正

35、割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 （8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1

36、，sin/cos=tan,tan?cos=1” §04. 三角函数 知识要点 ?的终边重合）合（角与角：（0°360°）终边相同的角的集1. 与? Z?360k?|,?ky23?sinxsinx? 轴上的角的集合：x 终边在Z?,|k?k?18041cosxcosx?x? y轴上的角的集合：终边在Z,k?k?180?|90?cosxcosx?41? 终边在坐标轴上的角的集合： Z?k?90|,k?sinxsinx32? y终边在=x轴上的角的集合： Z?k?180?45k,|三角函数值大小关系图COSSIN1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域? 轴上

37、的角的集合：终边在Z?k180k?45?,|x?y? 与角若角与角的关系：的终边关于x轴对称，则角?360k? 与角的关系：的终边关于y轴对称，则角与角若角?360180k? 若角与角的关系：的终边在一条直线上，则角与角?180k? ? 的终边互相垂直，则角与角的关系：与角角90?360?k?2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18 ?注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. ?1800.01745（rad） 1 ° 、弧度与角度互换公式：1rad

38、°°57.30°=5718?18011?2r|?l?|?r|s?|lr? 扇形面积公式：. 3、弧长公式：扇形22?的终边上任取（异于原是一个任意角，在4、三角函数：设y的终边ay ；，则 x,y点的）一点P（）P与原点的距离为r?sinrP（x,y)ryrrxx. ；. ； ； ?tan?csc?sec?cot?cosoxxyxyr- 15 - （一全二正弦，三切四余弦）5、三角函数在各象限的符号：yyyyT+-+-+Poooxxx+-+-AxOM余弦、正割正切、余切正弦、余割 6、三角函数线几个重要结论16. :(2) 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：

39、y(1)y|sinx|>|cosx|AT. sinx>cosx|cosx|>|sinx|cosx|>|sinx| OOxxcosx>sinx 7. 三角函数的定义域：|sinx|>|cosx|?sinx<x<tanx若 o<x<,则(3) 2 定义域 三角函数 ? sinxRxx)?|f(x? cosxRx?x|f(x)? xtan?)f(x1? ?Z?k?k,x|x?R且x?2?sin 、同角三角函数的基本关系式： 8 ?22cos?1?cottan1?sincos?tan?cot?cos?sin 9、诱导公式：?k “奇变偶不变，

40、符号看象限”?的三角函数，概括为：?的三角函数化为把2 三角函数的公式：（一）基本关系 （二）角与角之间的互换 ?sincossin)?coscos(?cos?2sin2sin2222 ?sin?1?1?cos22?coscos?2?sinsin?coscos(?cos)?sin?tan2? ?tan2sin?sincossin(cos?)?2?tan?1?cos1? ?sinsinsin(?)?sincoscos22?tan?tancos?1? ?tan()?cos?tantan1?22?tantan?cos?1cos1sin? ?)tan(?tan?tan?1tan?sin12?cosco

41、s1?- 16 - 2?6. ,?26?3?2?3tan752?tan15cot?cot7515?cossin7515?sin15cos7544 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：10. ?y?Asinx xcosy? xtany?xsiny? ）、0（A?1 R R R ? 定义域?Z?k,?kx|x?R且x?2? 1?,?1?1?1,R 值域?AA,? ? 22 周期性?2 ? 当非奇非偶,0? 奇函奇函数偶函数奇偶性 ? 奇函数当,?0 数? ,2k?1?；k,?k?,k?2?2k?22k2 ?22),(A? 数为增函函上为增上?2k?2?1 数（）Z?k?2k?2?,2k 增为上

42、?)(?A ?12k? ；函数 函上为增函数；上单调性 为减?,2k? 数?2?2k?23 （）Zk?),A(?2k?2 ?3?2k?减上为?2)A(?数函?数函为（上减） （ ZZk?k?.的单调性也同样相反的单调性正好相反；与注意：与xcosxy?y?cosxyx?siny?sin. 在一般地，若在上递增（减），则上递减（增）,aa,bb)?x?x()f(yy?fy. 的周期是与?x?cosyxsiny? ?2?. ）的周期（或?)xcos(?y?0?)y?sin(x?T?xOx? （. 的周期为2，如图，翻折无效）tan?y?2?TT?2?的对（），对称中心（；的对称轴方程是）?)y?x

43、cos(?x?k0,k)y?x?sin(Zk?2?k?)?xy?tan(1. ）；）的对称中心（）（称轴方程是，对称中心（0,?Zkk?x?0?k,22 原点对称xcos2?cos(?2x)?xy?cos2?y?. ；·当·,?1tantan1?)?k?k(?Z)?kZ?k(tantan22? ,与而是偶函数，则是同一函数xy?cos?)x?(y?ky?x?sin2?2?- 17 - 1. ?)x?x)?x?)?sin(?cos(y?(k2xtany?R若在整个定义域，只能在某个单调区间单调递增在. 上为增函数.函数（×） x?tany. 为增函数，同样也是错误的

44、)xf(一是定义（奇偶性的两个条件：具有奇偶性的必要不充分条件.定义域关于原点对称是，奇函数：域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)f(?x)?f(x ）)x?f()f(?x?1xy?tan（定义是非奇非偶奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，?)?y?tan(x3 域不关于原点对称）x0?0?x)(xf 的定义域，奇函数特有性质：若.一定有（的定义域，则则无此性质）00)?f(yy? 为周期函数（）不是周期函数；?Tx?sinyxy?sinx1/2?是周期函数（如图）；为周期函数（ ?Txxcosy?x?ycos图象cos|x|y=图象|x+1/2y=|cos2?1

45、（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 的周期为?2xy?cos2. Rk?x?k),f(x)?5?f(y?b2222. 有?y?b?a?sin(?bcoscos?bsin?a)?yaa 11、三角函数图象的作法： ）、几何法：. （正、余切曲线）余弦曲线），三点二线作图法）、描点法及其特例五点作图法（正、 ）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等?;x?|1|?2（即，频率初相，相位）的振幅|A|，周期函数yAsin（x ?f?T?2T?| 时以上公式可去绝对值符号），A0，0 时的相位）当x0（当|A|0的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐

46、标伸长（当|A|1）或缩短（当由ysinxy/A（用振幅变换的图象，叫做或叫沿y轴的伸缩变换1）到原来的|A|倍，得到yAsinx ）替换y）1|1）或缩短（|（由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长0|替用x轴的伸缩变换的图象，叫做周期变换或叫做沿x(sin到原来的倍，得到y x1|?x) 换个单位，0）平行移动）或向右（当由ysinx的图象上所有的点向左（当0x) 替换或叫做沿x轴方向的平移(用x相位变换xy得到sin（）的图象，叫做个单位，b0）平行移动bby由sinx的图象上所有的点向上（当0）或向下（当 替换y）y+(-b)轴方向的平移的图象叫做沿得到ysinxby（用

47、- 18 - 的图象，R）0）（x（x）（A0，由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin x轴量伸缩量的区别。要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 -平面向量高中数学第五章 要点 知识量§05. 平面向 1.本章知识网络结构 2.向量的概念AB a向量的表示：几何表示法 ；字母表示：(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)j ），a（.坐标表示法 .a(3)向量的长度：即向量的大小，记作? .特殊的向量：零向量aOOa(4)? 为单位向量单位向量a1.aOOxx?21? ，），)(5)相等的向量：大小相等，方向相同(（?2112y?y?21? 0a+b=(

48、6) 相反向量：a=-bab=-b平行向量也称为.记作a.(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量 共线向量. 向量的运算3. 运算性质 几何方法 坐标方法 运算类型rrrra?b?ba rrrrrrrr 向量的 1.平行四边形法则)y?y,ba?(x?x)c(?a?b?(ab)?c 2121 2.加法 三角形法则AC?AB?BC rrrr)(a?bba? rr 向量的)x?(?b?x,y?ya 三角形法则 ruuruuuu2211 减法AB?OA?OBBA?AB? ,- 19 - r?a满量是一1.个,向rr?a)a)?( rr?|?|aa| 足:rrr 数?aa?(a

49、?) rrr 乘?)a?(x,ya与a ; 2.同向>0时, rrrr 向?b?b)?a(a? rr 量?aa与; 异向<0时, rrrr?ba?/ab? rr?0a?. , =0时rrrrrrab?ab? ba? 是一个数rrrrrr 向rrrr?)a?b)?b()a?b?a?( 量0?a?0或b 1.时，rrrrrrrrr 的rryyxa?b?x?c?b?a?ca(?b)?c 2112 数0?b?a. rrru 量rrrr2222ya|=x?a?|a|即| 时，ba?0且?0 积rrrr 2.rrrrg)ba|ab?|ab|cos(,|?|ab|a?b| 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对e，e21 实数，1 e，使a.e21221 (2)两个向量平行的充要条件? 0)O.xbyxyaba(b1221 (3)两个向量垂直的充要条件? xO.yOxyaba·b2211 线段的定比分点公式(4)PPPPPP P ，则所成的比为设点分有向线段，即211211OPOPOP (线段的定