g习题课(定积分的应用)

1、一一. 基本要求：基本要求： 1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。 2.初步掌握运用初步掌握运用“元素法元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。解决物理、力学及应用中的某些问题。二二. 重点、难点与例子（共重点、难点与例子（共11例）例）. 1. 几何应用方面：几何应用方面： (1) 求面积求面积 (2) 求体积求体积 (3) 求弧长求弧长 (4) 求侧面积求侧面积 2. 物理应用方面：物理

2、应用方面： (1) 求平行力作功求平行力作功 (2) 求压力求压力 3. 定积分其他应用定积分其他应用: (1)求函数平均值求函数平均值 (2) 实际问题实际问题三三. 课堂练习课堂练习(共共7题题)四四. 综合题综合题(共共3题题) 综合题解答综合题解答一一. 基本要求基本要求(1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积平面图形求面积的问题。的问题。(2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体截面

3、面积已知的立体 求体积求体积问题。问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 一般立体的求体积问题一般立体的求体积问题以后以后用二重积分或三重积分可以解决。用二重积分或三重积分可以解决。(3) 利用弧微分（在局部，用切线长利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长近似曲线长 s），可以解），可以解 决决任意平面曲线任意平面曲线（曲线函数已知）（曲线函数已知）求弧长求弧长的问题。的问题。 一般空间曲线的求弧长问题一般空间曲线的求弧长问题以后以后用第一型曲线积分可以解决。用第一型曲线积分可以解决。(4) 通过弧微分，

4、求通过弧微分，求旋转体的侧面积旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题求一般曲面的面积问题以后以后用第一型曲面积分可以解决。用第一型曲面积分可以解决。1. 定积分的几何应用定积分的几何应用2. 元素法元素法(1) 怎样的量怎样的量 U 可以用定积分计算？可以用定积分计算？1o 量量 U 与给定区间与给定区间a, b有关；有关；2o 量量 U 对区间对区间a, b具有可加性具有可加性.(2) 计算步骤：计算步骤：1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a, b ；2o x a, b,求小区间求小区间

5、x, x+dx上的部分量上的部分量 dU ; 称称 dU= f (x)dx为元素为元素 . d)( baxxfU计计算算定定积积分分(3) 计算中的关键和难点：计算中的关键和难点：找到找到 f (x) .f (x)的表示式与选择的坐标系有关。的表示式与选择的坐标系有关。3oS baxxfS d| )(|. dcyyS d| )(| . 2d)(21S.(1) 求面积求面积Scd直 角 坐 标 系直 角 坐 标 系极坐标系极坐标系边界边界函数函数图形图形面积公式面积公式y=f(x)x = (y) = ( )Sa bx = a, x = b, y = 0y = c, y = d, x = 0 =

6、, = 二二. 重点、难点与例子重点、难点与例子. 1. 几何应用方面几何应用方面例例 1.的的区区域域的的面面积积。成成轴轴所所围围轴轴、和和，直直线线求求曲曲线线 3 1 2yxyxxy 解：解：3yx013先画图先画图.S1S2联联立立，解解交交点点： 312yxxy 21 yx21SSS 102d)1(xx2221 223103 xx. 310 .需分块儿！需分块儿！1例例 2面面积积。的的圆圆内内公公共共部部分分图图形形的的所所围围成成，求求三三条条圆圆曲曲线线 4)3()1( , 4)2( 4 222222 yxyxyx210 xy3解：解：先画图先画图.弓弓SSS3 . 弓弓主要

7、是求主要是求 S用极坐标：用极坐标：.cos4 4)2( 22 ryx即即.r = 4 cos 3 23 2d)cos4( 21 弓弓S 23 )dcos2(14 .332 弓弓SSS3 )33 2(33221 ).3 (2 .还有别的方法吗？还有别的方法吗？方法方法 I.例例 面面积积。的的圆圆内内公公共共部部分分图图形形的的所所围围成成，求求三三条条圆圆曲曲线线 4)3()1( , 4)2( 4 222222 yxyxyx210 xy3解：解：方法方法 II.弓弓SSS3 . 弓弓主要是求主要是求 S用初等方法求图示部分：用初等方法求图示部分：3 SSS扇扇弓弓.33 2 弓弓SSS3 )

8、33 2(33221 ).3 (2 .322132212 2例例 3图图形形的的面面积积。的的平平面面所所围围成成求求由由星星形形线线 sin ,cos 33 ayax 解：解：0 xyaaaa 由由对对称称性性 0 2 33)cosd(sin4tataS axyS 0 d4 2 0 242dcossin12ttta 2 0 642d)sin(sin12ttta 264253124231122a. 832a .:作作变变量量代代换换 sin cos33 ayax ， (2) 求体积求体积1o 已知平行截面面积为已知平行截面面积为A(x)的立体体积的立体体积 baxxAVd)(2o 绕绕 x 轴

9、旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 baxxfVd)(2xA(x)xba 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴轴xf(x)bxa.yx03o 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 dcyygVd)(2yx0 x=g(y)cd.4o 用柱壳法求绕用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积曲边梯形曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b,y = 0 绕绕 y 轴轴.af (x) baxxxfVd)(2.如下例：如下例：b2a例例4 4：用用柱壳法柱壳法求旋转体体积求旋转体体积. .：方方法法 2的的体体积积。轴轴旋旋转转一一周

10、周所所得得旋旋转转体体围围成成的的图图形形绕绕所所及及与与直直线线求求曲曲线线 0 2, )0( yyaxaxaaxy yx0a baxxxfVd)(221 VVV 解：解： 21d)( 21212ayya . 1轴轴：绕绕方方法法y aaxxax2d 2.22a 由柱壳法的公式：由柱壳法的公式：.axy 分块儿求分块儿求, 怎么分？怎么分？S1S221 1 2121)2(22aa.22a 显然柱壳法简便。显然柱壳法简便。 )()(tytx )( abxxflbad)(12 tttld)()( 22 22d)()( l y = f (x) ( ) ( ). (3) 求弧长求弧长 . .xy0(

11、t)(t)0(a b )( )( )例例 5. 2 223lxyxy所所围围成成的的图图形形的的周周长长及及求求由由曲曲线线 解：解： 先作图先作图 . 图形关于图形关于 y 轴对称轴对称.2781313 .0 xy11CBA 2232 xyxy解解交交点点：得得A(1,1), B(1,1)2241 2 2 , 圆圆记记圆圆的的周周长长为为 l 1 0d491yy 1 0)49d(1 49194yy.圆圆lAB 41 ABOAl 2 1 02d)(1yyxOA .2 2271613262 ABOAl 23xy 例例 6为为正正整整数数）的的全全长长求求曲曲线线nnxnynx,0.( dsin

12、0 解：解：nxxysindd tnx 令令 0d sin1nxnx 0d sin1ttn. 4n . 0d sin1|cos|tttn 220d sin1cosd sin1costttntttnxxflbad)(12 2 20d sin1)sin1d(d sin1)sin1d(tttntttn曲线曲线 y= f (x) 绕绕 x 轴旋转轴旋转, baxxfxfAd )(1 )( 2 2侧侧面面积积bxa .(4) 求旋转体侧面积求旋转体侧面积 A . txtytx , )()( 轴轴旋旋转转绕绕曲曲线线 ttttAd )()( )( 2 22侧侧面面积积.曲线绕曲线绕 y 轴旋转有类似的结果

13、。轴旋转有类似的结果。bbax0y. )( )( 222Axbaabyx面面的的面面积积轴轴旋旋转转而而成成的的圆圆环环绕绕求求曲曲线线 解：解：曲线用极坐标：曲线用极坐标： tabytaxsincos 202222d cossin)sin( 2ttatatab例例 7 20 t ttttAd )()( )( 2 22侧侧面面积积由已知公式：由已知公式：. 42ab .平行力平行力：指大小变而方向不变的力。：指大小变而方向不变的力。一般变力一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型（大小、方向都变）的作功问题用第二型曲线积分解决。曲线积分解决。2. 物理应用方面物理应用方面xF(x)a b作

14、作功功：求求平平行行力力 )( )1(xF baxxFWd)(0.一般情况下，力函数一般情况下，力函数F(x)需要自己寻找。需要自己寻找。如下例：如下例：解法解法 I：选择图示坐标系选择图示坐标系.例例8.1 , 0 x.xy2米米10 xx+dx上所消耗的功近似地为：上所消耗的功近似地为：)1(d 8 . 9d2 xxyWxxxd)1)(1(2 xxxxd)1(32 1032d)1(xxxx12 118 . 9 = 9.8 = 9.8 W = 9.8 ./9.83米米千千牛牛设设水水的的比比重重为为).(2 .28千千焦焦 .将这薄层水抽到地面将这薄层水抽到地面耗耗的的功功。水水全全部部抽抽

15、到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2解法解法 II： 选择图示坐标系选择图示坐标系.例例8,0 , 1 y.yx2米米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗的功将这薄层水抽到地面上所消耗的功近似地为：近似地为：)1(d 8 . 9d2yyxW yyyd)1)(1(2 yyyyd)1(32 0132d)1(yyyy耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半

16、半径径为为离离地地面面 1 2= 9.8 = 9.8 W = 9.8 ).(2 .28千千焦焦 解法解法 III：选择图示坐标系选择图示坐标系.,1 , 0 y.yx2米米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗的功将这薄层水抽到地面上所消耗的功近似地为：近似地为：)2(d 8 . 9d2yyxW yyyd)2()1(1 2 yyyyd)44(32 1032d)44(yyyy显然，选择显然，选择方法方法 I和和方法方法 II的坐标系计算功比用的坐标系计算功比用方法方法 III简便一些简便一些.例例8=9.8 =9.8 W = 9.8 ).(2 .28千千焦焦 耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到

17、地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2(2) 求压力求压力 比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力之总和。因此，可以用定积分求压力。之总和。因此，可以用定积分求压力。 那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？ 由物理学中由物理学中“帕斯卡定律帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各：在同一深度

18、，液体在各个方向产生同样的压强。个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一块面积所因此，垂直竖立的一块面积所受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压力，即此块水平面积上承受的液体重量。力，即此块水平面积上承受的液体重量。 看下例：看下例：例例 9是是多多少少？求求闸闸门门所所受受压压力力水水的的比比重重为为，高高为为。已已知知三三角角形形底底边边长长它它的的底底边边与与水水平平面面相相齐齐在在水水中中，闸闸门门，这这闸闸门门垂垂直直竖竖立立某某水水坝坝中中有有一一个个三三角角形形Pha, . 解：解： 选择图示坐标系选择图示坐标系.xoya

19、hx+dxx, , 0hx 先求这一薄层的长先求这一薄层的长 b :bhxhab 由由hxhab)( 得得这一薄层的面积约为这一薄层的面积约为:xhxhaxbd)(d 所以这一薄层受的水压力约为所以这一薄层受的水压力约为:xxhxhaxxbPd )(d d hxxhxhaP0d)(.62 ah.的的平平均均值值： 上上连连续续函函数数闭闭区区间间求求 1 1 )(, )(xfbaabf (x) baxxfabxfd)(1)( 3. 定积分其他应用：定积分其他应用： .)( xf. , 10 的的平平均均值值求求在在这这个个过过程程中中压压力力膨膨胀胀到到由由在在等等温温过过程程中中，若若体体积

20、积一一定定质质量量的的理理想想气气体体，例例PVVba由由物物理理学学知知：解：解： 压压力力的的平平均均值值为为. lnababVVVVk . VkP .是是常常数数k是是体体积积，V baVVabVVkVVP d1,204)( ,2000 11.2 rrp其其人人口口密密度度为为年年进进行行人人口口普普查查统统计计某某城城市市例例解：解：. (2) 需要用元素法解决的实际问题需要用元素法解决的实际问题的的单单位位为为每每平平方方公公里里人人口口密密度度表表示示距距城城市市中中心心的的距距离离其其中中)(,rpr数数。公公里里圆圆形形区区域域内内人人口口总总半半径径为为万万人人。试试求求距距

21、城城市市中中心心2102r0,2 , 0 r 对对应应一一个个圆圆环环，小小区区间间 , rrr 数数的的近近似似值值为为：此此圆圆环环域域上上对对应应的的人人口口,d rr 一一个个增增量量给给rrrpNd2)(d 20d2)(rrrpN 202d202 4rrr202)20ln( 4 r).10(56ln 4万万人人 具具有有可可加加性性，因因总总人人口口数数对对区区间间2 0dr 的的一一段段弧弧长长。到到从从 求求曲曲线线4 4. . 积积。与与其其渐渐近近线线间间图图形形的的面面曲曲线线求求面面积积。的的所所围围图图形形: :求求三三条条曲曲线线面面积积。的的轴轴所所围围图图形形上上

22、与与在在求求曲曲线线 34 43 1 e 3. 2,1 2. 2 , 0 cos . 122 rxyxxyxyxxyx三三. 课堂练习课堂练习 。轴轴旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 10, ,2 . 622xyxxyxy 旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积. . 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线1 1 , 2 , 1 ,2 2 yyxxxy 积积。曲曲面面面面的的成成生生旋旋转转，求求轴轴旋旋转转极极) )绕绕( (1 1 线线将将心心形形 cos . 7a 5.).()(2d)()(, ,)( . 21bfafabxxfxfbaCxfba 非非减减，

23、则则.2004)()( ), ,( )()(,0)(,0)( ,)( .3 BAbahBhAafxfbaDxf使使唯唯一一，与与试试证证：对对图图示示两两块块面面积积，且且的的面面积积最最小小。两两点点处处的的法法线线所所围围图图形形及及在在曲曲线线，使使这这条条曲曲线线和和它它中中试试选选一一条条在在曲曲线线族族 )0 , 1()0 , 1( )0)(1( 1.2 axay四四. 综合练习题综合练习题f (x)abB(h)A(h)f (h)h0yxxy011a)1(2xay 返回首页.轴轴所所围围图图形形面面积积。 上上与与在在求求曲曲线线xxy 2 , 0 cos . 1 三三. 课堂练习

24、解答课堂练习解答= 4xxSd |cos| 20 xxdcos420 解：解：2.2ln23 . 21d)1(xxxS所所围围面面积积。: :求求三三条条曲曲线线 2,1 xxyxy1221xy0解交点：解交点：解：解：. )2 , 2( ),1 , 1( 得得积积。与与其其渐渐近近线线间间图图形形的的面面求求22e xxy 曲线有渐近线：曲线有渐近线： y = 0 .= 2 02de22xxx3.线线：近近渐渐先先求求 S 面面积积解：解：xy00elim22 xxx由对称性由对称性 022e2x的的一一段段弧弧长长。到到从从 求求曲曲线线3443 1 r. 344322d11 .4.解：解

25、： 22d )()( rrl这是一条双曲螺线这是一条双曲螺线.由弧长公式由弧长公式. 34432)1d(1 3443234432d1111 34 43 2)1ln(3545 23ln125 xy0. 1 1 , 2 , 1 ,2 2旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 yyxxxy. 12 2 xy则抛物线方程变成则抛物线方程变成5.解：解：121x把把 x 坐标轴平移至坐标轴平移至 y = 1处处. 21241)d4(xxx.60 293 2122d1)2(xxV得得立立体体的的体体积积。轴轴旋旋转转所所 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 10, ,2 22

26、xyxxyxy 体积：体积： )52(320 .xyoy = 2xy = x25 6.解：解： 左锥左锥右锥右锥5532)22(3d)(102252 xxV7. 积积曲曲面面面面的的生生成成旋旋转转，求求轴轴旋旋转转极极) )绕绕( (1 1 线线将将心心形形. cosAa 解：解： d)( 222yA由极坐标和直角坐标的关系：由极坐标和直角坐标的关系：2cos2sin22cos22 a2sin2cos43 a . d)(d22 S d sin)cos1(2222aa d )cos1(22 a d 2cos422a d2cos2a 0 3d2cos22sin2cos4 2 aaA 042d2sin2cos 16 a2 5