第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案

1、第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；数量积（是个数） 、向量积（是个向量） ；几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点向量积（方向） 、混合积（计算） ；掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；空间曲线在坐标面上的投影；特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；平面方程的几种表示方式之间的转化；直线方程的几

2、种表示方式之间的转化；）二、基本知识1、向量及其线性运算向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；有向线段的长度表示向量向量的符号以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或 a 、 r、 v 、 F；向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB 的模分别记为|a|、| a |、|AB|单位向量模等于1 的向量叫做单位向量；向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与平行 记作 a

3、/ b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线b零向量模等于0 的向量叫做零向量记作0 或0可以看作是任意的共面向量 ： 设有 k(k 3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面；两向量夹角 ：当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与 b 的夹角记作 (a, b) 或 (b,a)如果向量a 与 b 中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0 与 之间任意取值；向量的线性运算向量的加法 （三角形法则） ：设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从 a 的起

4、点到 b 的终点的向量 c称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b即 c a+b .平行四边形法则向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合以 a、b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b 的和 ab向量的加法的运算规律(1)交换律 a b b a(2)结合律 (a b) c a ( b c)负向量设 a 为一向量与 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为 a向量的减法 把向量 a 与 b 移到同一起点 O则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量 AB 便是向量 b 与 a 的差 b a向量与数的乘法：向量 a 与实数 的乘积记

5、作规定a 是一个向量它的模 | a| |a| 它的方向当 >0 时与 a 相同 当 <0 时与 a 相反当0 时 | a| 0即 a 为零向量这时它的方向可以是任意的运算规律(1) 结合律( a)( a) ( )a；(2)分配律 ()a aa； (a b)a b向量的单位化设 a0则向量 a 是与 a 同方向的单位向量记为 eaa|a|，于是 a |a|e定理 1设向量 a 0那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯一的实数使 ba空间直角坐标系在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i、 j、 k就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴 )、

6、y 轴 (纵轴 )、z 轴 (竖轴 )统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为 Oxyz 坐标系注 :(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上而 z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面另两个坐标面是yOz 面和 zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于 xOy 面的上方在 xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在 xOy 面的下方与第一卦限对

7、应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II 、III 、IV 、V、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使 OMr以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有rOMOPPNNMOP OQOR设 OP xiOQ yj OR zk则 r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi、 yj、 zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量点 M、向量 r 与三个有序 x、 y、 z 之间有一一对应的关系Mr OM xi yjzk (x, y, z)有序数x、 y、z 称为向量r( 在坐标系Oxyz)中的坐标记作r

8、(x y z)向量 rOM 称为点 M 关于原点O 的向径利用坐标作向量的线性运算设 a (ax ay az) b (bx by bz)a b (ax bx ay by az bz)a b (ax bx ay by az bz)a (aaa )xyz利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (axayaz)0 b (bxbybz)向量 b/ab a即 b/ a (bxbbybyzxyzxazb b ) (aa a )于是 ayazx向量的模、方向角、投影设向量 r (x yz)作 OMr则向量的模长公式|r |x2y2z2设有点 A (x1y1z1)、 B(x2y2 z2)AB OB OA (x

9、2 y2 z2) (x1 y1 z1 ) (x2 x1 y2 y1 z2 z1)A、 B 两点 间的距离公式为：| AB| | AB | (x2x1)2( y2 y1) 2(z2 z1)2方向角： 非零向量 r 与三条坐标轴的夹角、 、 称为向量 r 的方向角设 r(x y z)则x |r|cosy|r|cosz|r|coscos 、 cos、cos称为向量 r 的方向余弦cosxcosycosz|r |r |r |从而(cos, cos, cos )1 rer2221coscoscos|r |投影的性质性质 1 (a)u|a|cos(即 Prj ua |a|cos) 其中 为向量与 u 轴的

10、夹角性质 2 (a b)u(a)u (b)u (即 Prju (a b)Prju a Prj ub)性质 3(a)u(a)u (即 Prj u( a)Prj ua)2、数量积、向量积、混合积两向量的数量积数量积对于两个向量 a 和 b 余弦的乘积称为向量它们的模|a|、 |b| 及它们的夹角a 和 b 的数量积记作 a b 即a·b |a| |b| cos的数量积的性质(1) a·a |a| 2(2) 对于两个非零向量 a、 b 如果 a·b 0 则 a b;反之 如果 a b 则 a·b 0如果认为零向量与任何向量都垂直两向量夹角的余弦的坐标表示则 a

11、 ba·b0设 (a b) 则当 a 0、 b 0 时 有cosa baxb x ayb y azbz2x a 2y az2 bx2 b y2 bz2|a |b| a数量积的坐标表示设 a ( ax ay az ) b (bx by bz ) 则 a·b axbx ayby azbz数量积的运算律(1)交换律 a·b b·a;(2)分配律 (ab) c a c b c(3)( a) ·b a·( b)(a·b)( a) ·( b)(a·b)、 为数两向量的向量积向量积设向量 c 是由两个向量 a 与 b

12、按下列方式定出c 的模 |c|a|b|sin其中 为 a 与 b 间的夹角 ;c 的方向垂直于a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向 b 来确定那么向量 c 叫做向量a 与 b 的向量积记作 a b 即ca b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量a、 b 如果 a b0 则 a/b 反之如果如果认为零向量与任何向量都平行则 a/ ba b0a/ b则 a b0数量积的运算律(1) 交换律a bb a(2) 分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b)(ab)( 为数)数量积的坐标表示设 a (axyzxbyz)aa ) b ( bb

13、a b ( ay bzaz by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成ij ka b ax ay a zaybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyibxby bz( ay bzaz by) i( az bxax bz) j( ax byay bx) k三向量的混合积混合积： 先作两向量a 和b 的向量积ab ,把所得到的向量与第三个向量c 再作数量积( ab)c，这样得到的数量叫做三个向量a、 b、c 的混合积，记作abca xa yazabc= ( a b) c = bxbybzcxcy

14、cz混合积的几何意义：混合积 abc是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、 b、 c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a、 b、 c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、 b、 c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。三个向量a、 b、 c 共面 的充分必要条件事他们的混合积abc=0 即a xa ya zbxbybz =0cxc ycz3、曲面及其方程曲面方程的概念如果曲面S 与三元方程F(x y z) 0有下述关系(1)曲面 S 上任一点的坐标都满足方程F(x y z) 0(2)不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程F(x yz) 0那么 方程 F(x y z) 0 就叫做曲面 S

15、的方程而曲面 S 就叫做方程 F(x y z)0 的图形例如：方程 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2表示球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为 R 的球面旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yO z 坐标面上有一已知曲线 C 它的方程为f (yz) 0把 这 曲 线 绕z 轴 旋 转 一 周就 得 到 一 个 以z 轴 为 轴 的 旋 转 曲 面它 的 方 程 为f (x2 y2 , z) 0这就是所求旋转曲面的方程在曲线 C 的方程 f(yz) 0 中将 y 改成x2 y2便得曲线 C 绕 z 轴旋转所

16、成的旋转曲面的方程f (x2y2 , z)0同理曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为f (y,x2 z2 ) 0柱面柱面 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做 柱面定曲线 C 叫做柱面的准线动直线 L 叫做柱面的母线例如方程 x2 y2R2 在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z 轴它的准线是 xOy面上的圆 x2 y2 R2一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y) 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面其准线是 xOy 面上的曲线 CF(x y) 0类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z) 0 和只含 y、z 而缺 x 的

17、方程 H(y z)0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面(1) 椭圆锥面由方程 x2y2z2 所表示的曲面称为椭圆锥面a2b2(2) 椭球面由方程x2y2z2a222 1 所表示的曲面称为椭球面bc(3) 单叶双曲面由方程x2y2z21所表示的曲面称为单叶双曲面a222bc(4) 双叶双曲面由方程 x2y2z21所表示的曲面称为双叶双曲面a2b 2c2(5) 椭圆抛物面由方程 x2y2z 所表示的曲面称为椭圆抛物面b2a 2(6) 双曲抛物面由方程 x2y2z 所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面b2a2方程x

18、2y2x2y21 x2aya22 122bab依次称为 椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面4 空间曲线及其方程空间曲线的一般方程设 F(x y z) 0 和 G(x y z) 0 是两个曲面方程 它们的交线为 C 所以 C 应满足方程组F (x, y, z) 0G(x, y, z) 0上述方程组叫做空间曲线空间曲线的参数方程C 的一般方程xx(t)空间曲线 C 上动点的坐标 x、 y、 z 表示为参数 t 的函数yy(t).(2)zz(t)当给定 t t1 时就得到 C 上的一个点 ( x1 y1 z1)随着 t 的变动便得曲线C 上的全部点方程组(2) 叫做空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投

19、影以曲线 C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于 xOy 面的投影柱面投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线C 在 xOy 面上的投影曲线或简称投影 (类似地可以定义曲线 C 在其它坐标面上的投影 )设空间曲线C 的一般方程为F ( x, y, z) 0G(x, y, z) 0设方程组消去变量z 后所得的方程H (x y) 0这就是曲线C 关于 xOy 面的投影柱面曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程为H (x, y)0z05 平面及其方程平面的点法式方程法线向量如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量已知平面上的一点 M0(x0 y0z0)及它的一个法线向量

20、 n (A B C)，平面的点法式方程为： A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0平面的一般方程平面的一般方程为：Ax By CzD 0， 其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标 即 n ( A B C)特殊位置的平面方程：D 0平面过原点n (0 BC)法线向量垂直于x 轴 平面平行于 x 轴n (A0C)法线向量垂直于y 轴 平面平行于 y 轴n (AB 0)法线向量垂直于z 轴 平面平行于 z 轴n (0 0 C) 法线向量垂直于x 轴和 y 轴平面平行于 xOy 平面n (A00)法线向量垂直于y 轴和 z 轴平面平行于 yOz 平面n (0 B0)法线

21、向量垂直于x 轴和 z 轴平面平行于 zOx 平面求这平面的方程平面的截距式方程为： xyz 1 (其中 a 0 b 0 c 0) 该平面与 x、 y、z 轴的交点依次bac为 P(a 0 0)、 Q(0 b0)、 R(00c)三点而 a、 b、 c 依次叫做平面在x、y、 z 轴上的截距x - x1y - y1z - z1平面的三点式方程为 ： x2x1y2y1z2z1 =0 其中 M( x1 , y1 , z1 )，N( x2 , y2 , z2 )x3x1y3y1z3z1P( x3 , y3 , z3 )是平面上的三点。两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角 )称为两

22、平面的夹角设平面1 和2 的法线向量分别为n1(A1B1 C1 )和 n2 (A2 B2 C2 )那么平面1 和2 的夹角应是 (n1 , n2 ) 和 (n1 , n2)(n1 , n2) 两者中的锐角cos|A1A2 B1B2 C1C2 |cos(n1 , n2) |A22 B22 C22A12 B12 C12平面1 和2 垂直 相当于 A1 A2B1B2C1C2 0 也即 n1垂直于 n2平面1 和2 平行或重合 相当于 A1B1C1 也即 n1平行于 n2A2B2C2设 P0(x0 y0z0)是平面 Ax ByCzD 0 外一点 P0 到这平面的距离公式为d | Ax0 By0 Cz0

23、 D | A2 B2 C26空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面1 和2 的交线1和如果两个相交平面1 和2的方程分别为 A1 110x B y C z DA2x B2y C2z D2 0 那么直线 L 满足方程组A1x B1 y C1z D10(1)A2x B2 y C2z D2 0上述方程组叫做空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量已知直线L 通过点 M0( x0 y0 x0) 且直线的方向向量为s (m n p) 则直线 L 的方

24、程为：x x0 yy0z z0 叫做 直线的对称式方程或点向式方程mnp注当 m n p 中有一个为零例如 m 0 而 n p 0 时 这方程组应理解为xx0yy0z z0np当 m n p 中有两个为零例如 m n 0 而 p 0 时 这方程组应理解为x x0 0 y y0 0设 x x0y y0 z z0 t 得方程组mnpxx0mtyy0ntzz0pt此方程组就是直线L 的参数方程两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角 )叫做两直线的夹角设直线 L1 和 L 2 的方向向量分别为 s1( m1 n1p1)和 s2(m2 n2p2)那么L1 和 L2 的夹角就是 (s1 ,s2)

25、 和 ( s1 , s2)(s1 , s2 ) 两者中的锐角因此 cos|cos(s1 , s2 )|cos|m1m2 n1n2p1 p2|cos(s1 , s2 )|m22 n22p22m12 n12 p12设有两直线 L 1x x1y y1z z1L2x x2y y2z z2则m1n1p1m2n2p2L1 L2m1m2 n1n2 p1p2 0l 1II L2m1n1p1m2n2p2直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为 直线与平面的夹角当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为2设直线的方向向量s (m n p) 平面的法线向量为n ( A BC)直线与平面

26、的夹角为那么|(s , n)| 因此 sin|cos(s , n) |2sin| AmBnCp|A2B2 C2m2 n 2p2因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以直线与平面垂直相当于ABCmnp因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直所以 直线与平面平行或直线在平面上相当于Am Bn Cp 0设直线 L 的方向向量为 (m np)平面的法线向量为 (A BC)则LABCmnpL/ /Am Bn Cp 0三、疑难点解析（ 1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量构成的

27、平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。数量积：a·b |a| |b| cosaxbx ayby azbz向量积 ca b ，|c| |a|b|sinijkab i a bj ab k a bk abj a b ia b axayazzyzz xxyy xxz ybxbybza xa yaz混合积： abc= ( a b) c = bxbybzcxcycz（ 2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：“绕谁（如 x）旋转谁不变，另外一个字母变成平方和（如 y 2z2）”。（3）同一个方程在空间和在平面中表示的图形

28、为何不一样？答：例如：x2y 264 ，在平面上只有两个坐标，所以表示的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当(x0 , y0 ) 满足上述方程，则对任意的z,( x0 , y0 , z) 也满足这个方程。（ 4）求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量， 也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解与直线和平面相关的题时如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量， 但凡涉及直线的找方向向量。 然后在根据

29、具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。四、考点分析（一）向量的的基本概念的相关知识例 1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为 _.676解：, ,1111 11例 2、 设已知两点 M 1 (4, 2,1)和M 2 (3,0,2) ，计算向量 M 1M 2的模， 方向余弦和方向角 .解、 M 1M 2 =（-1，-2 ，1）M 1 M 2 =2, cos1 , cos2,cos1,2 ,3 ,322234例 3、 设 m3i5j8k ,n 2i4j7k , p5ij 4k ，求向量 a4m 3n p 在 x轴上的投影，及在y 轴上的分向量 .解 ： a=13i+7j+15k,所以

30、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j例 4、 在空间直角坐标系 O; i , j , k 下，求 M(a, b, c)关于(1) 坐标平面； (2) 坐标轴； (3) 坐标原点的各个对称点的坐标 . 解 ： M (a, b, c)关于 xOy 平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于 yOz 平面的对称点坐标为( a, b, c)，M (a, b, c)关于 xOz 平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于 x 轴平面的对称点坐标为(a,b, c)，M (a, b, c)关于 y 轴的对称点的坐标为( a, b, c)，M (a

31、, b, c)关于 z 轴的对称点的坐标为( a, b, c).M (a, b, c)关于 原点对称的 对称点的坐标为( a, b, c).（二）向量的数量积、向量积、混合积的计算例 5、设 a3ij2k, bi2jk ，求 (1)a b及a；2a) 3b及a 2b(3) a、 bb (2)(的夹角的余弦 .解：（ 1） ab 3 1(1)2(2)(1) 3ijka b3125ij7k121（ 2） ( 2a) 3b6(a b)18 ， a2b2( ab)10i2 j14ka b3（ 3） cos(a, b)ab221例 6、知 M 1(1,1,2), M 2 (3,3,1),M 3 (3,1

32、,3) ，求与 M 1M 2 , M 2 M 3 同时垂直的单位向量 .解： M 1M 2 2,4,1, M2M3 0,2,2ijka M 1M 2M 2M32 41 6i 4 j 4k022a6,24,4a21717217即为所求单位向量。例 7、已知 OAi3k , OBj3k，求OAB 的面积解：思路： S OAB1 |OAOB |=1答案：19222ijk其中 OAOB1033i3 j1k ，|OA OB |= 19013例 8、求单位向量n ，使 n a 且 n x 轴，其中 a(3,6,8) .解：取 bi ，则 n a, n b 。 c =a b =8j-6k,| c |=10, n =c, 答案： n1 (8 j 6k )| c|10例 9、 a b3, ab1,1,1, 求(a,b)解： a ba b sin(a,b) = 3, a ba b cos(a,b) 。tan3(a,b)( a, b), 答案：36例 10已知矢量 a, b 互相垂直，矢量c 与 a,b 的夹角都是60 ，且 a1, b 2, c3 计算：(1)(ab) 2 ; (2)( a b)( ab); (3)(3a 2b).(b 3c);( 4)(a 2bc