第二十四章圆知识点及典型例题

1、一、圆的概念集合形式的概念：1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相

2、等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；2、点在圆上dr点 B 在圆上；Ad3、点在圆外dr点 A 在圆外；rO三、直线与圆的位置关系Bd1、直线与圆相离dr无交点；C2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系(选记)外离无交点dRr ；外切有一个交点dRr ；相交有两个交点Rrd R r ；内切有一个交点dRr ；内含无交点dRr ；五、垂径定理只要知道其中 2 个即可推出其它3 个结论，即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧BC弧 BD 弧AC中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦

3、所夹的弧相等。即：在 O 中， AB CDCD弧 AC弧 BDO六、圆心角定理AB圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，O只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即： AOBDOE ； ABDE ；AOC OF ； 弧BA 弧BDC七、圆周角定理1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角B AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：D推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：

4、在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角BCD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 O 中， AB 是直径或C90C90 AB 是直径B推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上B的中线等于斜边的一半的逆定理。弧 ADEFDBCOACOACAOCAO垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。A推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分

5、线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；O（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦ECD所对的另一条弧B以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，八、圆内接四边形圆的内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角互补， 外角等于它的DC内对角。即：在 O 中，四边形 ABCD 是内接四边形B CBAD 180BD 180AEDAEC九、切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可O即： MN OA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是O的切线MAN（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的

6、半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相B等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线POPA PBPO 平分 BPAA十一、圆幂定理 ( 选记 )（ 1）相交弦定理 ：圆内两弦相交， 交点分得的两条线段的乘积相D等。BO即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ，PPA PBPC PDCA（ 2）推论：如果弦与直径垂直相交，

7、 那么弦的一半是它分直径所C成的两条线段的比例中项。即：在 O 中，直径 AB CD ，BO EACE2AE BED（ 3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线A长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。DE即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线PO PA2PC PBCB（ 4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：在 O 中， PB 、PE 是割线PC PB PD PEA十二、两圆公共弦定理 ( 选记 )O2O1圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。B如图： O1O2 垂直平分 AB 。即： O1

8、 、 O2 相交于 A 、B 两点 O1O2 垂直平分 AB十三、圆的公切线 ( 选记 )AB两圆公切线长的计算公式：CO1（1）公切线长： Rt O1O2 C 中， AB2CO12O1O22CO22 ；O2（2）外公切线长： CO2 是半径之差； 内公切线长： CO2 是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算 ( 选记 )正多边形计算的解题思路：正多边形连接 OAB 转化等腰三角形作垂线段 OD 转化直角三角形可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。（1）正三角形C在 O 中 ABC 是 正三 角 形， 有关 计算 在 Rt BOD 中进 行：OBDAOD: B

9、D: OB 1: 3 :；2BCO（2）正四边形AED同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA2 ：1:1:（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行， AB : OB : OA1:3:2.O十五、扇形、圆柱、圆锥和弓形的相关计算公式BAA1、扇形：（1）弧长公式： ln R ；180OSl（2）扇形面积公式： Sn R21 lRB3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2、圆柱：D（1）圆柱侧面展开图AD1S表 S侧2S底 =2rh2 r 2母线长B底面圆周长C1（2）圆柱的体积： Vr 2hCB13、圆锥OR

10、CArB（ 1）侧面展开图 S表S侧S底 =Rrr 2（ 2）圆锥的体积： V 1 r 2 h34、弓形（ 1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（ 2）弓形的周长弦长弧长（ 3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和 AOB的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图1 所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3 所示，圆有关问题辅助线的常见作法半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半

11、径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心

12、C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm.2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为 _cm.3、如图，已知在 O 中，弦 ABCD ，且 ABCD ，垂足为 H ， OEAB 于 E ， OFCD于 F .（1）求证：四边形 OEHF 是正方形 .（2）若 CH3，DH9，求圆心 O到弦 AB和CD 的距离.4、已知： ABC 内接于 O， AB=AC ，半径

13、OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、如图，F 是以 O 为圆心， BC 为直径的半圆上任意一点， A 是的中点， AD BC 于 D，求证： AD= 1BF.F2AEB DOC例题 3、度数问题已知：在 O 中，弦 AB 12cm ， O 点到 AB 的距离等于 AB 的一半，求： AOB 的度数和圆的半径 .例题 4、平行问题在直径为 50cm 的 O 中，弦 AB=40cm ，弦 CD=48cm，且 AB CD，求： AB 与 CD 之间的距离 .于 F，且 AF=BF求： A 的度数例题 8、利用切线性质证明角相等如图，已知： AB为 O的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、 N求证：MCN=MDN例题 5、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a, b .求证： AD BDa2b2 .例题 9、利用切线性质证线段相等如图，已知： AB是 O直径， COAB，CD切 O于 D，AD交 CO于 E求证： CD=CE例题 6、利用切线性质计算线段的长度如图，已知： AB是 O的直径， P 为延长线上的一点， PC切 O于 C，CDAB于 D，又 PC=4， O的半径为 3求： OD的长例题 10、利用切线性质证两直线垂直如图，已知：ABC中