第一讲数列的极限典型例题

1、第一讲数列的极限一、内容提要1. 数列极限的定义limxna0 ,N,nN，有xna.n注1的双重性.一方面 ,正数具有绝对的任意性,这样才能有x n无限趋近于axna( nN )另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式xna.还表明数列x n无限趋近于 a 的渐近过程的不同程度,进而能估算xn趋近于a 的近似程度.注2若 limx n 存在，则对于每一个正数，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是n唯一的， 若 N 满足定义中的要求，则取 N1, N2,，作为定义中的新的一个满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的注 3x na (n) 的几何意义

2、是： 对 a 的预先给定的任意邻域 U ( a,)N 也必须N ，在x n中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入U ( a ,) 注 4limxna00 ,N,n 0 N ，有 xn 0 a0 .n2. 子列的定义在数列x n中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为x n的子列，记为 xn k ，其中 n k 表示 x nk 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数注 1对每一个 k ，有 n kk 注 2对任意两个正整数h, k ，如果 hk ，则 n hnk 反之，若 n hn k ，则 hk 注 3limxnka0,K,kK，有 x na.nk注 4limx nax

3、 n的任一子列xnk收敛于 a .n3.数列有界对数列x n，若M0 ，使得对nN ，有 x nM ，则称数列xn为有界数列4.无穷大量对数列x n，如果G0 ， N,nN ，有 xnG ，则称xn为无穷大量，记作 limxnn注 1只是一个记号， 不是确切的数 当 x n为无穷大量时， 数列 x n是发散的，即 lim x nn不存在注 2若 limxn，则 x n无界，反之不真n注 3设 x n与 y n为同号无穷大量，则xny n为无穷大量注 4设 x n为无穷大量，y n 有界，则xny n为无穷大量注 5设 x n为无穷大量， 对数列y n ，若0， N, 使得对nN ，有 y n，

4、则 xn y n 为无穷大量特别的，若y na0 ，则 x n yn为无穷大量5.无穷小量若 limx n0 ，则称x n 为无穷小量n注 1若 limxn 0 ， y n 有界，则 limx ny n0 nn注 2若 limxn，则 lim10 ；若milx n 0，且 N, 使得对n N ，xn0 ，xnnnn则 lim1n xn6.收敛数列的性质（ 1）若 x n 收敛，则 x n 必有界，反之不真（ 2）若 x n 收敛，则极限必唯一（3）若 limxna ， limy nb ，且 ab ，则N，使得当 nN 时，有 x ny n nn注 这条性质称为“保号性” ，在理论分析论证中应用

5、极普遍（4）若 limxna ， limy nb ，且N，使得当 nN 时，有 x ny n ，则 ab nn注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”（5）若数列 x n、 y n皆收敛， 则它们和、 差、积、商所构成的数列xny n ， xny n ，x n y n ，x n（ limy n0 ）也收敛，且有y nnlimxny nlimx nlimy n ，nnnlimx ny nlim x nlimy n ，nnnx nlimx nlimn（ lim y n0 ）y nlimnny nn7. 迫敛性（夹逼定理）若N，使得当 nN 时，有 y nxnzn ，且 lim y nli

6、m z na ，则 lim x n a nnn8.单调有界定理单调递增有上界数列x n必收敛，单调递减有下界数列x n必收敛9. Cauchy 收敛准则数列 x n收敛的充要条件是：0,N,n , mN ，有 x nx m注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此在论证极限问题时不需要事先知道极限值10.Bolzano Weierstrass 定理有界数列必有收敛子列n111. lim1e2 .7182818284nn12.几个重要不等式(1) a22s i nx 1 .s i nxx .b2 ab ,(2) 算术几何调和平均不等式：

7、对 a 1 , a 2 , a nR ,记M (a i )a 1a 2a n1na i,(算术平均值 )nni11nnG (a i)n a1 a 2a na i,(几何平均值 )i1H (a i )n1n. (调和平均值 )1111n1n1a1a 2a nn i 1 aii 1 a i有均值不等式 :H (a i )G(a i )M ( a i ), 等号当且仅当a1a 2a n 时成立 .（ 3） Bernoulli 不等式 : (在中学已用数学归纳法证明过 ) 对 x 0, 由二项展开式(1 x) n1 nxn ( n 1) x 2n (n 1)( n 2) x 3x n ,2!3!(1

8、x ) n1nx ,( n 1)（） Cauchy Schwarz不等式 :a k , b k ( k1,2 , , n ),有n2n2nna k bka k b ka k2b k2k 1k1k 1k 1（）n N ，1ln( 111n 1)nn13. O. Stolz 公式二、典型例题1用“N”“GN ”证明数列的极限 （必须掌握）例 用定义证明下列各式：3 n25 n1（） lim；21n3 nn6（）设 x n0， limx na ，则 lim x na ；（ 97，北大， 10 分）nn（）limlnn0 (0 )n n证明：（）0，欲使不等式25 n 16n 56 n6 n63n13

9、 n 2n 63 n 2n 63n 2n n 2n成立，只须 n60，取 N61 ，当 nN 时，有，于是，25 n163n13 n 2n6n即3n 25n11 lim2n3nn6（）由 limx na ， xn0 ，知0 ,N,nN，有 xnanx nax n ax nax naa于是，0 ,N,n N ，有x nax na，a即limx nan（）已知 nln n ，因为222222ln n 2lnn1n1ln n2 n 2 n240nnnnnna ，则4，n 22所以，0 ，欲使不等式ln nln n440成立，只须 nnnn 22于是，0，取 N41 ，当 nN 时，有ln nlnn4

10、，0nnn 2即limlnn0 n n评注本例中， 我们均将 xna 做了适当的变形， 使得 xna g ( n)，从而从解不等式 g (n )中求出定义中的N 将 xna 放大时要注意两点： g ( n)应满足当 n时， g (n )0这是因为要使 g (n )， g (n ) 必须能够任意小；不等式g ( n )容易求解评注用定义证明 x na( n) ，对0 ，只要找到一个自然数N( )，使得当nN ( ) 时，有 x n a即可关键证明N ()的存在性评注在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（）0 ,N,nN ，有 xnaM（ M 为任一正常数） .（）0 ,N,nN ，有

11、 xnak( kN ) .例用定义证明下列各式：（）limn n1 ；（ 92，南开， 10 分）n（）limn k0 ( a1, kN )n a n证明：（）（方法一）由于n n1（ n1 ），可令 n n1（0 ），则nn n(1) n1 nn (n 1)2nn ( n 1)2 （ n 2 ）n22当 n2 时， nn，有1222nn( n1)2n2n( n n 1) 2244即0n n 12n0nn1nn24，欲使不等式1成立，只须 n2 n于是，0，取 Nmax41, 2 ，当 nN 时，有2nn12，n即limnn1n（方法二）因为n 2 个1nn 11 2 n n 22 ，1n n

12、 ( nn 1 11) n1nnn所以 nn12，n0n1nn12成立，只须 n4，欲使不等式nn2于是，0，取 N41，当 nN 时，有2nn12，n即limnn1n（）当 k1时，由于 a1，可记 a1（0），则a n(1) n1 nn ( n 1)nn1)2 （ n2 ）2n(22当 n2 时， n1n，于是有20nn4nn( n1)n2a220 ，欲使不等式n0n4成立，只须 n4nn22aan4对0 ，取 Nmax1,2，当 nN 时，有2nn4a n0a nn2k1n kn当 k1 时， ak1 （a1 ），而n1a( a kn)0 ,N,nNn则由以上证明知，有01，即(a kn

13、)0n kkn，a故n k0limn a n评注在本例中，0 ，要从不等式xna中解得 N非常困难根据x n 的特征，利用二项式定理展开较容易要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值评注从第一小题的方法二可看出算术几何平均不等式的妙处评注第二小题的证明用了从特殊到一般的证法n例 用定义证明： lima（ a0 ）（山东大学）0nn!证明：当 0 a1 时，结论显然成立naaaaaaa当 a1 时，欲使aan!02aa1na !成立，1na a1a 10，取 Na1，当 nN 时，有只须 n于是a !a !a n0a aan!a !nn即a0 limn!n例 设1 ，用“N ”语言，证明：

14、lim ( n1)n 0 n证明：当0 时，结论恒成立当01时，0，欲使111(n 1)n0 n ( 1)1 n (11)1nnn只须 n1于是0，取 N1，当 nN 时，有111111(n1)n01n即lim ( n1)n0 n2. 迫敛性（夹逼定理）n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理ynxnzn ， ynb ， znc x n 有界，但不能说明x n 有极限使用夹逼定理时，要求 y n , zn 趋于同一个数n例求证： lima0（ a 为常数）n!n分析： anaaaaaa ，因 a 为固定常数，必存在正整数1m ，使n!123mmnmam1a

15、开始，a1 ，a1 ，a，且 n，因此，自m 1m 2,1m1n时， a0 n证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使 am1 ，当 nm 1 时，有naaaaama0aaan!123mm1nm!，nman由于 lima0 ，由夹逼定理得a0 ，limnm!nnn!n即lima0n!n评注当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、 缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果例 若 a n 是正数数列，且lima12 a 2na n0，则nnlimnna1a n0 n证明：由 n1a1 2 a 2na na12 a 2na n，知nnn!na

16、1a 2a na 12 a 2na nn即n a 1a 2a na 12 a 2na n1nnn!于是， 0n n a1 a 2a na 12 a 2na n1，而由已知nnn!a12 a 2na n0 及 lim10limnnnnn!故lima 12 a 2na n10nnnn!由夹逼定理得limnn a1a n0 n评注 1极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0评注 2对一些基本结果能够熟练和灵活应用例如：（1） limqn0 （ q1 ）（ 2） lim10（ a0 ）annn（3） limn a1 （ a0

17、 ）（ 4） limn n1nn（5） lima n0（ a0 ）（ 6） lim10n!nnnn!例 证明：若 limxna （ a 有限或），则nx1 x2x n（ a 有限或）limnan证明：（）设 a 为有限，因为 lim xna ，则0,N 1,nN 1 ，有 xn a.n2x1 x2x nax1ax 2ax n a于是nnx1ax 2ax N 1ax N 1 1ax nannAn N 1Annn2其中 Ax1ax 2 ax N 1a 为非负数因为 limA0 ，故对上述的0,N 2,nN 2，有 Annn2取 NmaxN 1 , N 2 当 nN 时，有x1x 2x nan22即

18、x1x 2x na limnn（）设 a，因为 limx n，则G0 ,N 1,nN 1 ，有 x n2G ，n且 x1x 2x N 10 于是x1x2xnx1x2x N1x N1 1x nnnnx N 1 1x n2 G (n N 1 )2G2 N1Gnnn取 N2 N 1，当 nN 时，2 N 1GG ，于是nx1 x2xn2 GGG n即limx1x 2x nnn（） a时证法与（）类似评注 这一结论也称 Cauchy 第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：111n1（）lim20（已知 lim）；0nnnn（）lim123 3n n1 （已知 lim n n1 ）nnn评注此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“ x n 为单调数列” ，则由x1x 2x nx na limna 可推出 limnn评注 证明一个变量能够任意小， 将它放大后， 分成有限项， 然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若01 ， lim a na （ a 为有限数），证明：nlim( a na n 12 a n2n a 0 )an