用面积法求解几何问题

1、人教版初中解决几何问题有很多方法，在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法面 积法既能解决题目中直接涉及面积的问题， 也可解决一些题目中不涉及面积的问 题.在平时的学习、解题过程中，如果有意识的使用面积法.，可以使有些几何图 形性质的证明、几何问题的解决等起到事半功倍的作用 .对有些几何题，如果单纯用图形的几何性质、全等三角形或相似三角形等知 识来解答，会使计算或证明过程很复杂，而用面积法却可以轻松得到解决下面举例说明例1如图1，E、F分别为 ABCD的边CD、AD上的点，且 AE=CF，设AE、CF交于P,求证：BP平分/ APC.证明连BE、BF，A El AE=CF，三角形ABE的面积等于

2、三角形FBC的面积即 S ABE S FBC点B到AE、FC的距离相等.即点B到/ APC的两边PA、PC的距离相等， BP 平分/ APC.例2如图2,已知： ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证：AB BDAC CD分析 由于AD是/ A的平分线，且在 ABD与厶ADC中，BD、DC边上的 高相等，因此可利用三角形面积公式来证明证明设厶ABC中BC边上的高为h,贝U1S ABD 2 BD h，.-CD h.2 DE丄AB于E，DF丄AC于F，1 -AB DE，2 1-AC DF .21BD h21CD h2S ACD又过D分别作SabdS ACDS于是沁S ADC1AB DE 21-A

3、C DF 2 DE=DF.ABBDCD.1.例3如图3，P ABC内任意一点，连PD PE PF 于D、E、F，求证：1.AD BE CF分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决ACAP、BP、CP并分别延长交对边证明 设P到BC、CA、AB三边的距离分别为 x y、z，三边上的高为ha、 hb、 he.PD显然有匸DADxhaS BPCS ABCPE yBE hS APC sTBC，PFFCzheS APBS ABCPD pe三式相加得匸D PEAD BEPFCF例4 如图4,矩形ABCD 中,AB a, BCb,M是BC的中点，DE AM于E. 求证：DE2ab.4a2 b2证明连DM

4、 , M是BC的中点,2 S巨形 ABCDab S2， S AMD-AM DE2AM DE ab又AMDE2ab如图5，E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，若解析连AC,设 S ACFx ,S ACEy.则4 y5 xy x1又x 5CD yABx5 yXCF 3CFx3由、联立方程组解得x5,y6.-S AEFx y3 56 38.S CEF 3, S ABE 4,S ADF5,则 S aef =例5如图6,梯形ABCD中,AD/BC，对角线 AC、BD交于点O.设梯.2.形ABCD的面积为S, AOD的面积为S1 , AOD的面积为S2, AOD的面积分析 利用面积之比可以转化为线段之比的办法，可以解决这一问题证明S-i DO S2 OCS3 OB S3 AOS S2 DO OC2SsOB AO AD/BC ,DO AOOB OC即、.一SSs.又 SSiS22 S3( S1. S2),由、可知,.S、S2是方程x2Sx Ss 0的两根.以上几个例子，若用其它方法解答，其过程要繁