以形助数以数辅形

1、摘 要：数形结合”既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。教师在教学中经常引导 学生创设数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系 ，把代数式的精确刻画与几何图形的 直观描述有机地结合起来，从而在这种结合中寻找到解题的思想与方法 ，而且有利于开拓学生的解 题思路，发展学生的形象思维能力 。关键词：数形结合”函数图像 抽象以形助数” 以数辅形”恩格斯指出：纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。“数”与 形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。我们要认识两者的辩证关系，要认识到矛盾双方的相互转化。在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的

2、概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合”。在高中数学中，数形结合”是一条重要的数学原则，主要体 现在平面解析几何和立体几何中。在解决集合问题、方程、不等式及函数问题时，如果能注意数形结合的应用，寻找解题思路，就能使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。华罗庚先生说过：'数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”在数形转化结合的过程 中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。在教学渗透数形结合”时, 教师应指导学生掌握以下几点：1 .善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。2 .正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。3 .切实把握

3、数”与 形”的对应关系，以图识性，以性识图。下面从几个方面谈一谈数形结合”在解题中的应用。一、数形结合”在解决集合问题中的应用1 .利用文氏图法解决抽象集合问题。一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用文氏图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。如：例1 :开校运动会时，高一(五)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人 参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有 3人，同时参加游泳和球类 比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设a=参加

4、游泳比赛的学生 , b=参加田径比赛的学生 , c=参加球类比赛的学生,同 时参加田径和球类比赛的学生有x人，作出符合题意的文氏图：由题意可知：card(a n b)=3 ,card(a A c)=3 , card(b A c)=x ,贝U 15+8+14-3-3-x=28,得 x=3。因此，同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9 人。2 .利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题。例2：若非空集合 a=x|2a+1 <x<3a -5 , b=x|3 <x<22,求使a?鬻b成立的a的集合。先在数轴上表示出集合b的范围，要使a?鬻b,由

5、包含于的关系可知集合b应该覆盖集合a,因为a为非空集合，所以2a+1 & 3a-5 , a>6o又; a?鬻b,如图所示：可知2a+1 > 33a-5 <22 ,1 < a49 综上所得：6< a<9因此，运用数形结合”解题，往往会化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关 系直观、形象地显示而有利于运算。二、利用数形结合”解决方程和不等式问题1 .利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集。一元二次不等式与一元二次函数(方程)之间的紧密关系是众所周知的。抛物线y=ax +bx+c(a>0)与x轴的相关位置分为三种情况，这可以由一元二次方

6、程ax +bx+c=0 的判别式8=b -4ac的三种取值情况来确定。因此，在解不等式时一定要注意最高项系数是否为正，要分两种情况讨论。例3 :求不等式-x +2x-3> 0的解集。分析：我们先联想对应的二次函数y=-x +2x-3 的图像草图，很明显，无论x取任何值时都有y <0,即-x +2x-3<0, -x +2x-3>0的解集为空集，因而-x +2x-3<0的解集为全体实数因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。2 .利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布

7、情况问题。例4：已知关于x的方程2kx -2x-3k-2=0的两实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围。分析：若直接利用求根公式解答此题 ，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，令 f(x)=2kx -2x-3k-2,则由根的分布，函数f(x)的图像只能如图所示。对应的条件是k >0f(1)<0 或 k<0f(1)>0。解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。为使方程f(x)=0的两个根一个小于 1,另一个大于1 ,只需使k>0f(1) <0或kv0f>0,解得k>0或kv -4。一般的，关于根的分布问题均可引

8、入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得以巧妙解决通过以上几道例题的分析求解，可知二次函数有丰富的内涵和外延。作为最基本的募函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。3 .利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题，即数形对照，相互渗透。例5 :解方程3 =2-x 。分析：由方程表达式我们可以联想起函数y=3与y=2-x ，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x0.4。4 .利用函数的图像解不等式，即由数想形，直观显

9、现。例6:解不等式 >x+1 。解：设y=,即y=2(x+ )(x > - , y>0),对应的曲线是以a(-, 0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数y=x+1的图像是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标 为2,取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是x|-<x< 2。数形结合”能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中我们要 注意把握善于运用这种数学思想。三、利用函数图像比较函数值的大小一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。例7 :试判断0.3 , log 0.3,

10、2三个数的大小顺序。分析：这三个数可以看成三个函数y =x , y =log x , y =2 在x=0.3时所对应的函数值。在同一坐标系内作出这三个函数的图像（如图），从图像可以直观地看出当x=0.3 时，所对应的三个点p , p , p的位置，从而可得出结论：2 >0.3 >log 0.3。四、利用方程的几何意义转化数形结合”例8:如果实数x、y满足（x-2 ） +y =3,则的最大值为（）。解：设点a （x, y）在圆（x-2） +y =3 上，圆心为c（2 , 0）,半径等于。如图，则是点a 与原点连线的斜率。当oa与。c相切，且切点a落在第一象限时，k有最大值，即 有最大值。 因为 ca= , oc=2 ,所以 oa= =1 ,所以（）=tan / aoc= 。由此可知，数"和形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯地从 数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从 形”的角度去构造直观图形来刻画问题的条 件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，从而起到优化解题途径的目的。数形结合”是一个重要数学方法，是研究数学问题的一个基本方法，它包含 以形助数”和以数辅形”两个方面。数“与