周末班(理科)定积分及微积分基本原理教师版2.25

1、定积分及微积分基本原理【基础知识】1、曲边梯形的定义我们把由直线x a,x b(a b), y 0和曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法分割一近似代替(以直代曲)一求和一取极限3、定积分的概念般地，设函数 f (x)在区间a,b上连续，用分a = xo <x1< x2< L < xi_1 < xi < L < xn = b将区间a, b等分成n个小区间，每个小区间长度为b a),在每个小区间xi- 1, xi 上任取一 n点 xi (i = 1,2,L , n),作和式：Snf(xj xn b af( i)i 1 n如果

2、x无限接近于0 (亦即n )时，上述和式Sn无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数bf (x)在区间a,b上的定积分。记为： S f(x)dx,a其中是积分号，b是积分上限，a是积分下限，f(x)是被积函数，x是积分变量，a,b是积分区间，f (x)dx是被积式。说明：(1)定积分bf (x)dx 是一一个常数,a可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即Sn无限趋近的常数S (nb时)记为 f (x)dx ,a而不是Sn.(2)用定义求定积分的一般方法是：分割:n等分区间a,b；近似代替：取点ba f (x)dxnlim fn i 1_ n b a _ . . _求和：ba f ( i);取极

3、限:i 1 n4 .定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:bb性质1 kf (x)dx kf (x)dx(k为常数)(定积分的线性性质)；aabbb性质 2 f1 (x) f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx (定积分的线性性质)；aaabcb性质3 f (x)dx f (x)dx f(x)dx (其中a c b)(定积分对积分区间的可加性)aac5 .定积分的几何意义f x dx表示(1)从几何上看，如果在区间 a,b上函数f (x)连续且恒有f (x) 0,那么定积分由直线x a,x b(a b), y 0和曲线y = f (x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)

4、的面积。b一f x dx表示a由直线xa,x b(a b), y 0和曲线y = f (x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反(3)从几何上看，如果在区间 a,b上函数f (x)连续,且函数yf (x)的图像有一部分在 x轴上方，有一部分在 xb轴下方，那么定积分 f x dx表示x轴上方的曲边梯形的面 a积减去下方的曲边梯形的面积。y =其卜乂 乂力n内(4)图中阴影部分的面积bS= fi(x) f2(x)dx a从几何上看，如果在区间 a,b上函数f (x)连续且恒有f(x) 0,那么定积分6、微积分基本定理般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且 F1(x)f(x)

5、,那么bf (x)dx F(b) F(a),a这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿莱布尼茨公式。 为了方便，我们常把F(b) F(a)记成 F(x)b.即 f(x)dx F(x) a F(b) F(a)。a计算定积分的关键是找到满足_ 1F (x)“*)的函数5他)。1.cosx (3) ( cosx) sin xax.x一； (6) (e ) e x117、公式 (1) (cx) c(2) (sin x)(4) (m xn 1)1 mxn(n 1)(aln x) n 18、定积分的简单应用(1)在几何中的运用：计算图形的面积方法：画图一定域一分割面积一用定积分表示面积一计算bW F(x)dx

6、a(2)在物理中的应用：9、求定积分的方法(1)数形结合利用面积求【例题精讲】bs V(t)dta(2)利用微积分基本原理求x- 1, x<0,例 1 设 f(x)= 2 60解：1f (x)dx= 0 f(x)dx+-1-1求 1 f (x)d x.-11f (x)dx = 0 ( x-1)dx+1 (x2+ 6)dx0-101 2= (2x -x)|01 31-1 + (3、+ 01129(2+D+3+ 6=7.f' (x) = 2x 2.例2设y=f (x)是二次函数，方程f(x) = 0有两个相等的实根，且(1)求y=f (x)的表达式；(2)求y=f (x)的图象与两坐

7、标轴所围成图形的面积.解：(1)设 f (x) = ax2+ bx+ c( aw。),则 f ' ( x) =2ax+ b.又 f ' ( x) = 2x- 2, 所以a=1, b=2,即f (x) = x22x + c.又方程f (x) =0有两个相等实根，所以 A =4 4c=0,即 c= 1.故 f(x)=x22x+ 1.1 31(2)依题思，所求面积为S=(x 2x+1)d x= (3x x + x)|。=X.0定积分的概念及微积分基本原理强化训练661.已知f (x)为偶函数且f(x)dx=8,则 f(x)dx等于()06A. 0 B . 4 C .8 D . 162

8、.设 f (x) =x：x0, 1,2-x, xC1 , 2,2则 f(x)d等于0A.3 B. 4 C. 455r丁6D不存在),则该闭合图形的面积是3.如图，函数y=x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分A. 1 B. 4 C. 小 D . 24 . 一质点运动时速度与时间的关系为v(t) =t2-t + 2,质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为5 .若17 B.14 C.3136D.11"61 N的力能使弹簧伸长 1 cm,现在要使弹簧伸长10 cm,则需要花费的功为(A. 0.05 JB . 0.5 J C . 0.25 J D6 .若 y= 0(si

9、nt + cost sin t )d t ,则y的最大值是A. 130 如 100 10203010507 .已知函数y = x2与y= kx( k> 0)的图象所围成的阴影部分4 -(如图所本)的面积为",则38. 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为米.9.若f (x)是一次函数，且f (x)d x= 5,17 2 f (x)xf (x)dx=,那么 -dx61 x的值是.10.计算以下定积分:(2 x2-11)dx；(2)(5+f2dx；x3 (sin x sin2 x)d x；011 .如图，设点 P从原点沿曲线y = x2向点A(2,4)

10、移动，记直线 OP曲线y = x2及直线x = 2所围成的面积分别记为S, S,若S1=&,求点P的坐标.12.已知 f(x)为二次函数，且 f( 1)=2, f' (0)=0,1f (x)dx= -2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值.拓展提高：1.设 f(x)= 1 | x2- a2|d x.(1)当 0w aw i 与 a> 1 时，分别求 f(a)； (2)当 a>0 时，求 f (a)的最小值.0【基础精练参考答案】1 .D 解析：原式=f(x)dx+f (x)dx,60原函数为偶函数, ，在y轴两侧的图象对称, .对应

11、的面积相等，即 8X2=16.2 .C【解析】数形结合1f(x)dx= 0x2dx+(2- x)dx10 (2x2)(412)3.B解析：函数y=-x2+2x+ 1与y= 1的两个交点为(0,1)和(2,1)所以闭合图形的面积等于20 (一2x + 2x + 1 1)d x =(-x +2x)dx=§.4.D(t2-t + 2)dt=(1t3-2t2+2t)|2 171=T5.B设力F= kx（k是比例系数），当F=1 N时，x= 0.01日可解得k= 100 N/m,则F= 100x,所以W=0.12100xdx= 50x0.10 =0.5 J.6.B【解析】y =(sin t +

12、 cost sin t )d t =(sin t +2sin2 t)d t=cosx 4cos2x +41=cos x 4(2cos 2x 1) + T= 41232cos x cosx + 22"(cos x+1) +2W2.3 .2【解析】直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为,k2 kx2 x3再由 0(kxx)dx= ( 丁一万)8. ( 4, 16)【解析】设直线39OP的方程为y=kx, P点的坐标为(x, y),则 (kxx2)dx=(x2 kx)d x,0x即(Jkx23x3)121381312解得 2kx §x =32k (§x -2kx ),

13、解得k = ,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为(鼻，岛. 33399.900米【解析】据题意，v与t的函数关系式如下:3v= v( t )=2t , 0< t<20,50-t , 20W t <40,10, 40< t <60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为60s= 0 v(t)dt =20 3-tdt +0 24020 (50 t)dt +6010dt40= 3t22010 +(50t2t* 2)40402020= 900 米.10. 4 +3ln2【解析】f(x)是一次函数，设f(x) = ax+ b(aw0),由1 2(ax+ b)d x=

14、5 得(2ax + bx)11=oa0 21312(3ax + 2bx )1 17117 .3a+2b=不，解得a= 4,f (x) =4x + 3,f(x)2dx=14xdx=2 (4 +3)dxx1x= (4x+3lnx) 2 = 8+3ln2 - 4=4+3ln2.111.【解析】16一 ln 232212 3(1)1 (2x -)dx=(3x -ln x)2 14o = - ln 2.333123(2) 2 (g 7 dX= 2(x + 1+2)dxx=(2x2+ ln x+ 2x)+ 4)9= (/+ln 3 +6) (2 +ln 2= ln3 + 9. 2 21(sin xsin2

15、 x)d x=( cosx+ 2cos2x)= (-1-(24)(T+2)= 4.12.【解析】设直线 贝U x( kx x2)d x=0即(2kx2_OP的方程为y = kx, P点的坐标为(x, y), 2( x2 kx)d x,x1 3 x 1 3123x )| 0=(3x -2kx )|121381 312解得2kx -3x =3 2k(3x - 2kx ),.r 4，、一4解得k=-,即直线OP的方程为y=4x,33所以点p的坐标为(3, 196).213.【解析】(1)设 f (x) = ax+ bx + c(aw0), 贝U f ' (x) = 2ax+ b.由 f ( 1) =2, f ' (0) = 0,a-b+ c=2 得b= 0c= 2- a,即b= 01. f (x) = ax+ (2 - a).又 1f (x)dx= 1 ax2 + (2 - a)d x1312f(x) max= 2.= 3ax +(2 a)x| 0=2-3a= 2.【拓展提高参考答案】1.【»«?】0WW1时,当出1时.a3 a2 (0& a & 1), .f (a) = 3321a(a>1).3(2)当 a>1 时，由于 a2；在时，f' (a) =4a