5-2刚体动力学.

1、§5-2刚体动力学一. 刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy ) 刚体中任一质元厶加：的速率Vibrio)该质元的动能AEki =伽 Vi2 =-Ami r<2d?2对所有质元的动能求和转动惯量J得 Ek = JG)2Ek 卷Ez = m(MAmiYi2) cd2刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。二. 刚体的转动惯量(Moment of inertia )从转动动能公式看到，刚体的转动惯垦/与质点的质量皿 相对应。在质点运动中，质点的质量是质点惯性的量度。在刚 体转动中，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。转动惯量的计算方法”质量

2、离散分布刚体的转动惯量J = V Am .r.2 = m r + m 2r + >质量连续如布刚体的转动惯量dm质量兀/的单位：kg - m2ffiHSBIHI丿的计算方法质量离散分布丿=工Am zr2=m / + m 2r,2 + + m .r2例1.如图，求质点加对过圆心且垂直于转动平面的转轴的转动惯量。SH3EH 4SH3EH 4由长2的轻杆连接的质点如图所示，求质 点系对过4垂直于纸面的 轴的转动惯量解：=m 禹2 + m 2； + 4- m yr.2J = 2m l1 + 3m ( 21 )2 + ( 4m + 5m )( y/ll )2=32ml2SH3EH 4：质量连续分布

3、y = J r2dmd加质量兀占对质量线分布的刚体：d/n = Adi 如Z :质量线密度dm&对质量面分布的刚体：dm = bdS Za :质量面密度&对质量体分布的刚体：dm二pdV 卜 寸皿P :质量体密度gH 例1 ：一根质就为加二10昨、长为/=1.0m的均匀细棒绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63 rad s '旋转求转动动能。解 取质元：dm = 2dLr = cijr求转动惯量：'r 2"22 fnJ = J r dm = J x2 =tn 12转动动能:十12若转轴过端点垂直于棒J = Jr2dm = J x2 dx7求质量

4、为加，半径为的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。 解：设线密度为九；d nt = AdiJ 22 /r*R- am = £ R A=R dm = crciS = / sin &d & A 2兀R = mR 2求质量为加、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。 解：设面密度为叽取半径为r宽为d/的薄圆环，d m = b d s = b 2/r r d rJ = J r 2drn = J r求质量m 半径R的均匀球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元cLS = 2tzfc1/ = 2/zf?sln& R&Omd J = r 2d/n =

5、（Z?sin&） d/w = nt R 3sin KOtX 0<7 =r#2(1/ r3解：以距中心厂、厚" 的球壳为积分元®3求质量E，半径R的均匀球体对直径的转动惯量2 =m RR" 5匀质实心球对心轴的J可看成是许多半径不同的共轴 薄I员I盘的转动惯用:dJ的迭加 距。为歹、半径为/、微厚为dy 的薄圆盘的转动惯量为 dj=-d/nr2其中 dm = PdV=P7tr2dy2m r drR3上题另解j =fdJ=S(-pTir2dy-r2=知兀J r4 dy= pTiRCR2-y2fdy=-ptir5 = -mR2SHSiBH io刚体对轴的转

6、动惯量与什么因素有关？f图1 图2进与刚体总质量有关；与刚体对转轴的位置厂有关； 与刚体质量分布（刚体形状）有关. 结论：同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。Lm L2匀质薄圆盘转轴通过中心垂自:盘面2心A常用的转动惯量（P92 ）圜P92匀质细直棒转轴通过端点与梓垂宜J m R匀质细岡环转轴通过中 心垂直环面匀质矩形薄板k转轴通过中 心垂直板面务（宀戸）转轴沿几何轴匀质厚圜筒号崗+加）匀质圆柱体 转轴通过中心 垂直于几何轴4 * + 12 丄匀质细圆环转轴沿着环的直径,m R2J = 匀质薄球壳转轴通过球心r 2mR2J = TBH3EH 13

7、计算转动惯量的几条规律:> 1、同轴的转动惯量可以叠加如：两个圆盘对轴的转动惯量匮HSBH is匮HSBH is圆盘对P轴的转动惯量Jp =mR2J、= J©匀质圆盘厂匀质细杆 7= 例 丿2.平行轴定理閱何证明7说明：（1）两轴平行；儿为刚体绕质心轴的转动惯量;为两平行轴间的距离。A-d 一匮HSBH isXy匮H3EIH I?mR 2由于对称性，Jx =化，所以/x = I 2.垂直轴定理若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄权板面，秽平面与板面重合，则此刚体薄方 对三个坐标轴的转动惯量有如下关系:均匀细圆盘的/ （质量加，半径 轴通过盘心并处于盘面内）。解由前例，轴过圆心垂直盘

8、面的转动惯量为J根据垂直轴定理J力的空间累积效应 =0力的功，动能，动能定理.力矩的空间累积效应=力矩的功，转动动能，动能定理.三、力矩作的功力F的元功dA=F-dF =F|dF|cos（乎一 0） =F|dF| sin。=Frsinde=Md0力矩作的功：A = J： Md0 力矩的瞬时功率：P = 4y- =解法提要平放一圆盘km 转轴0m粗糙水叫”0ar耳芝拨动I员I盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 总摩擦力矩Mf足 各微环带摩擦元力矩dM的积分 环带面积 d5 = 2rdr 环带质量 d/n =( 矗 环带受摩擦力dfr=dmg 环带受摩擦力矩 iMr=rdfr = -r m2mr6r

9、d/n =Ldr 圆盘受总摩擦力矩 Mr = fdAfr 转一周席擦力矩的总功A=l27rMrdff"o得/ =站& =加2"鼠0 =畲“叱处SH3EH 19比,解:质量为加，长为丄的细杆在水平粗糙桌面上 其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正 杆与桌面间的摩擦系数为“，求摩擦力矩。设杆的线密度兄=好m = J dm = J krdr = klfd/ = pd mg帥t：警一一pmgLI:2 prnffrdrLS3dm = Adr = krdr匮HSBH is四. 动能定理(theorem of kinetic energy )根据功能原理，外力和非保守内力对系

10、统作的 总功等于系统机械能的增量。A外 + 4非保内=E(Q) -E(P)对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转 动的刚体，外力的功即为外力矩所作的功；系统的 机械能为刚体的转动动能。dA=dEk将转动动能的具体形式代入上式并积分，得A = Ja比较 4 =丄 mv 2 -丄 mv 22 2 2 2一 21五、转动定律(Th eorem of rotation)将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子dA dEk得 M= d ( J co 2 ) = J co dryz 2等式两边同除以ch,得M. =drdt或者写为 m7=_J上式就是转动定理的数学表达式。SH3EH 22转动定理的数学表达

11、式。Mz =Jcc F = ma 在定轴转动中，刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速 度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的，合 外力矩与合外力相对应，转动惯量与质量相对应，角加速 度与加速度相对应。F a 改变物体平动状态的原因 M a 改变物体转动状态的原因 w 是物体平动惯性的量度/ 是物体转动惯性的量度转动定律（Theorem of rotation）某质元电中空力Fi受内力百Fj + £ =厶伽兀其法向万分虽均通过转轴， 不产生转动力矩。其切I旬投影式为Fi sin(Pi +/ sin %=AmiaiT = Amina并

12、对所冇质元及其所受力矩求和等式两边乘以n工 Fi Fisin + Z/irzsin =（工 AmiH a合外力矩Af内力矩成对抵消=（）得M = （4伽力2） aM = (14/n/n2) a与刚体性质及质戢分布有 关的物理屋，用/表示 称为转动惯量刚体的转动定律 M = JCL 即 OL=M/J刚体所获得的角加速度a的人小与刚体受到的合外力矩m的大小成止比，与刚体的转动惯量/成反比。加反映质点的平动惯性，丿反映刚体的转动惯性。SH3EH 25刚体绕定轴转动的动能定理由力矩的元功d4=Md&转动定待M=J(XdA=jado=J-de=jda)=ja)da)回忆质戍的动能定理 / = 去

13、加"2 一寺加 刚体转动的动能定理？SH3EH 26SH3EH 26则 A -dA=goMdO=J（oda）=-jcd2-Jcol合外力矩的功 =转动动能的增量SH3EH 26称为冈U体辖动白勺动育巨定3厘SH3EH 26IW| : J =2圆环：J = mR 定轴转动定理飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘?d = sin 02竿子长些还是短些较安全？M = Jcc a = M / J因为惯性和质量有关质量越大, 惯性越大.増加外轮缘的质量，有 利于使飞轮更好的工作.飞轮转 动是利用离心力将外缘质量增 大可以增大离心力，产生更大的 动能使转动更稳定。定轴转动定理M =Ja 细棒绕其一

14、端J -ml?3M = mgclMa =Jmg sin 0L/2)mL2/33g sin 02LffiHISBH 28已知两匀直细杆厶=2"从等倾角&处静止释放號 两者瞬时角加速度之比a 7a根据m=jaM7a m/7解法提要(Vmg 勺"me/吉 mH 2 mg寺 L sinff/jm L2 -/L _ L =2一 1/L U 短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关29I I<S> 一长为'质量为加匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定较链O相接，并可绕其转动由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止

15、开始绕较链O转 动试计算细杆转动到与竖直线成&角时的角加速度 和角速度.解细杆受重力利 较链对细杆的约束力斤 作用，由转动定律得tngl sin 0 = J aSH32mg! sin 0 = J a2式中 J = ml 23得 a - -sin 021由角加速度的定义de do)d&a = cddr dO drdrycodcodO sin Ode21代入初始条件积分得(1 - cos 0) 质量为加i的物体置于完全光滑的水平桌面上， 用一根不可伸长的细绳拉着，细绳跨过固定于桌子 边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为加2的物体 ，如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为厂的圆 盘

16、，轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与"之间的绳 子的张力7> 滑轮与22之间的绳子的张力久以及物 体运动的加速度方。(4)解：物体加"加2和滑轮的受力情况如图所示。对加1： Tx -mx a 对初2： m2 g - T2 = m2a对于滑轮1 2T r 一 T r = J a = Mr a2 1 2辅助方程ra = a解以上四个联立方程式，可得2 _2 _332 _2 _m2«mm2gI+ 叫 d Mi 22nr x -r m2 _2 _SiHKEH 342 _2m2由此解得叫g1龙+ /n，+ M_ 2此题还可以用能量的方法求解。在物体"S下落 了高度”时，可以列出下面的能量关系1 2 1nt gh = (m. + m . )v + Jo2 2 1 2 2 式中p是当加2下落了高度h时两个 物体的运动乘率，谟此时滑轮的 角速度。1 9v因为J =