2021高考数学丨解题秘籍80招(前40讲),涵盖所有高频考点

1、【集合】摩根定律解析在命题逻辑中，若P、0是两命题，则卩与0的“且”与“或”关系存在下面的 逻辑：非（P旦0）=（非P）或（非0）非（P或0=（非P）且（非0函数（9招）【函数】三次函数的对称性质解析函数f（x） = a.x3 + bx2+cx + d = O的对称中心横坐标兀满足/（） =（）,其中易求 bbb出心=一丁，即对称中心坐标为（一£J（-,）5a3a3。【函数】指数变种型对称性质解析函数用）=冷的对称中心为dog?' £）,（0 20）。记忆诀：横下对，纵半分。【函数】抽象函数周期1. /（X + Z2）+/（X + ）=C（ C为常数且仪工“）T =

2、 2b-a2. /U + ）*/U + Z） = c （ C为常数且 aHb）T = 2h-a【函数】抽象函数的对称性解析1. /（兀）满足/（Q +兀）二f （b - X）则可以推岀/（兀）关于直线%成轴对称。22. /（无）满足f（a + x） + f（b-x）=c则可以推出 /（兀）关于点（等成中心对称。【函数】对称变周期性质解析诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差。1 如果/U）关于对称，且关于x = h对称，则/&）有周期性，且 T=2|h-a|2. 如果/（兀）关于（仇，0）对称，且关于（力，0）对称，则/（X）有周期性,且 T=2|b-a |3. 如果只对关

3、于对称，且关于（方，0）对称，则/（x）有周期性，且 T=4Ib-a I【三角函数】积化和差公式解析记忆诀：异性为正弦，和差十号连，同性为余弦，差和一十连。.c cos(q - 0) cos(z + B)sin a sin 0 =2Q cos(a 0) + cos(a + 0)cos a cos p =尸2门 sin(« + 0) + sin(a 一 0)sin a cos 0 =匸 【三角函数】和差化积公式奇葩诀解析帅:sin 哥：cosQc Q+0a_卩sin a 4 sm ” = 2 sincos尸22.qa + p . a-/3sin( sinp = 2 cos sin尸22

4、d+0 a-Bcos2 2cosa一cos0 二-2sin莒"宀 a 卩cossincosd + cos# = 2 cos cossin帅+帅=帅哥 帅一帅=哥帅哥+哥=哥哥哥一哥=负嫂嫂【三角函数】万能公式解析2异sin0 =1 + tan? 一2f 2el-tancos0 =2疗1 + tan22tantan =. 2 &I-tan辅助勾股定理记忆:斜邻边一加减方。2（勾股求）【三角函数】配凑角的方法解析a =(仪_ 0) + 0 = (a + 0)_ 0a + 0( a-i _ i+a -a CX F2 2 2 22仅=(及 + ) + (a 0)皿(丿)_( j222

5、 "a_ B0、 a 小= (« + -)-(0)a_0 = (”_y)+(y_0)JT7T z/r+ « =(a)424解三角形（12招）【解三角形】直角三角形的射影定理解析若三角形ABC为直角三角形，且则 AC2 = AB ADBC1 = AB BDCD2 = AD BD1 1 1r =7 vCLT AC BU【解三角形】任意三角形射影定理解析在三角形中,a9b9c分别为的对边，则任意一边可由另两边及两a = bcosC + ccosBh = ccosA + acosCc = ocos8 + bcosA【解三角形】恒等式拓展解析在三角形中，分别为ZM, Z5,

6、 ZC的对边1 sinA + sin + sinC = 4cos-cos-cos-' 2 2 2 ABC2. cos/l + cosB + cosC = 1 + 4sin sinsin 2 2 23 sin2 A 4-sin2 B + sin2 C = 2 4- 2cosAcoscosC4 cos' A + cos" B + col C 二 1 - 2 cos A cos B cos C5. sin2A-sin2B = sin(A-B)sin(A + B)6. tan/l +tan + tanC = tan/14an 4anC【解三角形】中线定理解析三角形一条中线两侧

7、对应边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方的和的2倍。三角形ABC中，点。为BC边中 点的，则 ABz + AC2 = 2HD2 + 2AD2 或 AD2 =扣 3 + 2AC2- BC2)【解三角形】角分线定理解析三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。MC中.zfD为角ZBAC的平分线M BD=【解三角形】相关圆半径解析设S为三角形面积，心b、c为三角形三边长内切圆半径:2Sr =a + b + c外接圆半径：r理b =_£_4S 2sin A 2smB 2sinC欧拉不等式：若三角形外接圆半径为R,内切圆半径为rt则R>2rt当目仅当正三角形

8、时等号成立。【解三角形】三角不等式解析在三角形ABC中，a be分别为Z.A , Z8, 的对边1 a' +戾-c2 > 2abcosC+ 2ciccos B + IbccosA2. sin A >siti3 qcos2A > cos2J?3. 在锐角三角形中sin A + sin B + sin C > cos A + cos 3 + cosCtanA + tan 5 4- tan C > 11-tan?l tan 5 tanC【解三角形】三角形面积公式（2）解析公式六：5 = 2sin/lsin/；sinC （另一个外接圆公式，V =正弦定理打开版）公

9、式七：S = £r（a + /? + c） ； r是三角形內切圆半径（内切圆公式）公式八：5 = /?r（sinA + sinB + sinC）；厂是三角形内切圆半径，R是三角形外接圆半径（内切圆外接圆混合版公式）Arc公式九：S = 4/r（coscoscos） ; 是三角形內切圆半径，是三角形外接圆半2 2 2径（另一个内切圆外接圆混合版公式【解三角形】三角形面积公式（3）解析公式十：S二73sin2B + /sin2C）（两角对边公式）4公式十一：S = 7（c22sinBcos7? + /?2si nCcosC）（上式的二倍角展幵式）4公式+二：5 = （/ +戾-c2）ta

10、nC（C丰90°）（三边正切公式）4公式十三：S二p（p_a）uin斗；” =十c）（另一个三边正切公式）【解三角形】三角形面积公式(4)解析公式十四：$=4科斫-(丽走)(向量版公式)公式十五：S =扣川-兀为|； 7fl = (x1,y1), AC = (x2fy2)(坐标版公式 公式十末：5 - |(a:2 - x( )(y. -y)-(x3- X, Xy2 - Ji )| ； AC.Vj ),B(x2 ,y2),C(x3,.y3)(三点坐标公式)公式十七：s = 2兀)21；人（码,”）"（勺,力）,C（勺3）； Q = *S + b + e）勺)3 I(三点坐标行

11、列式公式)平面向量(4招)【平向量】两边数量积性质解析在ZUBC中，角血B、C所对的边分别是“，b、C,则 而 弋"【平面向量】三角形四心“点”性质解析（1）OA + OBOC=0=>O是重心（中线交点）（2）刃 祈=丽 况=况 材 是垂心（高线交4）（3） aOAbOBcOC = QO是內心（角分线交点）一内切圆圆心（4）d = oi=dc<o是外心（中垂线交点）一外接圆圆心【平面向量】三角形四心'线”性质解析。是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点P满足如下条件时，点P轨迹一定通过三角形川的四心之一:(1)OP = OAA(AB + AC)点户轨迹经过“A

12、BC的重心；(2)OP = OA + X(AB AC画*詞（3）OP = OA + (ABAB cos Z.BAC| cos ZC点P轨迹经过厶ABC内心;点P轨迹经过的垂心;（4）丽+ *"VAR|/ic|cos ZC点P轨迹经过LBC的外心（5）OP = Z>4 + A(4B网 sin ZB|AC|sinZC点P轨迹经过4BC的更心【平面向量】外心垂心向量关系解析已知0为其外心，为其垂心，贝IJ OH =OA + OB-OC数列（6招）【数列】等差数列通项与前n项和求解公式解析1 在已知等差数列通项公式©的前提下，可将含“项系数拆成两半，一步写出前“项和S”的公式

13、。色二A +牛AB R"2 22在已知等差数列前兀项和二的前提下，可将含川的一次项系数先拆分出一个含 有於项的系数.一步写出通项公式anSf=CnDn2AC_D D匕二 C-屛(D + D)"【数列】等差数列通项与前n项和最值问题解析等差数列 M 的前刃项和/可写成与w有关的一个二次函数.即为二彳川+(5-#)2如 +血;则，的最值可由如F +旳 的对称轴间接确 定，可得"(对称轴)冷-牛 即S”取最值时，”的值一定是距离”(对称轴) 最近的正整数。【数列】等差三项等比性质解析等差数列%中咼0,若 %竹成等比数列，则 严=忌。 ft【数列】分式1:1不动点递推性质

14、解析不动点：方程的/(x) = V根称为函数/)的不动点利用递推数列Jlx)的不动点，可将某些递推关系处所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.设 mx竺二(心0皿处工0),仇满足递推关系厲=他丿(刃1)cx + a初值杀件4工/(5)兔一P 严-厂P- a_ pc若兀门有两个相异的不动点p、q.则 右"厂石 (这里“芫齐) (2)若/'(X)只有唯一不功点卩，则 + (这里 2二 ) 一卩d + d【数列】分式2:1不动点递推性质解析不动点：方程的/Cv)=v根称为函数/(w)的不动点 利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系处=/(“)所确

15、定的数列化为等 比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.设函数/=竺也芋£(“(),？工()有两个不同的不动点x“2,且由= /("“) ex + f确定兽数列 仏,那么当且仅当b = 0.e = 2a时，匸九=(巴二±尸心2 一兀2冷一兀不等式(2招)【不等式】排序不等式解析 排序不等式1 （切比雪夫不等式）顺序 （%也+终A）、州+ +%勺+b“nnn逆吊 代十）三5十十叫q十十仇nnn 排序不等式2当可 <<x3 < <<y2 <<-<）;时和+尤*2 + +兀儿»入X +耳力+ S）儿

16、87;兀+£诜+兀必水顺序和乱序和逆序和导数（3招）【导数】洛必达法则解析对于函数/(X)和g(x),若于(X)和g(Q在 2d处的极限值均为o或8,则 筒在x T a处极限可以由彳詈在xa处极限表示。即：若lim/(x) = 0 且 limg(x) = O 或 lim/(x) =V-»<7Q XTQ“A-><70oo(该条件可简记为！或一)()cofix')厂贝 Ilim = iim = lim =xw g(x)入5 g'(x) z g(x)【导数】泰勒展开对数篇解析针对 ln(l +X)的 Taylor 公式：ln(l +兀)二 X + .+(-1)" A："23n高中阶段针对1n(l + A)的展幵拓展不等式1. 1 一丄 <lnx<x-lX2. ln(x + l)<x<ex-l【导数】泰勒展开指数篇解析针对幺"的Taylor展幵公式:高中阶段针对夕，的Taylor展开拓展不等式1. ex>-¥x(x>0)2. X>l + x + y (J>0)解析几何(3招)【直线与圆】定点直线系问题解析过平面内任意两条直线Ax+B|y + C严°与A2x + H2yC2=()交点的頁线方程